2019版高考数学复习平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本文.docx

第九节圆锥曲线的综合问题A组基础题组1.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值.2.(2017北京东城一模)已知椭圆W:+=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2.(1)求椭圆W的标准方程及离心率;(2)如图,过点F1作直线l1与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2l1,且l2与椭圆W交于点B,D,l1与l2交于点E,试求四边形ABCD的面积的最大值.3.(2016北京西城期末)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,点A在椭圆C上,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,且l与圆x2+y2=5相交于不在坐标轴上的两点P1,P2,记直线OP1,OP2的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.4.(2016北京朝阳一模)已知椭圆C:+=1的焦点分别为F1,F2.(1)求以线段F1F2为直径的圆的方程;(2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.在x轴上是否存在点Q,使得PQM+PQN=180?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.B组提升题组5.(2017北京海淀二模)已知F1(-1,0)、F2(1,0)分别是椭圆C:+=1(a0)的左、右焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)若A,B分别在直线x=-2和x=2上,且AF1BF1.(i)当ABF1为等腰三角形时,求ABF1的面积;(ii)求点F1,F2到直线AB距离之和的最小值.6.(2016北京海淀二模)已知曲线C:+=1(y0),直线l:y=kx+1与曲线C交于A,D两点,A,D两点在x轴上的射影分别为点B,C.(1)当点B坐标为(-1,0)时,求k的值;(2)记OAD的面积为S1,四边形ABCD的面积为S2.(i)若S1=,求|AD|的值;(ii)求证:.答案精解精析A组基础题组1.解析(1)由题意,知椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e=.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00.因为OAOB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+4=+4=+4(04).因为+4(04),当且仅当=4时等号成立,所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.2.解析(1)由已知,得解得所以椭圆W的标准方程为+=1,离心率e=.(2)连接EO.由题意知EF1EF2,所以|EO|=|F1F2|=1.所以点E的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.显然点E在椭圆W的内部.S四边形ABCD=SABC+SADC=|AC|BE|+|AC|DE|=|AC|BD|.当直线l1,l2中的一条直线与x轴垂直时,不妨令l2x轴,此时AC为长轴,BDx轴,把x=1代入椭圆方程,可求得y=,则|BD|=,此时S四边形ABCD=|AC|BD|=4.当直线l1,l2的斜率都存在时,设直线l1:x=my-1(m0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去x,得(2m2+3)y2-4my-4=0.所以y1+y2=,y1y2=,则|AC|=.同理,|BD|=.S四边形ABCD=|AC|BD|=40.即(-16k2)2-4(2k2+1)(32k2-4)0,解得k2.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1=k(x1-4),y2=k(x2-4).k1+k2=+=0,即(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(x1-m)k(x2-4)+(x2-m)k(x1-4)=0,当k0时,2x1x2-(m+4)(x1+x2)+8m=0,所以2-(m+4)+8m=0,化简得=0,所以m=1.当k=0时,也成立.所以存在点Q(1,0),使得PQM+PQN=180.B组提升题组5.解析(1)由题意可得a2-3=1,所以a2=4,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可设A(-2,m),B(2,n),因为AF1BF1,所以=0,所以(1,-m)(-3,-n)=0,所以mn=3.(i)因为AF1BF1,所以当ABF1为等腰三角形时,只能是|AF1|=|BF1|,即=,化简得m2-n2=8.由可得或所以=|AF1|BF1|=()2=5.(ii)直线AB:y=(x+2)+m,化简得(n-m)x-4y+2(m+n)=0,设点F1,F2到直线AB的距离分别为d1,d2,则d1+d2=+.因为点F1,F2在直线AB的同一侧,所以d1+d2=4.因为mn=3,所以m2+n22mn=6(当且仅当m=n时取等号),d1+d2=4=4,所以d1+d2=42.当m=n=或m=n=-时,点F1,F2到直线AB的距离之和取得最小值2.6.解析(1)因为B(-1,0),所以设A(-1,y0),代入+=1(y0),解得y0=,将A代入直线y=kx+1,得k=-.(2)(i)解法一:设点E(0,1),A(x1,y1),D(x2,y2).由得(3+4k2)x2+8kx-8=0,所以因为S1=|OE|(|x1|+|x2|)=1|x1-x2|=|x1-x2|,而|x1-x2|=,所以S1=,所以=,所以=,解得k=0,所以|AD|=.解法二:设点E(0,1),A(x1,y1),D(x2,y2).由得(3+4k2)x2+8kx-8=0,所以