2019版高考数学复习函数导数及其应用课时分层作业十五2.11.2利用导数研究函数的极值最值理.docx

课时分层作业 十五利用导数研究函数的极值、最值一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e上的最大值为()A.1-eB.-1C.-eD.0【解析】选B.因为f(x)=-1=,当x(0,1)时,f(x)0;当x(1,e时,f(x)0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e,所以当x=1时,f(x)取得最大值ln 1-1=-1.2.(2018滨州模拟)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选D.由题图可知,当x0;当x=-2时,f(x)=0;当-2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.【变式备选】设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR).若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是()【解析】选D.因为f(x)ex=f(x)ex+f(x)(ex)=f(x)+f(x)ex,且x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,所以f(-1)+f(-1)=0;选项D中,f(-1)0,f(-1)0,不满足f(-1)+f(-1)=0.3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2,2上有最大值3,那么此函数在-2,2上的最小值是()A.-37B.-29C.-5D.以上都不对【解析】选A.f(x)=6x2-12x=6x(x-2),所以f(x)在-2,0上单调递增,在(0,2上单调递减.所以x=0为极大值点,也为最大值点.所以f(0)=m=3,所以m=3.所以f(-2)=-37,f(2)=-5.所以最小值是-37.4.设点P在曲线y=2ex上,点Q在曲线y=ln x-ln 2上,则|PQ|的最小值为()A.1-ln 2B.(1-ln 2)C.2(1+ln 2)D.(1+ln 2)【解析】选D.因为曲线y=2ex与曲线y=ln x-ln 2互为反函数,其图象关于直线y=x对称,故可先求点P到直线y=x的最近距离,函数y=2ex的导数为y=2ex,由y=2ex=1得,x=-ln 2,所以y=2e-ln 2=1,所以当P点为(-ln 2,1)时,点到直线y=x的最近距离为d=,所以|PQ|min=2d=2=(1+ln 2).5.已知函数f(x)=-k,若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围为 ()A.(-,eB.0,eC.(-,e)D.0,e)【解析】选A.f(x)=-k=(x0).设g(x)=,则g(x)=,则g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增.所以g(x)在(0,+)上有最小值,为g(1)=e,结合g(x)=与y=k的图象可知,要满足题意,只需ke.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=2x-的极大值是_.【解析】y=2+,令y=0,得x=-1.当x0;当-1x0时,y0,y0,所以当x=-1时,y取极大值-3.答案:-37.已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为_.【解析】因为y=3x2+6ax+3b,所以y=3x2-6x,令3x2-6x=0,则x=0或x=2.所以f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.答案:48.若函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是_.【解析】若f(x)=3x2-3=0,则x=1,且x=1为函数的极小值点,x=-1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值,则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6-a2)内,且左端点的函数值不小于f(1),即实数a满足a16-a2且f(a)=a3-3af(1)=-2.解a16-a2,得-a1.不等式a3-3af(1)=-2,即a3-3a+20,a3-1-3(a-1)0,(a-1)(a2+a-2)0,即(a-1)2(a+2)0,即a-2,故实数a的取值范围为-2,1).答案:-2,1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点. (1)求a和b的值.(2)设函数g(x)的导函数g(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.【解析】(1)由题设知f(x)=3x2+2ax+b,且f(-1)=3-2a+b=0,f(1)= 3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.将a=0,b=-3代入检验知符合题意.(2)由(1)知f(x)=x3-3x.因为f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,于是函数g(x)的极值点只可能是x=1或x=-2.当x-2时,g(x)0;当-2x0,故x=-2是g(x)的极小值点.当-2x1时,g(x)0,故x=1不是g(x)的极值点.所以g(x)的极小值点为x=-2,无极大值点.【变式备选】(2018潍坊模拟)已知函数f(x)=+bln x,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=x.求函数f(x)的单调区间及极值.【解析】f(x)的定义域为(0,+),f(x)=,故f(1)=b-a=1,又f(1)=a,点(1,a)在直线y=x上,所以a=1,则b=2.所以f(x)=+2ln x且f(x)=,当0x时,f(x)时,f(x)0,故函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为,f(x)极小值=f=2-2ln 2,无极大值.10.已知函数f(x)= (1)求f(x)在区间(-,1)上的极小值和极大值点.(2)求f(x)在-1,e(e为自然对数的底数)上的最大值.【解析】 (1)当x1时,f (x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f (x)=0,解得x=0或x=. 当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:x(-,0)0f(x)-0+0-f(x)极小值极大值故当x=0时,函数f(x)取得极小值为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=. (2)当-1x0时,f(x)在1,e上单调递增,则f(x)在1,e上的最大值为f(e)=a. 故当a2时,f(x)在-1,e上的最大值为a;当a0得x0,由f(x)0得x0.故函数f(x)在(0,+)上单调递增,在(-,0)上单调递减.当a0得0x-,由f(x)0得x-.故函数f(x)在上单调递增,在(-,0)和上单调递减.(2)当a=0时,f(x)在区间0,1上单调递增,其最大值为f(1)=1.当-2a1,f(x)在区间0,1上单调递增,其最大值是f(1)=ea.当a-2时,0-1,x=-是函数f(x)在区间0,1上的最大值点,此时函数f(x)的最大值是f=.综上可得,当-20时,f(x)()A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【解析】选D.由题意得f(x)=,令h(x)=ex-2x2f(x),则h(x)=ex-2x2f(x)+2xf(x)=ex-=,因此当x(0,2)时,h(x)0;即h(x)min=h(2)=e2-222f(2)=e2-24=0,因此x0时,f(x)0.2.(5分)(2018唐山模拟)若函数f(x)=x3-x2+2bx在区间-3,1上不是单调函数,则函数f(x)在R上的极小值为()A.2b-B.b-C.0D.b2-b3【解析】选A.f(x)=x2-(2+b)x+2b=(x-b)(x-2),因为函数f(x)在区间-3,1上不是单调函数,所以-3b0,得x2,由f(x)0,得bx0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是_.【解析】令f(x)=3x2-3a=0,得x=,则f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-,-)-(-,)(,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(-1,1).答案:(-1,1)4.(12分)(2018烟台模拟)已知函数f(x)=ln x+-x,其中常数m0. (1)当m=2时,求函数f(x)的极大值.(2)讨论函数f(x)在区间(0,1)上的单调性.【解析】(1)当m=2时,f(x)=ln x+-x,因为f(x)=-1=-(x0).所以当0x2时,f(x)0;当x0.所以函数f(x)在区间和区间(2,+)上单调递减,在区间上单调递增,所以函数f(x)的极大值为f(2)=ln 2-.(2)由题意知,f(x)=-1=-=-(x0,m0).当0m1,故当x(0,m)时,f(x)0,此时函数f(x)在区间(0,m)上单调递减,在区间(m,1)上单调递增.当m=1时,=1,故当x(0,1)时,f(x)=-1时,01,故当x时,f(x)0,此时函数f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增.【误区警示】不能忽视定义域(x0),否则单调区间会求错.在讨论时,不可丢掉m=1的情况.5.(13分)(2018石家庄模拟)已知函数f(x)=x-ln x-a,g(x)=x+-(ln x)a+1,aR. (1)若f(x)0在定义域内恒成立,求a的取值范围.(2)当a取(1)中的最大值时,求函数g(x)的最小值.【解析】(1)由题意知,f(x)的定义域是(0,+),f(x)=1-=,当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=1-a,所以1-a0,a1