高三数学 计数原理 第十二章 第一节.ppt

第十二章计数原理 考纲分解解读 1 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 2 排列与组合 1 理解排列 组合的概念 2 能利用计数原理推导排列数公式 组合数公式 3 能解决简单的实际问题 3 二项式定理 1 能用计数原理证明二项式定理 2 会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题 知识体系构建 备考方略 排列与组合是高中数学中 从内容到方法都比较独特的一部分 其重点是在熟练应用公式的基础上 运用两个基本原理 解决计数应用题 二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应用 本章内容高考所占比重不大 经常以选择题 填空题的形式出现 但对思维能力要求较高 在复习中 要注意通过典型例题 掌握分析问题的方法 总结解题规律 备考策略如下 立足基本知识和基本方法 恰当选取例题 构建思维模式 1 把分类计数 分步计数原理作为复习的重点之一 2 注意运用分类讨论思想解决排列组合实际问题 突破 不 重不漏 难点 3 熟记二项式定理 二项式通项及求系数和的方法 4 加强数学思想方法训练 数学思想方法是高考的重要内容 分类讨论 转化思想 整体思想 正难则反等数学思想在本章试题中经常考查 如把 a b c n常常转化为 a b c n来处理 复习中应该常归纳总结 第一节分类计数与分步计数原理 课前自主学案 知识梳理 1 分类加法计数原理做一件事 完成它可以有两类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2种不同的办法 定义拓展 做一件事 完成它可以有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的办法 2 分步乘法计数原理做一件事 完成它需要分成两个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2种不同的方法 定义拓展 做一件事 完成它需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 基础自测 1 有三种不同的颜色填涂如图3 3方格中的9个区域 要求每行 每列的三个区域都不同颜色 则不同的填涂方法种数共有 A 48B 24C 12D 6 解析 如下图所示 先涂第一行 a有3种涂法 b有2种涂法 c有一种涂法 由分步计数原理 第一行的涂法数为3 2 1 6种 第二步涂第一列的d和e 涂法数为2 1 2种 第三步涂剩下的四个方格 涂法唯一 只有一种方法 由分步计算原理 不同的涂法种数共有6 2 12种 答案 C 课堂互动探究 如右图所示 在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中 与正八边形有公共边的三角形有 个 解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类 第一类 有一条公共边的三角形共有8 4 32个 第二类 有两条公共边的三角形共有8个 由分类加法计数原理知 共有32 8 40个 答案 40 变式探究 1 在某地的奥运火炬传递活动中 有编号为1 2 3 18的18名火炬手 若从中选出3人 其编号能组成单调递增的等差数列个数为 A 18B 36C 72D 144 分析 等差数列的基本量有两个 首项和公差 分类的标准可以以这两个量展开 解析 法一 首项和公差可确定一个等差数列 以首项进行分类 首项为1时 公差可为1 2 8共8种 首项为2时 公差可为1 2 8共8种 首项为3时 公差可为1 2 7共7种 首项为4时 公差可为1 2 7共7种 首项为15 或16 时 公差只能取1 数列分别为15 16 17 或16 17 18 由分类加法计数原理 可构成2 8 7 1 72个等差数列 法二 首项和公差可确定一个等差数列 以公差进行分类 公差为1时 首项可取1 2 16 公差为2时 首项可取1 2 14 公差为8时 首项可取1 2 由分类加法计数原理 可构成16 14 12 2 72个等差数列 法三 等差数列也可由任意两项确定 由于号码的有界性 考虑所构造数列的首尾项 a1 a3 2a2 a1和a3奇偶性相同 因此共有种 答案 C 有五种不同颜色给图中四个区域涂色 每个区域涂一种颜色 1 共有多少种不同的涂色方法 2 若要求相邻 有公共边 的区域不同色 那么共有多少种不同的涂色方法 解析 1 由于1至4号区域各有5种不同涂法 依分步乘法计数原理 不同的涂法共有54 625 种 2 分两类计数 第一类 1号与3号区域同色 有5 4 1 4 80种涂法 第二类 1号区域与3号区域异色 有5 4 3 3 180种涂法 由分类加法计数原理 共有不同的涂色方法80 180 260 变式探究 2 把一个圆分成3块扇形 现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色 要求相邻扇形的颜色互不相同 问有多少种不同的涂法 解析 依题意 可分三步 如下图 来完成 第一步涂A区域 有5种不同涂法 第二步涂B区域 有4种不同涂法 第三步涂C区域 有3种不同涂法 根据分步乘法计数原理 得不同涂色方法数是 5 4 3 60 种 2008年陕西卷 某地奥运火炬接力传递路线共分6段 传递活动分别由6名火炬手完成 如果第一棒火炬手只能从甲 乙 丙三人中产生 最后一棒火炬手只能从甲 乙两人中产生 则不同的传递方案共有 种 用数字作答 解析 分两类计数 第一类 丙传第一棒时 最后一棒有2种方法共有2 4 3 2 1 48 种 方法 第二类 当甲 乙之一传第一棒时 另一人传最后一棒时 不同的方法共有2 4 3 2 48 种 因此总共有48 48 96 种 不同方法 答案 96 变式探究 3 2009年成都模拟 在由数字1 2 3 4 5组成的所有没有重复数字的5位数中 大于23145且小于43521的数共有 A 56个B 57个C 58个D 60个 解析 万位为3的共计A 24个均满足 万位为2 千位为3 4 5的除去23145外都满足 共3 A 1 17个 万位为4 千位为1 2 3的除去43521外都满足共3 A 17个 以上共计24 17 17 58个 答案 C 2008年重庆卷 某人有4种颜色的灯泡 每种颜色的灯泡足够多 要在右图所示的6个点A B C A1 B1 C1上各装一个灯泡 要求同一条线段两端的灯泡不同色 则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种 用数字作答 解析 第一步 先排底面A1 B1 C1 从4种颜色的灯泡中任选3种排在顶点A1 B1 C1处 共有排法4 3 2 24 种 第二步 将第4种颜色的灯泡排在底面A B C中的任意一个顶点处 有3种排法 第三步 排定第4种颜色的灯泡之后 如排在A处 如右图 若B与A1同色 则C处只有1种排法 若B与A1不同色 则C处有2种排法 即B C处的不同排法有1 1 1 2 3种 由分步乘法计数原理 不同的安装方法共有24 3 1 1 1 2 216 种 答案 216 变式探究 解析 分三类 种两种花有A种种法 种三种花有2A种种法 种四种花有A种种法 共有A 2A A 84 另解 按A B C D顺序种花 可分A C同色与不同色有4 3 1 3 2 2 84 答案 B 温馨提示 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是计数问题的基本原理 它贯穿于全章学习的始终 体现了解决问题时将其分解的两种常用方法 即把问题分类解决和分步解决 是本章学习的重点 2 两个原理的联系与区别共同点 都是计算完成一件事的所有不同的方法种数 不同点 一个与分类有关 一个与分步有关 如果完成一件事情共有n类办法 这n类办法彼此之间相互独立的 无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情 求完成这件事情的方法种数 就用分类加法计数原理 如果完成一件事情需要分成n个步骤 各个步骤都是不可缺少的 需要依次完成所有的步骤 才能完成这件事 而完成每一个步骤各有 若干种不同的方法 求完成这件事情的方法种数就用分步乘法计数原理 简而言之 两个原理都是指完成一件事的方法种数而言的 区别在于 1 分类计数原理是 分类 分步计数原理是 分步 2 分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事 分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步 不能独立完成这件事 3 对两个原理的诠释分类加法计数原理中 完成一件事 有n类办法 是说每种办法 互斥 即每种方法都可以独立地完成这件事 同时他们之间没有重复也没有遗漏 进行分类时 要求各类办法彼此之间是相互排斥的 不论那一类办法中的哪一种方法 都能独立完成这件事 只有满足这个条件 才能直接用分类加法计数原理 否则不可以 分步乘法计数原理中 完成一件事 需要分成n个步骤 是说每个步骤都不足以完成这件事 这些步骤 彼此间也不能有重复和遗漏 如果完成一件事需要分成几个步骤 各步骤都不可缺少 需要依次完成所有步骤才能完成这件事 而各步要求相互独立 即相对于前一步的每一种方法 下一步都有mi种不同的方法 那么完成这件事的方法数就可以直接用分步乘法计数原理 题型展示台 如下图的阴影部分由方格纸上3个小方格组成 我们称这样的图案为L形 那么在由3 5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数有 注 其他方向的也是L形 解析 每四个小正方形图案都可