2014高三一模理科数学试卷及答案.doc

20 014 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试 理科数学试卷理科数学试卷 满分 150 分 时量 120 分钟 命题 高三数学备课组 一 选择题 一 选择题 5 5 分分 8 408 40 分 分 1 若i为虚数单位 则 i i 1 1 等于 A i B i C 1 D 1 2 已知集合 97 xxM 2 9xyxN 且 NM 都 是全集U的 子集 则右图中阴影部分表示的集合是 A 23 xx B 16 xx C 23 xx D 16 xx 按照如图的程序框图执行 若输出结果为 15 则 M 处条件为 A 16k B 8k C 16k D 8k 4 给出下列命题 向量a b满足 baba 则a b的夹角为 0 30 1 a b0 是 a b 为锐角的充要条件 2 将函数 1 xy 的图象按向量 0 1 a 平移 3 得到函数 xy 的图象 若 ACAB 0 ACAB 则 ABC 为等腰三角形 4 以上命题正确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为 的正方形 则这个几何体的体积不可能是 A 2 1 B 4 C 1 D 3 6 有下列四种说法 命题 Rx 0 使得 0 2 xx 的否定是 Rx 都有 0 2 xx 已知随机变量x服从正态分布 1 2 N 79 0 4 xP 则 21 0 2 xP 2 函数 1cossin2 Rxxxxf 图像关于直线 4 3 x 对称 且在区间 4 4 上 3 是增函数 设实数 1 0 yx 则满足 1 22 yx 的概率为4 其中错误的个数是 4 A 0 B 1 C 2 D 3 开始 S 0 M S S k 2kk 结束 输出 S 是 否 k 1 7 已知函数 21 0 1 0 x x fxx f x 若方程 axxf 有且只有两个不相等的实数根 则 实数 a 的取值范围为 A 0 B 1 0 1 D 0 8 已知 xf 为 上的可导函数 且 Rx 均有 xfxf 则有 A 2013 e 2013 f 0 f 2013 f 2013 e 0 f B 2013 e 2013 f 0 f 2013 f 2013 e 0 f C 2013 e 2013 f 0 f 2013 f 2013 e 0 f D 2013 e 2013 f 0 f 2013 f 2013 e 0 f 二 填空题 二 填空题 5 5 分分 7 35 7 35 分 分 一 选做题选做题 任选两题 若多选 按前两题答案计分 9 如图 割线 PBC 经过圆心 O PB OB 1 OB 绕点 O 逆时针旋转120 到 OD 连结 PD 交圆 O 于点 E 则 PE 10 若直线的极坐标方程为 cos 3 2 4 曲线C 1 上的点到直线的距离为d 则d的最大 值为 11 若不等式 1 a yx2 对满足 5 22 yx 的一切实数 yx 恒成立 则实数a的取值范围是 二 必做题必做题 12 设 2 0 sin6 xdxn 则二项式 n x x 2 的展开式中 2 x 项的系数为 13 设实数 x y 满足条件 0 0 yx 063 yx 02 yx 目标函数 1 2 3 0 0 babyaxz 的最大值为 12 则 ba 32 的最小值是 14 设数列 n a n b 都是正项等比数列 n S n T 分别为数列 n alg 与 n blg 的前n项和 且 12 n n T S n n 则 5 5 loga b 15 已知点 为抛物线 xy8 2 的焦点 O 为原点 点 是抛物线准线上一动点 在抛物线上 且 AF 则 PA PO 的最小值是 16 设集合 1 2 3 4 5 6 M 对于 ii a bM 记 i i i a e b 且 ii ab 由所有 i e组成的集合记为 12 k Ae ee 1 k的值为 2 设集合 1 iii i Be eeA e 对任意 i eA j eB 则 ij eeM 的概率为 理科数学答卷理科数学答卷 座位号 一 选择题 一 选择题 5 5 分分 8 408 40 分 分 题 号 12345678 答 案 二 填空题 二 填空题 5 5 分分 7 35 7 35 分 分 一 选做题选做题 任选两题 若多选 按前两题答案计分 9 10 11 二 必做题必做题 12 13 14 15 16 1 2 三 解答题 三 解答题 7575 分 分 17 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 cba 已知向量 cos cosBAm 2 abcn 且 nm 1 求角A的大小 2 若 4 a 求 ABC 面积的最大值 12 分 18 在 2012 年 双节 期间 高速公路车辆较多 某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中 按 进服务区的先后每间隔 辆就抽取一辆的抽样方法 抽取了 名驾驶员进行调查 将他们在某段高速公路上的车速 km t 分成 段 65 60 70 65 75 70 80 75 85 80 90 85 后得到如图 的频率分布直方图 问 班级 姓名 考号 该公司在调查取样中 用到的是什么抽样方法 求这 辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值 若从车速在 70 60 中的车辆中任取 辆 求抽出的 辆中 速度在 70 65 中的车辆数x的分布列及其数学期望 分 19 本小题满分 12 分 如图 在三棱锥PABC 中 2PAPBAB 3BC 90 ABC 平面PAB 平面ABC D E分别为AB AC中点 1 求证 DE 平面PBC 2 求证 ABPE 3 求二面角APBE 的大小 20 13 分 如图 某隧道设计为双向四车道 车道总宽 20m 要求通行车辆限高 5m 隧道 全长 2 5km 隧道的两侧是与地面垂直的墙 高度为 3 米 隧道上部拱线近似地看成半个 椭圆 E D A BC P l h 20m 0 5m 3m 1 若最大拱高 h 为 6 m 则隧道设计的拱宽 是多少 2 若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小 则应如何设计拱高 h 和拱宽 已知 椭圆 2 2 a x 2 2 b y 1 的面积公式为 S ab 柱体体积为底面积乘以高 3 为了使隧道内部美观 要求在拱线上找两个点 M N 使它们所在位置的高度恰好是限高 5m 现 以 M N 以及椭圆的左 右顶点为支点 用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭 形成一个梯形 若 l 30m 梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的 2倍 试确 定 M N 的位置以及h的值 使总造价最少 21 已知椭圆 C 的中心在原点 离心率等于2 1 它的一个短轴端点点恰好是抛物线 yx38 2 的焦点 13 分 1 求椭圆 C 的方程 2 已知 P 2 3 Q 2 3 是椭圆上的两点 A B 是椭圆上位于直线 两侧的动点 若直线 的斜率为2 1 求四边形 面积的最大值 当 B 运动时 满足 APQ BPQ 试问直线 AB 的斜率是否为定值 请说明理由 22 已知函数 xg xaxaxln 12 2 1 当 1 a 时 求函数 xg 的单调增区间 2 求函数 xg 在区间 e 1 上的最小值 3 在 1 的条件下 设 xf xg xxxln24 2 求证 n k nn nn kfk 2 2 1 23 1 2 n 参考数据 6931 0 2ln 13 分 箴言中学箴言中学 20 014 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试 理科数学试题参考答案理科数学试题参考答案 一 一 1 1 4 ACAB 5 8 DACD 二 9 7 73 10 123 11 6 a或4 a 12 60 13 6 25 14 19 9 15 132 16 1 11 2 6 121 三 17 1 由nm 得0coscos 2 BaAbcnm 1 分 由正弦定理可得 0 cos21 sin AC 3 2 2 1 cos AA 6 分 2 由余弦定理可得 Abccbacos2 222 16 bcbccb3 22 3 16 bc 由 3 34 4 3 sin 2 1 bcAbcS知 ABC 面积最大值为 3 34 12 分 18 1 系统抽样 2 分 2 众数与中位数的估计值均为 5 77 说明 一个答案得 2 分 6 分 3 由图可知 车速在 65 60的车有 2 辆 在 70 65的车有 4 辆 x的取值是 0 1 2 P x 0 2 6 0 4 2 2 C CC 15 1 x的分布列为 x012 10 E 3 4 15 6 2 15 8 12 分 19 解 D E 分别为 AB AC 中点 DE BC DE 平面 PBC BC 平面 PBC DE 平面 PBC 3 分 连结 PD PA PB PD AB 4 分 DEBC BC AB DE AB 5 分 又 PD DED AB 平面 PDE 6 分 PE 平面 PDE AB PE 7 分 平面 PAB 平面 ABC 平面 PAB 平面 ABC AB PD AB PD 平面 ABC 8 分 如图 以 D 为原点建立空间直角坐标系 B 1 0 0 P 0 0 3 E 0 3 2 0 PB 1 0 3 PE 0 3 2 3 设平面 PBE 的法向量 1 nx y z 30 3 30 2 xz yz 令3z 得 1 3 2 3 n 9 分 DE 平面 PAB E D B C A P z y x 平面 PAB 的法向量为 2 0 1 0 n 10 分 设二面角的APBE 大小为 由图知 12 12 12 1 coscos 2 n n n n nn 所以60 即二面角的APBE 大小为60 12 分 20 解 1 如下图建立直角坐标系 则点 P 10 2 椭圆方程为 2 2 a x 2 2 b y 1 将 b h 3 3 与点 P 坐标代入椭圆方程 得 a 6 5 l 2a 12 5 隧道的拱宽约 为12 5m 5 分 2 要使隧道上方半椭圆部分的土方工 程量最小 由柱体的体积公式可知 只需半椭 圆的面积最小即可 由椭圆方程 2 2 a x 2 2 b y 1 得 2 2 10 a 2 2 2 b 1 因为 2 2 10 a 2 2 2 b 2 10 2 ab 即 ab 40 8 分 所以半椭圆面积 S 2 ab 40 20 2 当 S 取最小值时 有 2 2 10 a 2 2 2 b 2 1 得 a 102 b 2 2 此时 l 2a 202 h b 3 2 2 3 故当拱高为 2 2 3 m 拱宽为 202m 时 隧道上方半椭圆部分的土 方工程量最小 13 分 3 设 2 2 1015M xNxx 则 设 xf x2 22 22 02 15 x 2 22930 2 2 xxx 1015 x 则 2 2 2 302292 15 30229 xxx fx xx 令 0fx 得13 x或 17 舍 13x 时 f x取最小值 此时 13 2 13 2 MN 代入椭圆方程得 25 14 14 b 25 14 33 14 hb 13 分 21 1 设 C 方程为1 2 2 2 2 b y a x a b 0 则32 b 由 2 1 a c 222 cba 得4 a 故椭 圆 C 的方程为1 1216 22 yx 4 分 2 设A 1 x 1 y B 2 x 2 y 直线 AB 的方程为txy 2 1 代入1 1216 22 yx 中整理得 012 22 ttxx 0 4 t 4 1 x 2 x t 1 x 2 x 12 2 t 四边形 APBQ 的面积 21 6 2 1 xxS 2 3483t 当0 t时312 max S 当APQ BPQ 时 PA PB 的斜率之和为 0 设直线 PA 的斜率为k 则 PB 的斜率为 k PA 的直 线方程为 2 3 xky 代入1 1216 22 yx 中整理得 22 43 xk kxk 23 8 48 23 4 2 k 0 2 1 x 2 43 32 8 k kk l h 20m 0 5m 3m x y o P 同理 2 2 x 2 43 32 8 k kk 1 x 2 x 2 2 43 1216 k k 1 x 2 x 2 43 48 k k 从而 12 12 xx yy kAB 2 14 21 21 xx kxxk 即直线AB的斜率为定值 13 分 22 1 当1 a时 xg xxxln3 2 0 132 2 x xx xg 得1 x或 2 1 x 故 xg的单 调增区间是 2 1 0 1 3 分 2 xg xaxaxln 12 2 x g x a ax 12 2 x axx 12 令 x g 0 得ax 或 2 1 e 1 当1 a时 x g 0 xg递增 axg2 min 6 分 当ea 1时 1 ax x g 0 xg递减 eax x g 0 xg递增 min xg ag aa