第一讲：函数的的概念和性质.doc

第一讲 函数的概念和性质函数是高中数学中有引领作用的一个重点内容,它所涉及的概念与性质贯穿于中学数学的各个单元,它从数量关系上反映了现实世界中变量之间的相互依赖、相互制约的变化规律。用函数的观点和方法去分析、解决问题就是用运动变化的观点去审视问题中的数量关系，它寓配方、换元、待定系数法、一元二次方程的判别式和韦达定理、反证法等常用的解题方法为一体，贯穿了函数与方程、分类讨论、数形结合和转化等重要数学思想。由于它与数列、解析几何、向量、图形等问题关系密切，因此也是构造高中数学能力题的一个重要选择点。【高考热点】函数的定义域；函数关系的建立；函数的奇偶性、单调性和周期性；函数的最大值与最小值；简单的代数函数性质研究；函数的和与积；反函数的概念；函数图象的平移。【范例精讲】例1（1）已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点。（2）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则。解：（1）由于函数的图象经过点，所以，即函数的图象经过点（4，1），所以函数的图象经过点。（2）因为函数的图像与函数的图像关于直线对称，所以是函数的反函数，由，得函数的反函数为，于是，所以。例2已知函数是定义在上的奇函数，当时，。（1）求函数在上的函数解析式； （2）当时，判断函数在上的单调性，并给出证明。解（1）任取，则，因为函数是定义在上的奇函数，所以。（2）函数在上为单调递增函数。证明：任取， ，由于，所以-，当时， 所以，即函数在上为单调递增函数。思考：如果把问题（2）改为已知函数在上的单调递增，求的取值范围。如何解答？例3设函数。（1）分别判断当及时函数的奇偶性。（2）在的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明。解：（1）当时，由，得，所以，又，所以为非奇非偶函数；当时，由，所以，且， 为奇函数。（2）当 所以，可以验证：，为非奇非偶函数。所以并且例4已知函数 （1）求函数的定义域；（2）求证函数在(0,)内单调递增。（3）若是函数的反函数，设，求函数的最小值及对应的值。解：（1）由，得，所以函数的定义域为；（2）设是内的两个任意实数，且， 又，所以所以，所以，函数在(0,)内单调递增。（3）由 得， (当且仅当，即所以当时，最小值为。例5设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和的积函数。（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域；（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。解：（1），。（2）因为，所以函数的定义域为，令，则，则，因为时，又时，递减，所以单调递增，所以，即函数的值域为。（3）假设存在这样的自然数满足条件，令，则，因为，则，要满足值域为，只要满足，由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值，所以，又在上是增函数，在上是减函数，所以，综上，得 。【巩固提高】一、填空题：1函数的定义域为 。 2函数，则的奇偶性为。3若，则使函数的定义域为R且在（，0）上单调递增的值为。4设是奇函数，则使的的取值范围是。5设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点 。6函数的反函数是_。7设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为。8设定义在上的函数满足，若，则。二、选择题：9函数的图像关于（ ）（A）轴对称 （B）直线对称 （C） 坐标原点对称 （D）直线对称10“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件11若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）（A）（B）（C）（D）12已知函数，是的反函数，若（），则的值为（ ）（A） （B）1 （C）4 （D）10三、解答题：13已知二次函数，若在轴上的截距为2，且对任意的满足。（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最大值。14设同时满足条件和对任意都有成立。（）求f（x）的解析表达式；（）设函数的定义域为，且在定义域内，求；（）求函数的值域15已知函数为奇函数，（1）求实数的值；（2） 求的反函数；（3）若两个函数与在上恒满足，则称函数与在上是分离的。试判断函数的反函数与在上是否分离？若分离，求出的取值范围；若不分离，请说明理由。16定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，。（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）设，若，试确定的取值范围（4）试举出一个满足条件的函数。参考答案：1 2非奇非偶 3 4 5(-1,2)6 7 8 9C10B 11D 12A13解：（1）；（2）。14解：（1）由，得，由，得由得，所以。（2） （）。（3）由已知得，。又因为函数与在区间上均为增函数，所以函数（）的值域为 。15解：（1）为奇函数；（2）；（3）。记假设与在是分离的，则在上恒成立，即。当时，在上单调递增，；当时，在上单调递减，故的取值范围是：。16解：（1）在中，令得：因为，所以，。（2）要判断的单调性，可任取，且设。在已知条件中，若取，则已知条件可化为： 。由于，所以为比较的大小，只需考虑的正负即可在中