中考数学总复习 二十九 锐角三角函数精练精析2 华东师大版.doc

图形的变化锐角三角函数2一选择题（共8小题）1如图，港口a在观测站o的正东方向，oa=4km，某船从港口a出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达b处，此时从观测站o处测得该船位于北偏东60的方向，则该船航行的距离（即ab的长）为（）a4kmb2kmc2kmd（+1）km2如图，一艘海轮位于灯塔p的北偏东30方向，距离灯塔80海里的a处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的南偏东45方向上的b处，这时，海轮所在的b处与灯塔p的距离为（）a40海里b40海里c80海里d40海里3如图，abc的项点都在正方形网格的格点上，则cosc的值为（）abcd4如图，在abc中，acb=90，cdab于d，下边各组边的比不能表示sinb的（）abcd5在abc中，若ac：bc：ab=5：12：13，则sina=（）abcd6如图，在abc中，acb=90，cd为边ab上的高，若ab=1，则线段bd的长是（）asin2abcos2actan2adcot2a7如图，rtabc中，acb=90，cd是ab上中线，若cd=5，ac=8，则sina为（）abcd8在rtabc中，c=90，cosa=，则tanb等于（）abcd2二填空题（共6小题）9如图，从一般船的点a处观测海岸上高为41m的灯塔bc（观测点a与灯塔底部c在一个水平面上），测得灯塔顶部b的仰角为35，则观测点a到灯塔bc的距离约为_m（精确到1m）（参考数据：sin350.6，cos350.8，tan350.7）10如图，在地面上的点a处测得树顶b的仰角为度，ac=7米，则树高bc为_ 米（用含的代数式表示）11如图，在建筑平台cd的顶部c处，测得大树ab的顶部a的仰角为45，测得大树ab的底部b的俯角为30，已知平台cd的高度为5m，则大树的高度为_m（结果保留根号）12如图，一渔船由西往东航行，在a点测得海岛c位于北偏东60的方向，前进20海里到达b点，此时，测得海岛c位于北偏东30的方向，则海岛c到航线ab的距离cd等于_海里13如图，bac位于66的方格纸中，则tanbac=_14abc中，ab=ac=5，bc=8，那么sinb=_三解答题（共9小题）15解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁（）如图，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度ab等于47m，从ab的中点c处开启，则ac开启至ac的位置时，ac的长为_m；（）如图，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长pq，在观景平台m处测得pmq=54，沿河岸mq前行，在观景平台n处测得pnq=73，已知pqmq，mn=40m，求解放桥的全长pq（tan541.4，tan733.3，结果保留整数）16将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点p时停止倒入图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）（参考数据：1.73，1.41）17根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时已知测速站点m距羲皇大道l（直线）的距离mn为30米（如图所示）现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从a点行驶到b点所用时间为6秒，amn=60，bmn=45（1）计算ab的长度（2）通过计算判断此车是否超速18如图，从a地到b地的公路需经过c地，图中ac=10千米，cab=25，cba=37，因城市规划的需要，将在a、b两地之间修建一条笔直的公路（1）求改直的公路ab的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin250.42，cos250.91，sin370.60，tan370.75）19如图，一堤坝的坡角abc=62，坡面长度ab=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角adb=50，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin620.88，cos620.47，tan501.20）20如图，一水库大坝的横断面为梯形abcd，坝顶bc宽6米，坝高20米，斜坡ab的坡度i=1：2.5，斜坡cd的坡角为30，求坝底ad的长度（精确到0.1米，参考数据：1.414，1.732提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）21如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角是20，小明种植的两棵树间的坡面距离ab是6米，要求相邻两棵树间的水平距离ac在5.35.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？（参考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36）22如图，小明从点a处出发，沿着坡角为的斜坡向上走了0.65千米到达点b，sin=，然后又沿着坡度为i=1：4的斜坡向上走了1千米达到点c问小明从a点到点c上升的高度cd是多少千米（结果保留根号）？23如图，在电线杆上的c处引拉线ce、cf固定电线杆，拉线ce和地面成60角，在离电线杆6米的b处安置测角仪，在a处测得电线杆上c处的仰角为30，已知测角仪高ab为1.5米，求拉线ce的长（结果保留根号）图形的变化锐角三角函数2参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1如图，港口a在观测站o的正东方向，oa=4km，某船从港口a出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达b处，此时从观测站o处测得该船位于北偏东60的方向，则该船航行的距离（即ab的长）为（）a4kmb2kmc2kmd（+1）km考点：解直角三角形的应用-方向角问题专题：几何图形问题分析：过点a作adob于d先解rtaod，得出ad=oa=2，再由abd是等腰直角三角形，得出bd=ad=2，则ab=ad=2解答：解：如图，过点a作adob于d在rtaod中，ado=90，aod=30，oa=4，ad=oa=2在rtabd中，adb=90，b=cabaob=7530=45，bd=ad=2，ab=ad=2即该船航行的距离（即ab的长）为2km故选：c点评：本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键2如图，一艘海轮位于灯塔p的北偏东30方向，距离灯塔80海里的a处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的南偏东45方向上的b处，这时，海轮所在的b处与灯塔p的距离为（）a40海里b40海里c80海里d40海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题专题：几何图形问题分析：过点p作垂直于ab的辅助线pc，利三角函数解三角形，即可得出答案解答：解：过点p作pcab于点c，由题意可得出：a=30，b=45，ap=80海里，故cp=ap=40（海里），则pb=40（海里）故选：a点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键3如图，abc的项点都在正方形网格的格点上，则cosc的值为（）abcd考点：锐角三角函数的定义；勾股定理专题：网格型分析：先构建格点三角形adc，则ad=2，cd=4，根据勾股定理可计算出ac，然后根据余弦的定义求解解答：解：在格点三角形adc中，ad=2，cd=4，ac=2，cosc=故选b点评：本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值也考查了勾股定理4如图，在abc中，acb=90，cdab于d，下边各组边的比不能表示sinb的（）abcd考点：锐角三角函数的定义分析：利用两角互余关系得出b=acd，进而利用锐角三角函数关系得出即可解答：解：在abc中，acb=90，cdab于d，acd+bcd=90，b+bcd=90，b=acd，sinb=，故不能表示sinb的是故选：b点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键5在abc中，若ac：bc：ab=5：12：13，则sina=（）abcd考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理分析：先根据三角形的三边长判断出三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义求解即可解答：解：abc中，ac：bc：ab=5：12：13，即52+122=132，abc是直角三角形，c=90sina=故选：a点评：本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，属较简单题目6如图，在abc中，acb=90，cd为边ab上的高，若ab=1，则线段bd的长是（）asin2abcos2actan2adcot2a考点：锐角三角函数的定义分析：求出=bcd，解直角三角形求出bc、求出bd即可得出答案解答：解：在rtacb中，acb=90，ab=1，bc=absina=sina，cd为边ab上的高，cdb=90，a+b=90，b+bcd=90，a=bcd，bd=bcsindcb=1sinasina=sin2a，故选a点评：本题考查了锐角三角形函数的定义，三角形内角和定理的应用，关键是求出bc的长和bd的长7如图，rtabc中，acb=90，cd是ab上中线，若cd=5，ac=8，则sina为（）abcd考点：锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线分析：根据斜边中线等于斜边一半得出ab，利用勾股定理求出bc，继而可计算sina的值解答：解：cd是ab上中线，ab=2cd=10，bc=6，sina=故选c点评：本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握直角三角形的斜边中线等于斜边一半8在rtabc中，c=90，cosa=，则tanb等于（）abcd2考点：互余两角三角函数的关系分析：由cosa=，知道a=60，得到b的度数即可求得答案解答：解：，c=90，cosa=，a=60，得b=30，所以tanb=tan30=故答案选：c点评：本题考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是正确识记30角的正切值二填空题（共6小题）9如图，从一般船的点a处观测海岸上高为41m的灯塔bc（观测点a与灯塔底部c在一个水平面上），测得灯塔顶部b的仰角为35，则观测点a到灯塔bc的距离约为59m（精确到1m）（参考数据：sin350.6，cos350.8，tan350.7）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题专题：几何图形问题分析：根据灯塔顶部b的仰角为35，bc=41m，可得tanbac=，代入数据即可求出观测点a到灯塔bc的距离ac的长度解答：解：在rtabc中，bac=35，bc=41m，tanbac=，ac=59（m）故答案为：59点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数求解10如图，在地面上的点a处测得树顶b的仰角为度，ac=7米，则树高bc为7tan 米（用含的代数式表示）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题专题：几何图形问题分析：根据题意可知bcac，在rtabc中，ac=7米，bac=，利用三角函数即可求出bc的高度解答：解：bcac，ac=7米，bac=，=tan，bc=actan=7tan（米）故答案为：7tan点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解11如图，在建筑平台cd的顶部c处，测得大树ab的顶部a的仰角为45，测得大树ab的底部b的俯角为30，已知平台cd的高度为5m，则大树的高度为（5+5）m（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题专题：几何图形问题分析：作ceab于点e，则bce和bcd都是直角三角形，即可求得ce，be的长，然后在rtace中利用三角函数求得ae的长，进而求得ab的长，即为大树的高度解答：解：作ceab于点e，在rtbce中，be=cd=5m，ce=5m，在rtace中，ae=cetan45=5m，ab=be+ae=（5+5）m故答案为：（5+5）点评：本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形12如图，一渔船由西往东航行，在a点测得海岛c位于北偏东60的方向，前进20海里到达b点，此时，测得海岛c位于北偏东30的方向，则海岛c到航线ab的距离cd等于10海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：根据方向角的定义及余角的性质求出cad=30，cbd=60，再由三角形外角的性质得到cad=30=acb，根据等角对等边得出ab=bc=20，然后解rtbcd，求出cd即可解答：解：根据题意可知cad=30，cbd=60，cbd=cad+acb，cad=30=acb，ab=bc=20海里，在rtcbd中，bdc=90，dbc=60，sindbc=，sin60=，cd=12sin60=20=10海里，故答案为：10点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线13如图，bac位于66的方格纸中，则tanbac=考点：锐角三角函数的定义分析：根据三角函数的定义解答解答：解：观察图形可知，tanbac=点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边14abc中，ab=ac=5，bc=8，那么sinb=考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理分析：过a作adbc于d，求出bd，根据勾股定理求出ad，解直角三角形求出即可解答：解：过a作adbc于d，ab=ac=5，bc=8，adb=90，bd=bc=4，由勾股定理得：ad=3，sinb=，故答案为：点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力三解答题（共9小题）15解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁（）如图，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度ab等于47m，从ab的中点c处开启，则ac开启至ac的位置时，ac的长为23.5m；（）如图，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长pq，在观景平台m处测得pmq=54，沿河岸mq前行，在观景平台n处测得pnq=73，已知pqmq，mn=40m，求解放桥的全长pq（tan541.4，tan733.3，结果保留整数）考点：解直角三角形的应用专题：应用题分析：（1）根据中点的性质即可得出ac的长；（2）设pq=x，在rtpmq中表示出mq，在rtpnq中表示出nq，再由mn=40m，可得关于x的方程，解出即可解答：解：（i）点c是ab的中点，ac=ab=23.5m（ii）设pq=x，在rtpmq中，tanpmq=1.4，mq=，在rtpnq中，tanpnq=3.3，nq=，mn=mqnq=40，即=40，解得：x97答：解放桥的全长约为97m点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，难度一般16将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点p时停止倒入图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）（参考数据：1.73，1.41）考点：解直角三角形的应用专题：几何图形问题分析：根据题意得出ap，bp的长，再利用三角形面积求法得出np的长，进而得出容器中牛奶的高度解答：解：过点p作pnab于点n，由题意可得：abp=30，ab=8cm，ap=4cm，bp=abcos30=4cm，npab=apbp，np=2（cm），925.5（cm），答：容器中牛奶的高度约为：5.5cm点评：此题主要考查了解直角三角形以及三角形面积求法等知识，得出pn的长是解题关键17根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时已知测速站点m距羲皇大道l（直线）的距离mn为30米（如图所示）现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从a点行驶到b点所用时间为6秒，amn=60，bmn=45（1）计算ab的长度（2）通过计算判断此车是否超速考点：解直角三角形的应用专题：应用题分析：（1）已知mn=30m，amn=60，bmn=45求ab的长度，可以转化为解直角三角形；（2）求得从a到b的速度，然后与60千米/时16.66米/秒，比较即可确定答案解答：解：（1）在rtamn中，mn=30，amn=60，an=mntanamn=30在rtbmn中，bmn=45，bn=mn=30ab=an+bn=（30+30）米；（2）此车从a点行驶到b点所用时间为6秒，此车的速度为：（30+30）6=5+513.66，60千米/时16.66米/秒，13.6616.66不会超速点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大18如图，从a地到b地的公路需经过c地，图中ac=10千米，cab=25，cba=37，因城市规划的需要，将在a、b两地之间修建一条笔直的公路（1）求改直的公路ab的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin250.42，cos250.91，sin370.60，tan370.75）考点：解直角三角形的应用专题：几何图形问题分析：（1）作chab于h在rtach中，根据三角函数求得ch，ah，在rtbch中，根据三角函数求得bh，再根据ab=ah+bh即可求解；（2）在rtbch中，根据三角函数求得bc，再根据ac+bcab列式计算即可求解解答：解：（1）作chab于h在rtach中，ch=acsincab=acsin25100.42=4.2（千米），ah=accoscab=accos25100.91=9.1（千米），在rtbch中，bh=chtancba=4.2tan374.20.75=5.6（千米），ab=ah+bh=9.1+5.6=14.7（千米）故改直的公路ab的长14.7千米；（2）在rtbch中，bc=chsincba=4.2sin374.20.6=7（千米），则ac+bcab=10+714.7=2.3（千米）答：公路改直后比原来缩短了2.3千米点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算19如图，一堤坝的坡角abc=62，坡面长度ab=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角adb=50，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin620.88，cos620.47，tan501.20）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题：几何图形问题分析：过a点作aecd于e在rtabe中，根据三角函数可得ae，be，在rtade中，根据三角函数可得de，再根据db=dcbe即可求解解答：解：过a点作aecd于e在rtabe中，abe=62ae=absin62=250.88=22米，be=abcos62=250.47=11.75米，在rtade中，adb=50，de=18米，db=debe6.58米故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米点评：考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点20如图，一水库大坝的横断面为梯形abcd，坝顶bc宽6米，坝高20米，斜坡ab的坡度i=1：2.5，斜坡cd的坡角为30，求坝底ad的长度（精确到0.1米，参考数据：1.414，1.732提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题：几何图形问题分析：过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可解答：解：作bead，cfad，垂足分别为点e，f，则四边形bcfe是矩形，由题意得，bc=ef=6米，be=cf=20米，斜坡ab的坡度i为1：2.5，在rtabe中，=，ae=50米在rtcfd中，d=30，df=cfcotd=20米，ad=ae+ef+fd=50+6+2090.6（米）故坝底ad的长度约为90.6米点评：本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义21如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角是20，小明种植的两棵树间的坡面距离ab是6米，要求相邻两棵树间的水平距离ac在5.35.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？（参考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题：几何图形问题分析：在直角三角形中利用20角和ab的长求得线段ac的长后看是否在5.35.7范围