立体几何_证明与计算(综合题目).doc

(08全国2文8)正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（ ）A3 B6 C9 D18 (10全国2文19)（本小题满分12分）如图，直三棱 柱BC-ABC 中，AC=BC，AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB（）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；（）设异面直线AB与CD的夹角为45,求二面角A-AC-B的大小(09全国2文19)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，直三棱柱ABCA1B1C1 中，D、E分别为AA1、BC1的中点平面（1）证明：AB=AC（2）设二面角A-BD-C为600，求与平面BCD所成角的大小(08全国2文20)（本小题满分12分）如图，正四棱柱中，点在上且（）证明：平面；（）求二面角的大小(07全国2文20)（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点（1）证明平面；（2）设，求二面角的大小(06全国2文20；理19)（本小题分）如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；（II）设求二面角的大小（2010湖南文数）18.（本小题满分12分）如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（）证明：平面ABM平面A1B1M1（2010浙江理数）（20）（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。（）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量， -2x+2y+2z=0所以 6x=0.取，则。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为（）解：设则， 因为翻折后，与重合，所以， 故， ，得， 经检验，此时点在线段上，所以。方法二：（）解：取线段的中点,的中点,连结。 因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。（）解：设, 因为翻折后，与重合，所以， 而， 得，经检验，此时点在线段上，所以。（2010全国卷2理数）（19）如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.【参考答案】(19)解法一：（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.因为面AA1BB1为正方形，故A1BAB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DEBF，DEAB1. 3分作CGAB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.又由底面ABC面AA1B1B.连接DG，则DGAB1，故DEDG，由三垂线定理，得DECD.所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.（II）因为DGAB1，故CDG为异面直线AB1与CD的夹角，CDG=45设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=.作B1HA1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1面AA1CC1，故B1H面AA1C1C.又作HKAC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1KAC1，因此B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.（2010陕西文数）18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.()证明：EF平面PAD；()求三棱锥EABC的体积V.解()在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.()连接AE,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G,则BG平面ABCD,且EG=PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.（2010辽宁文数）（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱的侧面是菱形，（）证明：平面平面；（）设是上的点，且平面，求的值. 解：（）因为侧面BCC1B1是菱形，所以又已知所又平面A1BC1，又平面AB1C ，所以平面平面A1BC1 . （）设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B/平面B1CD，所以A1B/DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.即A1D：DC1=1.（2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）已知三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）.4分（）,因为，所以CMSN 6分（）,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则 9分因为所以SN与片面CMN所成角为45。 12分（2010全国卷2文数）（19）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB （）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线； （）设异面直线AB与CD的夹角为45,求二面角A-AC-B的大小【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。（2）由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。（2010江西理数）20. （本小题满分12分）如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。（1） 求点A到平面MBC的距离；（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD.又平面平面,则MO平面，所以MOAB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=，MOAB，MO/面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OHBC于H，连MH，则MHBC，求得：OH=OCsin600=,MH=,利用体积相等得：。（2）CE是平面与平面的交线.由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.作BFEC于F，连AF，则AFEC，AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为BCE=120，所以BCF=60. ，所以，所求二面角的正弦值是.【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD，又平面平面,则MO平面.以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），（1）设是平面MBC的法向量，则，由得；由得；取，则距离（2），.设平面ACM的法向量为，由得.解得，取.又平面BCD的法向量为，则设所求二面角为，则.【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎（2010安徽文数）19.(本小题满分13分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点，()求证：FH平面EDB;（）求证：AC平面EDB; （）求四面体BDEF的体积；【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.【解题指导】（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EGFH，得平面；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH平面ABCD，得FHBC，FHAC，进而得EGAC，平面；（3）证明BF平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积. （2010重庆文数）（20）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分. ）如题（20）图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点是棱的中点.（）证明：平面；（）若，求二面角的平面角的余弦值. （2010浙江文数）（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，ABC=120。E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F为线段AC的中点。（）求证：BF平面ADE；（）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面ADE所成角的余弦值。（2010重庆理数）（19）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）如题（19）图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。（I） 求直线AD与平面PBC的距离；（II） 若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。（2010山东文数）（20）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，、分别为、的中点，且.（I）求证：平面平面；（II）求三棱锥与四棱锥的体积 之比.（2010北京文数）（17）（本小题共13分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=,CE=EF=1（）求证：AF/平面BDE；（）求证：CF平面BDF;证明：（）设AC于BD交于点G。因为EFAG,且EF=1，AG=AG=1 所以四边形AGEF为平行四边形 所以AFEG 因为EG平面BDE,AF平面BDE, 所以AF平面BDE （）连接FG。因为EFCG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CFEG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD,且平面ACEF平面ABCD=AC,所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEG=G,所以CF平面BDE.（2010北京文数）(18) （本小题共14分） 设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（）若在无极值点，求a的取值范围。解：由 得 因为的两个根分别为1,4，所以 （*）（）当时，又由（*）式得解得又因为曲线过原点，所以故（）由于a0,所以“在（-，+）内无极值点”等价于“在（-，+）内恒成立”。由（*）式得。又解 得即的取值范围（2010北京理数）（16）（本小题共14分） 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。 证明：（I） 设AC与BD交与点G。 因为EF/AG，且EF=1，AG=AC=1. 所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF/平面EG， 因为平面BDE，AF平面BDE， 所以AF/平面BDE. （II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 相互垂直，且CEAC， 所以CE平面ABCD. 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-. 则C（0，0，0），A（，0），B（0，0）. 所以，. 所以, 所以,. 所以BDE.(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量. 设平面ABE的法向量,则，. 即所以且 令则. 所以. 从而。 因为二面角为锐角， 所以二面角的大小为.（2010四川理数）（18）（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；（）求三棱锥MOBC的体积. w_w w. k#s5_u.c o*m本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK因为M是棱AA的中点，点O是BD的中点所以AM所以MOw_w w. k#s5_u.c o*m由AAAK，得MOAA因为AKBD,AKBB，所以AK平面BDDB所以AKBD所以MOBD又因为OM是异面直线AA和BD都相交w_w w. k#s5_u.c o*m故OM为异面直线AA和BD的公垂线（2）取BB中点N，连结MN，则MN平面BCCB过点N作NHBC于H，连结MH则由三垂线定理得BCMH从而,MHN为二面角M-BC-B的平面角MN=1,NH=Bnsin45=在RtMNH中，tanMHN=w_w w. k#s5_u.c o*m故二面角M-BC-B的大小为arctan2(3)易知，SOBC=SOAD，且OBC和OAD都在平面BCDA内点O到平面MAD距离hVM-OBC=VM-OAD=VO-MAD=SMADh=解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因为点M是棱AA的中点,点O是BD的中点所以M(1,0, ),O(,),=(0,0,1),=(-1,-1,1) =0, +0=0w_w w. k#s5_u.c o*m所以OMAA,OMBD又因为OM与异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线.4分(2)设平面BMC的一个法向量为=(x,y,z)=(0,-1,), (1,0,1) 即取z2,则x2,y1，从而=(2,1,2) w_w w. k#s5_u.c o*m取平面BCB的一个法向量为(0,1,0)cos由图可知，二面角M-BC-B的平面角为锐角故二面角M-BC-B的大小为arccos9分(3)易知，SOBCSBCDA设平面OBC的一个法向量为(x1,y1,z1) w_w w. k#s5_u.c o*m(1,1,1), (1,0,0) 即取z11,得y11，从而(0,1,1)点M到平面OBC的距离dw_w w. k#s5_u.c o*mVMOBC12分（2010天津文数）（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD=1，AD=，BADCDA45.（）求异面直线CE与AF所成角的余弦值； （）证明CD平面ABF；（）求二面角B-EF-A的正切值。【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA/ED.故为异面直线CE与AF所成的角.因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.在RtCDE中，CD=1，ED=，CE=3,故cos=.所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.()证明：过点B作BG/CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.()解：由（）及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC/AD,所以BC/EF.过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角。连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM=.由NG/FA,FAGM,得NGGM.在RtNGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值为.（2010天津理数）（19）（本小题满分12分）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2） 证明平面（3） 求二面角的正弦值。【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,（1） 解：易得,于是 所以异面直线与所成角的余弦值为（2） 证明：已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面(3)解：设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是，从而所以二面角的正弦值为方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1DB1C，由,可知EFBC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故ACDE,又因为CC1DE且，所以DE平面ACF，从而AFDE.连接BF，同理可证B1C平面ABF,从而AFB1C,所以AFA1D因为，所以AF平面A1ED(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故为二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在连接A1C1,A1F 在。所以所以二面角A1-DE-F正弦值为（2010广东理数）18.（本小题满分14分）来源:高考资源网KS5U.COM如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点平面AEC外一点F满足，FE=a 图5 （1）证明：EBFD；（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值（2）设平面与平面RQD的交线为.由BQ=FE,FR=FB知, .而平面，平面，而平面平面= ，.由（1）知，平面，平面，而平面， 平面，是平面与平面所成二面角的平面角在中，故平面与平面所成二面角的正弦值是来源（2010广东文数）18.（本小题满分14分）如图4，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离. （1）证明：点E为弧AC的中点（2010福建文数）20 （本小题满分12分）如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH/A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G。 （I）证明：AD/平面EFGH； （II）设AB=2AA1=2a。在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE D1DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。KS*5U.C#O（2010全国卷1理数）（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .（2010四川文数）（18）（本小题满分12分）在正方体ABCDABCD中，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；w_w w. k#s5_u.c o*m（2010湖北文数）18.（本小题满分12分） 如图，在四面体ABOC中，OCOA。OCOB，AOB=120，且OA=OB=OC=1（）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQOA；（）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。（2010山东理数）（19）（本小题满分12分）如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC， ABC=45，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形（）求证：平面PCD平面PAC；（）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（）求四棱锥PACDE的体积【解析】（）证明：因为ABC=45，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，所以，即，又PA平面ABCDE，所以PA，又PA，所以，又ABCD，所以，又因为，所以平面PCD平面PAC；（）由（）知平面PCD平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则，又ABCD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；（）由（）知，所以，又ACED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥PACDE的体积为=。（2010湖南理数）（2010湖北理数）18 (本小题满分12分)如图， 在四面体ABOC中, , 且（）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算的值；（）求二面角的平面角的余弦值。 （2010福建理数）概率为。（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。【解析】（）因为平面ABC，平面ABC，所以，因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。KS*5U.C#O%（）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为=，又因为，所以=，当且仅当时等号成立，从而，而圆柱的体积，故=当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是。KS*5U.C#O%（ii）由（i）可知，取最大值时，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），因为平面，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，由，故，取得平面的一个法向量为，因为，所以。（2010安徽理数）18、（本小题满分12分） 如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点。 ()求证：平面；()求证：平面；()求二面角的大小。（2010江苏卷）16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1) 求证：PCBC；(2) 求点A到平面PBC的距离。解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。（1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC。由BCD=900，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD。因为PC平面PCD，故PCBC。（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为ABDC，BCD=900，所以ABC=900。从而AB=2，BC=1，得的面积。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。又PD=DC=1，所以。由PCBC，BC=1，得的面积。由，得，故点A到平面PBC的距离等于。21.如图7-30，已知VC是ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且N位于ABC的高CD上。AB=a,VC与AB之间的距离为h，MVC。（1）证明MDC是二面角MABC的平面角；（2）当MDC=CVN时，证明VC平面AMB；（3）若MDC=CVN=（0），求四面体MABC的体积。21.解 （1）由已知，VN平面ABC，NCD，AB平面ABC，得VNAB。又CDAB，DCVN=NAB平面VNC。又V、M、N、D都在VNC所在平面内，所以，DM与VN必相交，且ABDM，ABCD，MDC为二面角MABC的平面角。（2）由已知，MDC=CVN，在VNC与DMC中，NCV=MCD，且VNC=90，DMC=VNC=90，故有DMVC。又ABVC，VC平面AMB。（3）由（1）、（2）得MDAB，MDVC，且DAB，MVC，MD=h。又MDC=.在RtMDC中，CM=htan。V四面体MABC=V三棱锥CABM=CMSABM=htanah =ah2tan22.如图7-31，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a,E是CD边的中点，以AE为棱，将DAE向上折起，将D变到D的位置，使面DAE与面ABCE成直二面角（图7-32）。（1）求直线DB与平面ABCE所成的角的正切值；（2）求证：ADBE；（3）求四棱锥DABCE的体积；（4）求异面直线AD与BC所成的角。22.解 （1）DAEB是直二面角，平面DAE平面ABCE。作DOAE于O，连 OB，则DO平面ABCE。DBO是直线DB与平面ABCE所成的角。DA=DE=a，且DOAE于O，ADE=90O是AE的中点，AO=OE=DO=a, DAE=BAO=45。在OAB中，OB=a。在直角DOB中，tanDBO=。（2）如图，连结BE，AED=BEC=45，BEA=90，即BEAE于E。DO平面ABCE，DOBE，BE平面ADE，BEAD。（3）四边形ABCE是直角梯形，SABCE=（a+2a）a=a2。DO是四棱锥的高且DO=a,VDABCE=（a）（a2）=a3。（4）作AKBC交CE的延长线于K，DAK是异面直线AD与BC所成的角，四边形ABCK是矩形，AK=BC=EK=a。连结OK，DK,OK=DO=a, DOK=90, DK=a, AK=AD=DK=a。DAK是正三角形，DAK=60，即异面直线AD与BC成60（广东省汕尾市08-09学年高二下学期期末考试（理）如图,四面体ABCD中,O、E分别是B DBC的中点, ,ACDOBE ()求证:平面BCD;()求异面直线AB与CD所成角的余弦值;()求点E到平面ACD的距离.【答案】().证明:连结OC . 同理. 在中,由已知可得 即 平面 ()解:以O为原点,如图建立空间直角 坐标系,则 , 异面直线AB与CD所成角余弦的大小为 ACDOBEyzx ()设E到平面ACD的距离为h,由E是BC的中点得B到平面ACD的距离为2h 又经计算得: E到平面ACD的距离为 9 （09海淀高三查漏补缺数学）在直平行六面体中,是菱形,.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面;(3)求直线与平面所成角的大小.【答案】证明:(1)连接交于,连结. 在平行四边形中, 四边形为平行四边形. . 平面,平面, 平面. (2)在直平行六面体中,平面, . 四边形为菱形, . ,平面,平面, 平面. 平面, 平面平面. (3)过作交于. 平面平面,平面平面, 平面. 为在平面上的射影. 是与平面所成的角. 设,在菱形中, . 在Rt中,. , . . . (3)解法二: 连交于,分别以,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示. 设,在菱形中, ,. 则(0,0),(0,0), (1,0,2),(0,0,2). (0,2),(1,2). 设平面的法向量(,), 则 .令,则. (0,). 设与平面所成的角为. . . 命题意图: 熟悉立体几何中常见问题及处理方法,要求学生敏锐把握所给图形特征,制定合理的解决问题策略.立体几何主要是两种位置关系(平行、垂直),两个度量性质(夹角、距离).解决问题的方法也有两种:几何方法和向量方法.两种方法各有优缺点,前者难在“找”和“作”的技巧性,后者难在建系和计算上,究竟用哪种方法,到时根据自己的情况决断. C B C1 B1 A A1 D10（09北京西城二模理）如图,在直三棱柱中,D是AA1的中点.() 求异面直线与所成角的大小;() 求二面角C-B1D-B的大小;() 在B1C上是否存在一点E,使得平面? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】 ()如图,以B为原点,B CB（）ABB1分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz, 则, , , 异面直线与所成的角为 C B C1 B1 A A1 Dxy z E G()解:直三棱柱, 又, 平面 如图,连接BD, 在中, ,即, 是CD在平面内的射影, , 为二面角C-B1D-B的平面角 , , 二面角C-B1D-B的大小为 11（09北京宣武二模文）如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD的中点(1)求证:D1E平面AB1F; (2)求二面角C1EFA的余弦值【答案】解法1:(1)连结A1B,则D1E在侧面ABB1A1上的射影是A1B, 又A1BAB1, D1EAB1, 连结DE, D1E在底面ABCD上的射影是DE,E、F均为中点, DEAF, D1EAF AB1AF=A D1E平面AB1F (2)C1C平面EFA,连结AC交EF于H, 则AHEF, 连结C1H,则C1H在底面ABCD上的射影是CH, C1HEF, C1HA为二在角C1EFA的平面角,它是C1HC的邻补角 解法2:(1)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 (2)由已知得为平面EFA的一个法向量, 二面角C1EFA的平面角为钝角, 二面角C1EFA的余弦值为 12（09北京宣武二模理 ）如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,BB1=BC=2,且M是BC的中点,点N在CC1上(1)试确定点N的位置,使AB1MN;(2)当AB1MN时,求二面角MAB1N的大小【答案】解法1:(1)连结M（）AB1M,过M作MNB1M,且MN交CC1点N, 在正ABC中,AMBC, 又平面ABC平面BB1C1C, 平面ABC平面BB1C1C=BC, AM平面BB1C1C, MN平面BB1C1C, MNAM AMB1M=M, MN平面AMB1,MNAB1 在RtB1BM与RtMCN中, 即N为C1C四等分点(靠近点C) (2)过点M作MEAB1,垂足为R,连结EN, 由(1)知MN平面AMB1, ENAB1, MEN为二面角MAB1N的平面角 正三棱柱ABCA1B1C1,BB1=BC=2, 解法2:(1)以点M为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, N点是C1C的四等分点(靠近点C) (2)AMBC,平面ABC平面BB1C1C, 且平面ABC平面BB1C1C=BC, AM平面BB1C1C, MN平面BB1C1,AMMN, MNAB1,MN平面AMB1, 13（09北京朝阳二模文）如图,四棱锥的底面是矩形,底面,为边的中点,与平面所成的角为,且,. SAPABACADAA() 求证:平面;()求二面角的大小.【答案】：因为底面, 所以是与平面所成的角, 由已知, 所以. 建立空间直角坐标系(如图). 由已知,为中点. 于是、 、. ()易求得, . 因为, , 所以,. 因为,所以平面 ()设平面的法向量为, 由 得 解得, 所以. 因为平面,所以是平面的法向量, 易得. 所以. 所以二面角的大小为 14（北京丰台09高三一模理）(本小题共14分)如图,在正三棱柱中,是的中点,点在上,()求所成角的正弦值; ()证明;() 求二面角的大小.【答案】：如图,在正三棱柱中,是的中点,点在上, ()求所成角的正弦值; ()证明;() 求二面角的大小. 解:()在正三棱柱中, ,又是正ABC边的中点, , 为所成角 又 sin= ()证明: 依题意得 , 因为 由()知, 而, 所以 所以 () 过C作于,作于,连接 , 又 是所求二面角的平面角 , 二面角的大小为 15（武汉二中08-09学年高二年级下学期期末）如图, 在三棱柱中, 侧面, 为棱的中点, 已知, , , , 求:(1)异面直线与的距离;(2)二面角的平面角的正切值. 【答案】 (1)建立如图所示空间直角坐标系 由于, ,在三棱柱中有 , , , 故,即 又面,故因此是异面直线与的公垂线段, 则,故异面直线与的距离为1 (2)由已知有,故二面角的平面角的大小为向量与的夹角因, 故,即16如图,在四棱锥中,底面四边长为1的 菱形, , ,为的中点()求异面直线AB与MD所成角的大小;()求点B到平面OCD的距离【答案】 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 , (1)设与所成的角为, , 与所成角的大小为 (2) 设平面OCD的法向量为,则 即 取,解得 设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的