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韩春艳 奈奎斯特稳定性判据 2012年9月 1 一 奈奎斯特稳定性判据 奈奎斯特围线是如下点的集合 s平面上轴上除了极点外所有点的集合 加上轴上极点处半径为无穷小右半圆上点的集合 再加上右半s平面半径为无穷大半圆上点的集合 1奈奎斯特围线 2奈奎斯特曲线 奈奎斯特曲线是s平面上奈奎斯特围线 按规则在平面上的影射 一 奈奎斯特稳定性判据 在给定系统的半奈奎斯特曲线及开环传递函数在右半s平面极点的个数P 可利用奈奎斯特稳定性判据判定系统的稳定性 负反馈闭环系统 当其开环频率特性不通过 GH 平面上点时 则闭环传递函数位于s右半平面极点的个数为 3奈奎斯特稳定性判据 1 一 奈奎斯特稳定性判据 式中 P 开环传递函数位于右半s平面极点的个数 半奈式曲线逆时针方向穿越点左侧实轴的次数 而逆时针起始于或终止于点左侧实轴的次数 折半计算 半奈式曲线顺时针方向穿越点左侧实轴的次数 而顺时针起始于或终止于点左侧实轴的次数 折半计算Z 闭环传递函数 位于右半s平面极点的个数 即特征方程位于右半s平面根的个数 3奈奎斯特稳定性判据 一 奈奎斯特稳定性判据 3奈奎斯特稳定性判据 由式 1 可知 系统渐近稳定的充分必要条件是 2 由式 1 还可知 渐近稳定的必要条件是 发散不稳定的充分条件是 当开环频率特性通过 GH 平面上点时 且当曲线在点左右作微小移动时 会使系统由渐近稳定变成发散不稳定 或会使系统由发散不稳定变成渐近稳定 系统称为临界稳定 开环幅相曲线的绘制 3 曲线变化范围 由表达式取点 计算 描点 概略曲线 工程方法 精确曲线 概略幅相曲线的三要素 1 起点 终点 2 与实轴交点及交点处的频率 称为穿越频率 x 象限 单调性 一 奈奎斯特稳定性判据 4Nyquist相曲线的绘制 对应的 1起点 2终点 对应的 一 奈奎斯特稳定性判据 3与实轴的交点 4曲线变化范围 象限及单调性 穿越频率 当G j H j 包含非最小相位环节或一阶 二阶微分环节时 幅相曲线上会有凹凸点 即相角不会单调减少 一 奈奎斯特稳定性判据 二 对数频率特性稳定性判据 在给定负反馈闭环系统的开环传递函数右半s平面极点个数P及对数幅频特性 相频特性 且时 可应用对数频率特性稳定性判据 判定系统的稳定性 基于Bode图和基于Nyquist图的两种稳定性判据是一致的 只是坐标系不同而已 3 负反馈闭环系统 位于右半s平面极点的个数为 1对数频率特性稳定性判据 二 对数频率特性稳定性判据 式中 P 开环传递函数位于右半s平面极点的个数 相频特性曲线正穿越次数 在对应的频率范围内 自下而上穿越线的次数 其中自下而上起始于或终止于该线的次数 折半计算 相频特性曲线负穿越次数 在对应的频率范围内 自上而下穿越线的次数 其中自上而下起始于或终止于该线的次数 折半计算 Z 闭环传递函数 位于右半s平面极点的个数 即特征方程位于右半s平面根的个数 二 对数频率特性稳定性判据 由式 3 可知 系统渐近稳定的充分必要条件是 4 由式 3 还可知 渐近稳定的必要条件是 发散不稳定的充分条件是 在的条件下 当系统参数有微小变化使时 会使系统由渐近稳定变成不稳定或相反 在这种条件下 称系统为临界稳定 即总的曲线等于各典型环节的叠加 1 分解 2步骤 1思路 将复杂的G s H s 分解为典型环节的串联 比例积分 微分一阶惯性 一阶微分二阶振荡 二阶微分 2 求各环节转折频率 并从小到大排列 最小的转折频率 min和最大的 max 2开环对数频率曲线 Bode图 的绘制 3 低频段 位置确定 三种方法 取 由K和积分环节决定 min 在 min上任取 0 计算 按转折频率对应的环节绘制 5 必要时作修正 三 例题详解 例1 某系统的开环传递函数 其无零点二节环节的幅相特性曲线如下图所示 试求使系统稳定的取值范围 三 例题详解 解答 由给定条件可知 其幅频特性和相频特性 三 例题详解 解答 由式 2 当时 有 则 即 由式 1 当时 有 得 三 例题详解 解答 三 例题详解 例2 某单位负反馈系统 其开环传递函数为 试大致画出奈奎斯特图 并确定使系统渐近稳定的K取值范围 三 例题详解 解答 三 例题详解 解答 三 例题详解 例3 某负反馈控制系统 开环传递函数 试 1 画出幅相特性曲线 2 判定稳定性 三 例题详解 解答 1 幅相特性曲线 幅值变化 相角变化 三 例题详解 解答 2 系统稳定性 系统在条件下 发散不稳定 三 例题详解 例4 某单位负反馈非最小相位系统 其开环传递函数为 试 1 画出半奈奎斯特曲线 2 判定系统的稳定性 三 例题详解 解答 1 半奈奎斯特曲线 幅值变化 相角变化 三 例题详解 解答 2 系统稳定性 系统为渐近稳定系统 三 例题详解 例5 某负反馈非最小相位系统 其开环传递函数为 试 1 画出半奈奎斯特曲线 2 判定系统的稳定性 三 例题详解 解答 1 半奈奎斯特曲线 幅值变化 相角变化 首先把写成标准形式 频率特性 三 例题详解 解答 2 系统稳定性 系统为发散不稳定系统 三 例题详解 例6 设某负反馈系统的频率特性曲线如下图所示 开环增益 S右半平面极点数 坐标原点极点数 试确定使系统渐近稳定的K取值范围 三 例题详解 解答 首先将各点的坐标改写成 闭环系统渐近稳定的条件 或 由 得 由 得 三 例题详解 例7 某单位负反馈非最小相位系统 其开环传递函数为 试 1 画出半奈奎斯特曲线 2 用奈奎斯特稳定性判据判定系统的稳定性 三 例题详解 解答 1 半奈奎斯特曲线 而的极值为 9 19 分母的极值 令 得 三 例题详解 解答 2 系统稳定性 系统为发散不稳定系统 三 例题详解 例8 某单位负反馈系统 其开环传递函数为 试 1 绘制开环频率特性极坐标草图 2 利用奈奎斯特稳定性判据判定系统的稳定性 三 例题详解 解答 1 极坐标草图 开环传递函数的标准型 三 例题详解 解答 2 系统稳定性 系统为发散不稳定系统 三 例题详解 例9 某控制系统如下图所示 试用奈奎斯特判据判定系统的稳定性 三 例题详解 解答 由于线性系统的稳定性与输入无关 可令并将3与并联作为 这样有 渐近稳定系统 三 例题详解 注意 此题不要按单位负反馈系统求开环传递函数 尚需求出P并画图 这是很繁琐的 三 例题详解 例10 某单位负反馈系统 其开环传递函数为 试 1 画出Bode图 2 利用对数判据判定系统的稳定性 三 例题详解 解答 1 Bode图 首先把开环传递函数按画Bode图需要写成标准型 本题中 三 例题详解 解答 2 系统稳定性 系统发散不稳定 三 例题详解 例11 已知单位负