江苏省盐城市龙冈中学高一数学下学期期中试题（含解析）苏教版.doc

2012-2013学年江苏省盐城市龙冈中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应的横线上）1（5分）（2010青浦区二模）函数y=sinxcosx+的最小正周期为考点：简单线性规划专题：计算题分析：把函数y=sinxcosx+化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期解答：解：函数y=sinxcosx+=sin2x+，它的最小正周期是：=故答案为点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题2（5分）一直线倾斜角的正切值为，且过点p（1，2），则直线方程为3x4y+5=0考点：直线的一般式方程专题：计算题；直线与圆分析：题目给出了直线的斜率和直线经过的定点，直接写出直线方程的点斜式，然后化为一般式解答：解：因为直线倾斜角的正切值为，即k=3，又直线过点p（1，2），所以直线的点斜式方程为，整理得，3x4y+5=0故答案为3x4y+5=0点评：本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题3（5分）（2010上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是考点：三角函数的最值专题：计算题分析：先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值解答：解：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+=1+当=2k，有最小值1故答案为1点评：本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式化简三角函数4（5分）正方体的全面积是24cm2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是12cm2考点：球内接多面体；球的体积和表面积专题：计算题分析：设球的半径为r，则正方体的对角线长为2r，正方体的棱长为a，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积解答：解：设球的半径为r，则正方体的对角线长为2r，依题意知 4r2=3a2=12即r2=3，s球=4r2=43=12 （cm2）故答案为：12点评：本题考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力，是基础题5（5分）已知直线y=（3a1）x1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是考点：确定直线位置的几何要素专题：计算题；探究型分析：由于给出的直线恒过定点（0，1）所以直线的斜率确定了直线的具体位置，由斜率大于0可求解a的范围解答：解：因为直线y=（3a1）x1过定点（0，1），若直线y=（3a1）x1经过第一、三、四象限，则其斜率大于0，即3a10，所以a故答案为a点评：本题考查了确定直线位置的几何要素，平面中，如果直线过定点，且倾斜角一定，则直线唯一确定，是基础题6（5分）已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱柱的体积为45考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题分析：直接利用柱体体积公式v=sh计算即可解答：解：正三棱柱的底面边长为6，底面积s=62=9侧棱长为5，即高h=5，所以体积v=sh=45故答案为45点评：本题需掌握正三棱柱的结构特征：底面为正三角形，侧棱与底面垂直以及柱体体积公式7（5分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面、，给出下列命题：若l垂直于内的两条相交直线，则l；若l，则l平行于内的所有直线；若m，l且lm，则；若l，l，则；若m，l且，则ml其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）考点：空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用专题：计算题；空间位置关系与距离分析：对于，由直线与平面垂直的判定定理能够判断真假；对于，由直线平行于平面的性质知l与内的直线平行或异面；对于，由平面与平面垂直的判定定理知与不一定垂直；对于，由平面与平面垂直的判定定理能够判断真假；对于，由平面与平面平行的性质知ml或m与l异面解答：解：l垂直于内的两条相交直线，由直线与平面垂直的判定定理知l，故正确；若l，则l与内的直线平行或异面，故不正确；若m，l且lm，则与不一定垂直故不正确；若l，l，则由平面与平面垂直的判定定理知，故正确；若m，l且，则ml或m与l异面，故不正确故答案为：点评：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的判断，是基础题解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养8（5分）（2012江苏一模）在abc中，已知bc=1，b=，abc的面积为，则ac的长为考点：三角形中的几何计算专题：计算题分析：利用面积公式求出ab，通过余弦定理直接求出ac即可解答：解：因为在abc中，已知bc=1，b=，abc的面积为，三角形abc的面积s=，所以ab=4，由余弦定理可知：ac2=ab2+bc22abbccosb，ac2=16+1241=13，ac=故答案为：点评：本题考查三角形中的几何计算，余弦定理的应用，考查计算能力9（5分）（2010宝山区一模）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18 cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题：计算题；压轴题分析：设母线长为l，底面半径为r，利用侧面展开图，求出圆心角，然后求出底面半径，即可求出圆锥母线与底面所成角的余弦值解答：解：设母线长为l，底面半径为r，则依题意易知l=18cm，由=，代入数据即可得r=12cm，因此所求角的余弦值即为=故答案为：点评：本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，扇形的知识，圆锥的母线与底面所成的角，考查计算能力10（5分）abc中，abc=90，pa平面abc，则图中直角三角形的个数为4考点：直线与平面垂直的性质专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由在rtabc中，abc=90，p为abc所在平面外一点，pa平面abc，能推导出bc平面pab由此能求出四面体pabc中有多少个直角三角形解答：解：在rtabc中，abc=90，p为abc所在平面外一点，pa平面abc，bcpa，bcab，paab=a，bc平面pab四面体pabc中直角三角形有pac，pab，abc，pbc4个故答案为：4点评：本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用11（5分）在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，若a2=b2+c2+bc，且sinb+sinc=1，则角b=30考点：余弦定理专题：计算题；解三角形分析：利用余弦定理由a2=b2+c2+bc，可求得a=120，利用和差化积公式可求得cos=1，从而可求得b=c=30解答：解：由余弦定理得：a2=b2+c22bccosa，又a2=b2+c2+bc，2cosa=1，cosa=a（0，180），a=120，b+c=60，=30sinb+sinc=1，2sincos=1，即2sin30cos=1，cos=1，b，c（0，60），b=c=30故答案为：30点评：本题考查余弦定理，考查和差化积公式，求得a=120是关键，属于中档题12（5分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于a1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的b1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达a2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的b2处，此时两船相距海里，则乙船每小时航行海里？考点：正弦定理；余弦定理专题：应用题；解三角形分析：连接a1b2，依题意可知a2b2，求得a1a2的值，推断出a1a2b2是等边三角形，进而求得b1a1b2，在a1b2b1中，利用余弦定理求得b1b2的值，进而求得乙船的速度解答：解：连接a1b2，由题意可得，a2b2=10，a1a2=10a1a2b2是等边三角形，b1a1b2=10560=45，在a1b2b1中，由余弦定理得b1b22=a1b12+a1b222a1b1a1b2cos45=200b1b2=10因此乙船的速度的大小为=30故答案为：30点评：本题主要考查了解三角形的实际应用要能综合运用余弦定理，正弦定理等基础知识，考查了综合分析问题和解决实际问题的能力13（5分）在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a2=b2+bc，sin c=2sin b，则a=60考点：余弦定理；正弦定理专题：解三角形分析：由正弦定理化简sinc=2sinb，得到c=2b，代入a2=b2+bc得到a与b的关系，利用余弦定理表示出cosa，将得出的关系代入求出cosa的值，利用特殊角的三角函数值即可求出a的度数解答：解：由正弦定理化简sinc=2sinb得：c=2b，将c=2b代入a2=b2+bc中，得：a2=b2+2b2=3b2，即a=b，由余弦定理得：cosa=，a为三角形的内角，a=60故答案为：60点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键14（5分）在棱长为4的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为棱aa1、d1c1上的动点，点g为正方形b1bcc1的中心则空间四边形aefg在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为12考点：棱柱的结构特征；简单空间图形的三视图专题：计算题分析：通过作图，分析出空间四边形aefg在该正方体各个面上的正投影所构成的图形的形状，求出其面积，得到面积的最大值解答：解：如图，若投影投在aa1d1d或bb1cc1平面上，投影面积由e点确定，最大面积为8，e与a1重合时取最大面积；若投影投在abcd或a1b1c1d1平面上，投影面积由f点确定，最大面积为8，f与d1重合时取最大面积；若投影投在aba1b1或dd1cc1平面上，投影面积由e点与f点确定，当e与a1，f与c1重合时，可得最大面积，g投在bb1的中点，是个直角梯形s=12故答案为12点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间几何图形在平面上的正投影，考查了学生观察问题和分析问题的能力，是中档题二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）已知直线l过点a（2，3）（1）直线l的倾斜角为135，求直线l的方程；（2）直线l在两坐标轴上的截距之和为2，求直线l的方程考点：直线的一般式方程；直线的截距式方程专题：直线与圆分析：（1）有直线的倾斜角求出其斜率，直接利用直线方程的点斜式写出方程，然后化为一般式；（2）设出直线的斜截式方程，由点a在直线上得到一个关于k，b的方程，求出直线在两坐标轴上的截距，由截距之和等于2得另一方程，联立方程组后求出斜率和截距，则直线方程可求解答：解：（1）由直线l的倾斜角为135，所以其斜率为1，又直线l过点a（2，3），所以直线l的方程为y3=（x+2），即x+y1=0；（2）设线方程为：y=kx+b 因为过点a（2，3）所以3=2k+b当y=0，x=当x=0，y=b由题意得，+b=2解方程组，得k1=1，b=1；k2=，b=6所以直线方程为：y=x+1或3x2y+12=0点评：本题考查了直线的一般式方程和截距式方程，考查了方程组的解法，需要注意的是截距不是距离，是基础的计算题16（14分）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，pd底面abcd，e为侧棱pd的中点，ac与bd的交点为o求证：（1）直线oe平面pbc；（2）平面ace平面pbd考点：直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用三角形的中位线性质可得oepb，再根据直线和平面平行的判定定理证得oe平面pbc（2）证明pdac，bdac，再根据直线和平面垂直的判定定理证得ac平面pbd，再根据平面和平面垂直的判定定理证得平面ace平面pbd解答：证明：（1）在正方形abcd中，ac与bd的交点o为bd的中点，又因为e为pd的中点，故oe是三角形dpb的中位线，所以oepb因为oe平面pbc，pb平面pbc，所以oe平面pbc（7分）（2）因为pd底面abcd，ac平面abcd，所以pdac在正方形abcd中，acbd又因为bd平面pbd，pd平面pbd，且bdpd=d，所以ac平面pbd又因为ac平面ace，所以，平面ace平面pbd （14分）点评：本题直线和平面平行的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题17（15分）已知函数f（x）=2cos（1）设x，且f（x）=+1，求x的值；（2）在abc中，内角a、b、c的对边的边长为a、b、c，ab=1，f（c）=+1，且abc的面积为，求a+b的值考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦专题：解三角形分析：（1）函数解析式利用单项式乘多项式法则计算，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据f（x）的值，即可求出x的值；（2）利用三角形的面积公式及余弦定理列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值解答：解：（1）f（x）=2cos22sincos=（1+cosx）sinx=2cos（x+）+，由2cos（x+）+=+1，得cos=，于是x+=2k（kz），x0，x=；（2）c（0，），由（1）知c=，abc的面积为，=absin，即ab=2，在abc中，设内角a、b的对边分别是a、b，由余弦定理得1=a2+b22abcos=a2+b26，a2+b2=7，由可得或，则a+b=2+点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18（15分）（2010石家庄二模）已知abc中，内角a、b、c的对边的边长为a、b、c，且bcosc=（2ac）cosb（）求角b的大小；（）若y=cos2a+cos2c，求y的最小值考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域专题：计算题分析：（）由正弦定理化简已知的等式，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据a为三角形的内角，得到sina不为0，进而得到cosb的值，再由b为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出b的度数；（）由第一问求出的b的度数，根据内角和定理得到a+c的度数，进而得到2a+2c的度数，用2a表示出2c，接着把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，把表示出的2c代入，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值变形，合并后再利用两角和与差的正弦函数公式把所求式子化为一个角的正弦函数，由2a的范围，得到这个角的范围，得到正弦函数的值域，即可得到所求式子的范围解答：解：（）由正弦定理可得：sinbcosc=2sinacosbsinccosb，（2分）即sin（b+c）=2sinacosb，因为0a，所以sina0，；（4分）（）由（）可知，则y=cos2a+cos2c=，则，（8分）所以y的取值范围为（10分）点评：此题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键19（16分）（2011南通一模）如图，某市准备在道路ef的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段fbc，该曲线段是函数（a0，0），x4，0时的图象，且图象的最高点为b（1，2）赛道的中间部分为长千米的直线跑道cd，且cdef赛道的后一部分是以o为圆心的一段圆弧（1）求的值和doe的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ode区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路ef上，一个顶点在半径od上，另外一个顶点p在圆弧上，且poe=，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值考点：已知三角函数模型的应用问题；三角函数的最值专题：计算题分析：（1）依题意，得a=2，根据周期公式t=可得，把b的坐标代入结合已知可得，从而可求doe的大小；（2）由（1）可知od=op，矩形草坪的面积s关于的函数，有，结合正弦函数的性质可求s取得最大值解答：解：（1）由条件，得a=2，（2分），（4分）曲线段fbc的解析式为当x=0时，又cd=，（7分）（2）由（1），可知又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点p在弧de上，故（8分）设poe=，“矩形草坪”的面积为=（13分），故取得最大值（15分）点评：本题主要考查了在实际问题中，由y=asin（x+）的部分图象确定函数的解析式，一般步骤是：由函数的最值确定a的值，由函数所过的特殊点确定周期t，利用周期公式求，再把函数所给的点（一般用最值点）的坐标代入求，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解关键是要把实际问题转化为数学问题来求解20（16分）（2012盐城三模）在abc中，ba