全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题6 由运动产生的线段和差问题.docVIP

2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题6：由运动产生的线段和差问题4. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于a（1，0），c（2，3）两点，与y轴交于点n其顶点为d（1）抛物线及直线ac的函数关系式；（2）设点m（3，m），求使mn+md的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线ac相交于点b，e为直线ac上的任意一点，过点e作efbd交抛物线于点f，以b，d，e，f为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点e的坐标；若不能，请说明理由；（4）若p是抛物线上位于直线ac上方的一个动点，求apc的面积的最大值【答案】解：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点a（1，0）及c（2，3）得，解得。抛物线的函数关系式为。设直线ac的函数关系式为y=kx+n，由直线ac过点a（1，0）及c（2，3）得，解得。直线ac的函数关系式为y=x+1。（2）作n点关于直线x=3的对称点n， 令x=0，得y=3，即n（0，3）。n（6，3）由得d（1，4）。设直线dn的函数关系式为y=sx+t，则，解得。故直线dn的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当m（3，m）在直线dn上时，mn+md的值最小，。使mn+md的值最小时m的值为。（3）由（1）、（2）得d（1，4），b（1，2）， 当bd为平行四边形对角线时，由b、c、d、n的坐标知，四边形bcdn是平行四边形，此时，点e与点c重合，即e（2，3）。 当bd为平行四边形边时，点e在直线ac上，设e（x，x+1），则f（x，）。又bd=2若四边形bdef或bdfe是平行四边形时，bd=ef。，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），e（0，1）。若，解得，e或e。综上，满足条件的点e为（2，3）、（0，1）、。（4）如图，过点p作pqx轴交ac于点q；过点c作cgx轴于点g， 设q（x，x+1），则p（x，x2+2x+3）。 。 ，当时，apc的面积取得最大值，最大值为。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作n点关于直线x=3的对称点n，当m（3，m）在直线dn上时，mn+md的值最小。（3）分bd为平行四边形对角线和bd为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点p作pqx轴交ac于点q；过点c作cgx轴于点g，设q（x，x+1），则p（x，x2+2x+3），求得线段pq=x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知，由二次函数的最值的求法可知apc的面积的最大值。5. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程c1:与x 轴相交于点b、c，与y 轴相交于点e，且点b 在点c 的左侧.(1)若抛物线c1过点m(2，2)，求实数m 的值(2)在(1)的条件下，求bce的面积(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点h，使bh+eh最小，并求出点h的坐标(4)在第四象限内，抛物线c1上是否存在点f，使得以点b、c、f为顶点的三角形与bce相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线c1过点m(2，2)，解得m=4。（2）由（1）得。 令x=0，得。e（0，2），oe=2。 令y=0，得，解得x1=2，x=4。b（2，0），c（4，0），bc=6。 bce的面积=。（3）由（2）可得的对称轴为x=1。 连接ce，交对称轴于点h，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时bh+eh最小。 设直线ce的解析式为，则 ，解得。直线ce的解析式为。 当x=1时，。h（1，）。（4）存在。分两种情形讨论： 当becbcf时，如图所示。则，bc2=bebf。由（2）知b（2，0），e（0，2），即ob=oe，ebc=45，cbf=45。作ftx轴于点f，则bt=tf。令f（x，x2）（x0），又点f在抛物线上，x2=，x+20（x0），x=2m，f（2m，2m2）。此时，又bc2=bebf，（m+2）2= ，解得m=2。m0，m=+2。当becfcb时，如图所示。则，bc2=ecbf。同，ebc=cfb，btfcoe，。令f（x，（x+2）（x0），又点f在抛物线上，（x+2）=。x+20（x0），x=m+2。f（m+2，（m+4），bc=m+2。又bc2=ecbf，（m+2）2= .整理得：0=16，显然不成立。综合得，在第四象限内，抛物线上存在点f，使得以点b、c、f为顶点的三角形与bce相似，m=+2。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。（2）求出b、c、e点的坐标，从而求得bce的面积。（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点b、c关于对称轴x=1对称，连接ec与对称轴的交点即为所求的h点。（4）分两种情况进行讨论：当becbcf时，如图所示，此时可求得+2。当becfcb时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。6. （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线经过a（4，0），b（2，3），c（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及对称轴（2）在抛物线的对称轴上找一点m，使得ma+mb的值最小，并求出点m的坐标（3）在抛物线上是否存在一点p，使得以点a、b、c、p四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线经过a（4，0），b（2，3），c（0，3）三点， ，解得。抛物线的解析式为：，其对称轴为：。（2）由b（2，3），c（0，3），且对称轴为x=1，可知点b、c是关于对称轴x=1的对称点。如图1所示，连接ac，交对称轴x=1于点m，连接mb，则mamb=mamc=ac，根据两点之间线段最短可知此时mamb的值最小。设直线ac的解析式为y=kxb，a（4，0），c（0，3）， ，解得。直线ac的解析式为：y=x3。令x=1，得y= 。m点坐标为（1，）。（3）结论：存在。如图2所示，在抛物线上有两个点p满足题意：若bcap1，此时梯形为abcp1。由b（2，3），c（0，3），可知bcx轴，则x轴与抛物线的另一个交点p1即为所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。p1（2，0）。p1a=6，bc=2，p1abc。四边形abcp1为梯形。若abcp2，此时梯形为abcp2。设cp2与x轴交于点n，bcx轴，abcp2，四边形abcn为平行四边形。an=bc=2。n（2，0）。设直线cn的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。直线cn的解析式为：y=x+3。点p2既在直线cn：y=x+3上，又在抛物线：上，x+3=，化简得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。点p2横坐标为6，代入直线cn解析式求得纵坐标为6。p2（6，6）。abcn，ab=cn，而cp2cn，cp2ab。四边形abcp2为梯形。综上所述，在抛物线上存在点p，使得以点a、b、c、p四点为顶点所构成的四边形为梯形，点p的坐标为（2，0）或（6，6）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，线段最短的性质，梯形的判定。【分析】（1）已知抛物线上三点a、b、c的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式求出对称轴。（2）如图1所示，连接ac，则ac与对称轴的交点即为所求之m点；已知点a、c的坐标，利用待定系数法求出直线ac的解析式，从而求出点m的坐标。（3）根据梯形定义确定点p，如图2所示：若bcap1，确定梯形abcp1此时p1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点p1的坐标；若abcp2，确定梯形abcp2此时p2位于第四象限，先确定cp2与x轴交点n的坐标，然后求出直线cn的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点p2的坐标。7. （2012四川自贡14分）如图，抛物线l交x轴于点a（3，0）、b（1，0），交y轴于点c（0，3）将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1（1）求l1的解析式；（2）在l1的对称轴上找出点p，使点p到点a的对称点a1及c两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于e、f两点，若以ef为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径【答案】解：（1）如图1，设经翻折后，点ab的对应点分别为a1、b1，依题意，由翻折变换的性质可知a1（3，0），b1（1，0），c点坐标不变，抛物线l1经过a1（3，0），b1（1，0），c（0，3）三点，设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得。抛物线l1的解析式为：y=x22x3。（2）抛物线l1的对称轴为：x=，如图2，连接b1c并延长，与对称轴x=1交于点p，则点p即为所求。此时，|pa1pc|=|pb1pc|=b1c。设p为对称轴x=1上不同于点p的任意一点，则有：|papc|=|pb1pc|b1c（三角形两边之差小于第三边），|papc|pa1pc|，即|pa1pc|最大。设直线b1c的解析式为y=kx+b，则，解得k=b=3。直线b1c的解析式为：y=3x3。令x=1，得y=6。p（1，6）。（3）依题意画出图形，如图3，有两种情况：当圆位于x轴上方时，设圆心为d，半径为r，由抛物线及圆的对称性可知，点d位于对称轴x=1上，则d（1，r），f（1+r，r）。点f（1+r，r）在抛物线y=x22x3上，r=（1+r）22（1+r）3，化简得：r2r4=0解得r1=，r2=（舍去）。此圆的半径为；当圆位于x轴上方时，同理可求得圆的半径为。综上所述，此圆的半径为或。【考点】二次函数综合题，翻折变换的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的轴对称性质，三角形三边关系，直线和圆的位置关系，解一元