线性代数期末试卷(详解)(答案).doc

1 第 1 页 系部 专业班级 学号 姓名 密封线 答题留空不够时 可写到纸的背面 注意保持装订完整 试卷折开无效 装订线 3 设矩阵 则 2 100 021 023 D 1 D 200 04 34 1 02 12 1 4 当 时 矩阵的列向量组线性相关 k2 260 01 11 k k A 5 工科学生做 工科学生做 二次型的秩为 3 323121 2 1321 222 xxxxxxxxxxf 管理类或文科学生做 管理类或文科学生做 行列式中第 1 行各元素的代数余子式之和为 225 011 9107 7 三 三 计算 解答题计算 解答题 每小题 每小题 8 分 共分 共 16 分 分 1 计算 4 阶行列式 D 2001 0200 0020 1002 解 D 2 22 2 2 0 0 1 2 0 1 0 2 0 0 2 1 1 2 0 2 02 1 24 2 2 1 1 12 0 0 2 0 1 2 1 0 2 1 0 0 2 2 已知矩阵 A B 求 ATB 105 032 411 10 12 23 解 ATB 104 031 521 10 12 23 912 19 11 桂林理工大学考试试卷桂林理工大学考试试卷 2011 2012 学年度第 二 学期 课 程 名 称 线性代数 B 卷 命 题 数学教研室 题 号 一二三四五六七总 分 得 分 一 一 单项选择题单项选择题 每小题 每小题 2 分 共分 共 10 分 分 1 下列命题中正确的是 A 将行列式的第 行的倍加到第行所得行列式与行列式相等 AAikjA 矩阵的第 行的公因子可以提到矩阵符号外 BAi 交换行列式的第 行与第行所得行列式与行列式相等 CAijA 将矩阵的第 行的倍加到第行所得矩阵与矩阵相等 DAikjA 2 2 向量组 1 2 0 2 4 0 3 6 0 4 9 0 的 1 2 3 4 极大线性无关组为 D A B C D 2 3 1 3 1 2 1 4 3 3 设是可逆矩阵 A 的一个特征值 则矩阵有一个特征值等于 3 AA 2 C A 4 B 5 C 6 D 3 4 设为阶方阵 且的列向量线性无关 则 B AnA A nAR B nAR C0 A D0 A 5 设是阶方阵 则下列等式成立的是 C BA n AABBA BAA22 CBAAB DABBA 二 二 填空题填空题 每小题 每小题 2 分 共分 共 10 分 分 1 设 3 阶方阵 A 的行列式 A 则 A3 3 27 2 设方阵满足 则 A08 2 EAA 1 2EA EA3 2 1 2 第 2 页 四 解答题四 解答题 共 共 36 分 分 1 8 分 分 设为未知矩阵 解矩阵方程 X 10 02 21 100 035 012 X 10 101 61 10 02 21 100 025 013 32 10 21 100 035 012 1 X 2 10 分 分 判断线性方程组是否有解 有解时求出它的解 1234 1234 134 xx3xx1 2xxx4x2 x4x5x1 解 所求解的方程的增广矩阵为 1131111311 2114201760 1045101760 AAb 因为 所以原方程组有解 原方程对应的齐次方程的等价方 11311 01760 00000 r Ar A 程为 即 我们取 得基础解系为 067 03 432 4321 xxx xxxx 432 4321 67 3 xxx xxxx 3 4 01 10 x x 或 特解为 所以原方程的通解为 其中 1 0 6 5 1 0 1 7 4 2 1 0 0 0 2211 kk 为任意常数 12 k k 3 8 分 分 求方阵 A 的逆矩阵 220 111 112 解 100 021 010 220 310 111 100 010 001 220 111 112 EA 4 112 1 4 312 1 2 110 100 010 001 142 021 010 400 310 111 4 112 1 4 312 1 2 110 1 A 4 10 分分 设向量组 1 4 1 2 2 6 1 5 1 0 1 2 3 14 0 7 0 2 3 1 54321 aaaaa 1 求向量组的秩 并判断其相关性 2 求向量组的一个极大无关组 并把其余向量用该极大 无关组线性表示 解 00000 01100 3 1 3 1 010 3 1 3 2 001 00000 01100 11030 23071 00000 01100 12130 25271 12130 04400 7147210 25271 12130 460142 11103 25271 54321 rr r aaaaa 所以 1 所以向量组线性相关 53 54321 aaaaa R 2 取 为一个极大无关组 321 aaa 3214 3 1 3 2 aaaa 3215 0 3 1 3 1 aaaa 3 第 3 页 五 五 8 分分 已知向量组线性无关 321 aaa 证明 向量组 线性无关 131322211 3 2aabaabaab 321 bbb 证 设一组数使得 即 3 k k k 21 0 332211 bbbkkk 133322211 3kk2kaaaaaa 0kkkk2k3k 332221131 aaa 因为 线性无关 所以 由 321 aaa 0kk2 0kk2 0k3k 32 21 31 011 120 012 301 所以 故 向量组 线性无关 0 321 kkk 321 bbb 六 六 10 分分 工科学生做 工科学生做 将向量组 正交化 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 321 aaa 解 1 1 0 1 11 ab 1 2 3 1 3 1 1 1 0 1 3 2 1 0 1 1 1 11 21 22 b bb ab ab 4 3 3 1 5 1 1 2 3 1 3 1 5 2 1 1 0 1 3 2 0 1 1 1 2 22 32 1 11 31 33 b bb ab b bb ab ab 管理类或文科学生做 工科学生若以此题计分满分为 管理类或文科学生做 工科学生若以此题计分满分为 5 分 分 设齐次线性方程组 问为何值时 此方程组有非零解 02 1 0 02 321 321 31 xxx xxx xx 解解 121 11 02 02 121 11 02 022 11 故 当或或时方程组有非零解 22 002 111 1 4 2 1 2 2 七 七 10 分 分 求方阵的特征值与特征向量 020 212 022 A 解 解 得 412 20 212 022 EA412 321 当时 解 得 2 1 02 xEA 000 110 2 1 01 220 232 024 2 r EA 2 2 1 1 当时 解 由 得 1 2 0 xEA 000 2 1