2019版高考数学复习三角函数解三角形第18讲任意角蝗制及任意角的三角函数学案.docx

第18讲任意角、弧度制及任意角的三角函数考纲要求考情分析命题趋势1了解任意角的概念，了解弧度制的概念.2能进行弧度与角度的互化.3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2017北京卷，122016全国卷，91根据角的终边上的点的坐标求三角函数值.2根据三角函数值求参数值.3利用三角函数的定义判断三角函数的图象.分值：35分1角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、！负角#和！零角#.(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角.(3)若与是终边相同的角，则用表示为！2k，kZ#.2弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于！半径#的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.(2)角的弧度数如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是|！#.(3)角度与弧度的换算1！#rad；1 rad！#.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为 rad，半径为r，则l！|r#，扇形的面积为Slr！|r2#.3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin ！y#，cos ！x#，tan ！(x0)#；若终边上有一点P(x，y)(与O不重合)，则sin ，cos ，tan ，其中r.(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的！正弦线#，！余弦线#和！正切线#.1思维辨析(在括号内打“”或“”).(1)顺时针旋转得到的角是正角.()(2)钝角是第二象限的角.()(3)若两个角的终边相同，则这两个角相等.()(4)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角.()(5)终边在y轴上的角的正切值不存在.()解析(1)错误.顺时针旋转得到的角是负角.(2)正确.钝角的范围是，显然是第二象限的角.(3)错误.角180的终边与角180的终边相同，显然它们不相等.(4)错误.1弧度的角是单位圆中长度为1的弧所对的圆心角.(5)正确.终边在y轴上的角与单位圆的交点坐标为(0,1)，(0，1).由三角函数的定义知，角的正切值不存在.2870的终边在第几象限(C)A一B二C三D四解析因8702360150，150是第三象限角.3已知角的终边经过点(，1)，则角的最小正值是(B)ABCD解析sin ，且的终边在第四象限，.4若sin 0，则是(C)A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析由sin 0，知在第一或第三象限，因此在第三象限.5弧长为3，圆心角为135的扇形半径为！4#，面积为！6#.解析弧长l3，圆心角，由弧长公式l|r得r4，面积Slr6.一象限角及终边相同的角象限角和终边相同的角的判断及表示方法(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k(02)(kZ)的形式，然后再根据所在的象限予以判断.(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.【例1】 (1)写出终边在直线yx上的角的集合.(2)若角的终边与角的终边相同，求在0,2内终边与角的终边相同的角.(3)已知角是第一象限角，试确定2，所在的象限.解析(1)终边在直线yx上的角的集合为.(2)所有与角终边相同的角的集合是，所有与角终边相同的角可表示为k，kZ.在0,2内终边与角终边相同的角有，.(3)2k2k，kZ，4k24k，kk，kZ.2在第一或第二象限或终边在y轴非负半轴上，角终边在第一或第三象限.二三角函数的定义利用三角函数的定义解题的技巧(1)已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值.先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解.(2)已知角的某三角函数值，可求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值.(3)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标.【例2】 (1)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y！8#.(2)(2017北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin ，则cos()！#.解析(1)r，且sin ，所以sin ，解得y8.(2)因为角与角的终边关于y轴对称，所以2k，kZ，所以cos()cos(2k2)cos(2k2)cos 2(12sin2).三扇形的弧长及面积公式的应用(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.【例3】 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若，R2，求扇形的弧所在的弓形的面积.解析(1)l10.(2)由已知得l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以R5时，S取得最大值25，此时l10，2 rad.(3)设弓形面积为S弓，由题知l，S弓S扇S222sin .1若sin tan 0，且0，则角是(C)A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限角；由0，可知cos ，tan 异号，从而为第三或第四象限角.综上，为第三象限角.2如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图象大致为(C)解析如图取AP的中点为D，连接OD，连接OP.设DOA，则d2sin ，l2，故d2sin .3若cos ，且角的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是(D)A2B2C2D2解析r，由题意得，解得x2.4已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.解析(1)在AOB中，ABOAOB10，所以AOB为等边三角形.所以弦AB所对的圆心角.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得lR10，S扇形RlR2.又SAOBOAOBsin 25.所以弓形的面积SS扇形SAOB50.易错点定义应用错误错因分析：用三角函数的定义求三角函数值时，要注意点的位置或字母正负的讨论.【例1】 已知角的终边过点P(3a，4a)(a0)，求角的三个三角函数值，解析根据任意角的三角函数的定义可得r5|a|，当a0时，r5a，sin ，cos ，tan .【跟踪训练1】 已知角的终边在直线y3x上，求10sin 的值.解析设终边上任一点为P(k，3k)，则r|k|.当k0时，rk，sin ，10sin 330；当k0，则实数a的取值范围是(A)A(2,3B(2,3)C2,3)D2,3解析由cos 0，sin 0可知，角的终边在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得2a3.4(2018福建三明模拟)设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则sin (A)ABCD解析因为r，cos x，得x3或x3，又因为是第二象限角，则x3，r5，所以sin ，故选A5(2018安徽合肥模拟)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2(B)ABCD解析由题意知，tan 2，即sin 2cos ，将其代入sin2cos21中可得cos2，故cos 22cos21，故选B6已知正角的终边上一点的坐标为，则角的最小值为(D)ABCD解析，角为第四象限角，且sin ，cos ，角的最小值为，故选D二、填空题7在与2 010终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为.解析2 01012，与2 010终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为.8设角为第四象限角，并且角的终边与单位圆交于点P(x0，y0).若x0y0，则cos 2！#.解析由三角函数的定义，得x0cos ，y0sin . cos sin ，两边平方得sin 2，cos 2.为第四象限角，sin 0，sin cos |cos |，cos 2cos2 sin2 0，cos 2.9设角是第三象限角，且sin，则角是第！四#象限角.解析由是第三象限角，知2k2k(kZ)，kk(kZ)，知是第二或第四象限角，再由sin，知sin 0，所以只能是第四象限角.三、解答题10已知角终边上一点P，点P到x轴的距离与到y轴的距离之比为34，且sin 0，求cos 2tan 的值.解析设P(x，y)，则根据题意，得.sin 0)，则r5k，从而cos ，tan ，cos 2tan .若点P位于第四象限，可设P(4k，3k)(k0)，则r5k，从而cos ，tan，cos 2tan .综上所述，若点P位于第三象限，则cos 2tan ；若点P位于第四象限，则cos 2tan .11已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长.解析设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，当且仅当r2，即2时，扇形面积取得最大值4.弦长AB2sin 124sin 112已知sin