2019版高考数学复习函数导数及其应用课时分层作业十六2.11.3导数的综合应用理.docx

课时分层作业 十六导数的综合应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知函数f(x)=x3-x2-x,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为()A.f(-a2)f(-1)B.f(-a2)f(-1)C.f(-a2)f(-1)D.f(-a2)与f(-1)的大小关系不确定【解析】选A.由题意可得f(x)=x2-2x-,令f(x)=(3x-7)(x+1)=0,得x=-1或x=.当x0,f(x)为增函数;当-1x时,f(x)0),则h(x)=.当x(0,1)时,h(x)0,函数h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4.所以ah(x)min=4.3.(2018兰州模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)ex的解集为()A.(-2,+)B.(0,+)C.(1,+)D.(4,+)【解析】选B.因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)的图象关于x=0对称,所以f(x)的图象关于x=2对称,所以f(0)=f(4)=1.设g(x)=(xR),则g(x)=,又f(x)f(x),所以g(x)0(xR),所以函数g(x)在定义域上单调递减.因为f(x)exg(x)=1,而g(0)=1,所以f(x)exg(x)0.4.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为()A.B.C.D.【解析】选C.如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,则V=R2h.设造价为y=2R2a+2Rhb=2aR2+2Rb=2aR2+,所以y=4aR-.令y=0,得=.5.设1x2,则,的大小关系是()A.B.C.D.【解析】选A.令f(x)=x-ln x(1x0,所以函数y=f(x)在(1,2)内为增函数.所以f(x)f(1)=10,所以xln x001.所以0,所以.【方法技巧】破解解不等式或比较大小的关键(1)一是“构造函数”,通过观察所给的不等式的特点,适当构造函数.(2)二是利用导数法,判断所构造函数的单调性,利用其单调性,回归对原函数的符号的判断,即可得出正确的选项.二、填空题(每小题5分,共15分)6.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是_.【解析】令f(x)=3x2-3=0,得x=1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,如图,观察得-2a0),为使耗电量最小,则速度应定为_.【解析】令y=x2-39x-40=0,得x=-1或x=40,由于0x40时,y40时,y0.所以当x=40时,y有最小值.答案:408.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2m对任意x-2,2恒成立,则m的取值范围是_.【解析】令f(x)=x3-3x2-9x+2,则f(x)=3x2-6x-9,令f(x)=0,得x=-1或3(舍去).因为f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20.所以f(x)的最小值为f(2)=-20,故m-20.答案:(-,-20三、解答题(每小题10分,共20分)9.定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=x3-2x+m. (1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程.(2)若f(x)g(x)对任意的x-4,4恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=x2+x,所以当x=1时,f(1)=2,因为f(x)=2x+1,所以f(1)=3,所以所求切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.(2)令h(x)=g(x)-f(x)=x3-x2-3x+m,则h(x)=(x-3)(x+1).所以当-4x0;当-1x3时,h(x)0;当3x0.要使f(x)g(x)恒成立,即h(x)max0,由上知h(x)的最大值在x=-1或x=4处取得,而h(-1)=m+,h(4)=m-,所以m+0,即m-,所以实数m的取值范围为.10.已知函数f(x)=xln x. (1)求f(x)的最小值.(2)若对于所有x1都有f(x)ax-1,求实数a的取值范围.【解析】函数f(x)=xln x的定义域是(0,+).(1)f(x)=1+ln x,令f(x)=0,解得x=.当x时,f(x)0.故f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以当x=时,函数f(x)取得最小值f=-.(2)依题意,得f(x)ax-1在1,+)上恒成立,即不等式aln x+对于x1,+)恒成立,即a,x1,+).设g(x)=ln x+(x1),则g(x)=-=,令g(x)=0,得x=1.当x1时,因为g(x)=0,故g(x)在1,+)上是增函数.所以g(x)在1,+)上的最小值是g(1)=1,故a的取值范围是(-,1.1.(5分)(2018武汉模拟)已知函数g(x)满足g(x)=g(1)ex-1-g(0)x+x2,且存在实数x0,使得不等式2m-1g(x0)成立,则实数m的取值范围为()A.(-,2B.(-,3C.1,+)D.0,+)【解析】选C.g(x)=g(1)ex-1-g(0)+x,令x=1,得g(1)=g(1)-g(0)+1,所以g(0)=1,g(0)=g(1)e0-1,所以g(1)=e,所以g(x)=ex-x+x2,g(x)=ex-1+x,当x0时,g(x)0时,g(x)0,所以当x=0时,函数g(x)取得最小值g(0)=1.根据题意得2m-1g(x)min=1,所以m1.2.(5分)(2018长春模拟)已知函数f(x)=m-1-x2(ex2e)(e为自然对数的底数)与g(x)=2-5ln x的图象上存在关于x轴对称的点,则实数m的取值范围是()A.e2-2,+)B.C.e,2eD.e2+4,4e2+5ln 2+4【解析】选D.由题意可知,方程m-1-x2=5ln x-2在e,2e上有解,即m=x2+5ln x-1在e,2e上有解.令h(x)=x2+5ln x-1,h(x)=2x+,易知h(x)在e,2e上单调递增,所以h(x)在e,2e上的最小值为e2+5-1=e2+4,最大值为(2e)2+5ln(2e)-1=4e2+5ln 2+4.所以实数m的取值范围是e2+4,4e2+5ln 2+4.3.(5分)(2018太原模拟)log0.5log0.5对任意x2,4恒成立,则m的取值范围为_.导学号12560478【解析】以0.5为底的对数函数为减函数,所以得真数关系为-x3+7x2+x-7,令f(x)=-x3+7x2+x-7,则f(x)=-3x2+14x+1,因为f(2)0且f(4)0,所以f(x)0在2,4上恒成立,即在2,4上函数f(x)为增函数,所以f(x)的最大值为f(4)=45,因此m45.答案:(45,+)4.(12分)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,xR.(1)求f(x)的单调区间与极值.(2)求证:当aln 2-1且x0时,exx2-2ax+1.【解析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,xR,知f(x)=ex-2,xR.令f(x)=0,得x=ln 2.于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:x(-,ln 2)ln 2(ln 2,+)f(x)-0+f(x)2-2ln 2+2a故f(x)的单调递减区间是(-,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+),f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值为2-2ln 2+2a.(2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,xR,于是g(x)=ex-2x+2a,xR.由(1)知当aln 2-1时,g(x)取最小值为g(ln 2)=2(1-ln 2+a)0.于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R上单调递增.于是当aln 2-1时,对任意x(0,+),都有g(x)g(0).而g(0)=0,从而对任意x(0,+),都有g(x)0.即ex-x2+2ax-10,故当aln 2-1且x0时,exx2-2ax+1.5.(13分)(2018沈阳模拟)据统计某种汽车的最高车速为120千米/小时,在匀速行驶时每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/小时)之间有如下函数关系:y=x3-x+8.已知甲、乙两地相距100千米. (1)若汽车以40千米/小时的速度匀速行驶,则从甲地到乙地需耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?【解析】 (1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5(小时),需耗油2.5=17.5(升).所以汽车以40千米/小时的速度匀速行驶,从甲地到乙地需耗油17.5升.(2)当