八年级上册13.4课题学习.doc

最短路径问题教学设计横峰县青板中学 杨志强一、教材分析1、地位作用新课程改革以来，教学理念发生很大转变。要求数学更贴近于生活，能为生产与生活服务，于是出现了许多省时、省力的最优方案的数学问题。最短路径问题同样如此，最短路径问题是八年级数学上册第13.4节内容，这类问题通过已学过的轴对称和平移知识进行转化，再运用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”的知识加以解决。既能对已学知识进行拓展，又能体现数学在生活中的应用性。2、学情分析学生已学习过一些关于“两点之间，线段最短”，“垂线段最短”以及“三角形的两边之和大于第三边”等知识。他们对于几何主题探究都十分感兴趣，在数学问题的提出和解决上有一定的方法，也愿意投入学习精力，但分析推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，不够深入和全面，需要教师在课堂教学中进一步加强和引导。二、教学目标 1、知识目标： 能利用轴对称变换和平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。 2、能力目标： 在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。 3、情感目标： 通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。三、教学重、难点教学重点: 将实际问题转化成数学问题，运用轴对称变换和平移变换解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。教学难点: 探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。四、教学准备 多媒体课件，三角板，圆规，作图纸。五、教学过程 1、创设情境，揭示课题。 课件出示草原美丽的图片，将贯穿主线的人物“牧马人”引出，通过他在劳动中遇到的路径问题向同学们进行求助，从而揭示课题。（板书：最短路径问题） 【设计意图】通过实际的生活情境，将学生引入新课的学习中，激发学生的好奇心和解决问题的意愿，从而调动学生的学习兴趣。 2、复习旧知，进行铺垫问题一AB如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后骑马趟过河到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ l（1）学生思考后在纸上作图确认饮水点。（2）请学生代表在黑板上板书作法。（3）师生问答：师：你是如何考虑的？生：我把河流看成一条直线，A、B两地看成两个点，连接AB与直线l相交于点C，点C即为最佳饮水点。（教师及时表扬该同学把实际问题转化为数学问题的思想。）师：你的理由是什么？生：两点之间，线段最短。（4）总结知识点并板书：两点之间，线段最短。【设计意图】通过简单的实例让学生初步体会把实际问题转化为数学问题的数学思想，同时对两点在直线异侧的最短路径情况分析，为后面的问题解决做铺垫并提供依据。3、探究学习，感受转化问题二 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（1）再次引导学生将实际问题转化为数学问题。lBA（2）利用几何画板验证“直线l上是否存在点C，使得AC+CB的和最小？” 学生猜想三个特殊位置，点A到直线l的垂线段的垂足上；点B到直线l的垂线段的垂足上；线段AB的垂直平分线与直线l的交点上。（教师对学生的猜想要给予积极的肯定） 利用几何画板的自动计算线段长度的功能否定这三个特殊位置，并找到真正的最佳饮水点，验证存在性。【设计意图】鼓励学生大胆猜想，同时利用计算机软件的直观性验证最佳饮水点确实存在，激发学生求知愿望。（3）对问题一和问题二进行对比，提出如何转化。 能否将问题二中A、B两点在直线l的同侧转化为问题一A、B两点在直线l的异侧解决。 利用几何画板展示轴对称变换，教师引导让学生找到始终保证路径长度相等的前提下改变路径的方向，从而转化为问题一的解决方法。（4）学生思考，在作图纸上做出图形解决问题二。同时请学生代表在黑板上作图，并口述作图方法与原理。 学生归纳：通过轴对称变换将线段BC转换为线段CB进行分析，只要AC与CB 在同一线段上就可利用“两点之间，线段最短”加以解决。 引导学生提出其他作法，并在课后完成进行验证。 提出其他作法，学生展示做点A的对称点的方法，让学生找到两种方法的不同作法，但结论相同即点C的位置不变的结论。【设计意图】通过几何画板的动画演示让学生直观体验，找到两点在直线同侧转化为两点在直线异侧的方法，体会轴对称变换在这里的关键作用，同时让学生讲作图方法和判断依据，锻炼学生的表达和归纳能力，进一步体会“两点之间，线段最短”的理论依据。通过不同的作图方法让学生感受一题多解的数学魅力。（5）证明点C即为所求饮水点，其他饮水点C点路径之和更大。学生板书证明过程，教师简单总结。【设计意图】运用三角形两边之和大于第三边进行几何证明，培养学生的推理论证能力，让几何语言描述规范化。问题三（造桥选址问题）如图，A地和B地在同一条河的两岸，牧马人要从A地过河到达B地，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）（1）分析问题，引导学生把实际问题转化为数学问题。（2）分析路径的组成（AM+MN+NB），判断线段MN的不变性与路径最短的无关性，探讨路径最短的存在性。再次利用几何画板软件，通过改变MN的位置，让学生观察到MN永远固定，路径的最短只考虑AM+NB最小即可。改变桥MN的位置，利用几何画板的线段自动计算功能论证桥在某个位置可使路径最短位置的存在性。【设计意图】再次感受计算机软件在数学上的应用，通过分析体会如何找到解决问题的关键点。（3）演示ppt动画，通过平移变换让学生直观体验，找到解决问题的方法。 学生在作图纸上通过作图找到造桥点的具体位置。 请学生代表在黑板上作图，口述作图方法和原理。学生归纳：通过平移将线段AM与NB连接起来，只要它们在同一线段上就可利用“两点之间，线段最短”加以解决。 引导学生提出其他作法，并在课后完成进行验证。【设计意图】通过动画演示平移变换，摆脱教师在传统教法上的弊端，在平移变换也不改变线段长度的基础上利用“两点之间，线段最短”解决问题，再次体会数学的转化思想与一题多解思想。同时锻炼学生的表达与归纳能力，展示的同时增强学生的自信心。3、变换应用，巩固提高 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，饮马后他总是喜欢沿着河岸走100米，然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（1）分析A、B两地在直线l的同侧，引导学生回想问题二，用轴对称变换解决。分析题中整个路径分成几段？哪一段是不变的，引导学生回想问题三，用平移解决。（2）学生进行讨论，交流后进行作图，解决问题。（3）请学生代表展示作品，解析作图的方法步骤，并简单分析为什么既用轴对称变换又用到了平移变换。（4）其他方法的讨论。【设计意图】对最短路径问题中的两种变换方法的再认识，培养学生的分析能力和综合运用所学知识解决问题的能力。4、归纳总结，课外延伸（1）解决实际问题的方法与步骤。 实际问题 转化 数学问题 解 决 解决数学问题 联系旧知，解决新知（2）解决最短路径问题的常用方法 轴对称变换平移变换 （板书）（3）课后作业 完成造桥选址问题中平移点B的作法。 尝试巩固练习中的其他作法。 如图，A为马厩，牧马人某一天要把马从马厩牵出，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩. 请你帮他确定这一天的最短路线.【设计意图】从知识整理到课后延伸，让学生有更多的发展空间，培养自主学习的能力。5、教师寄语 同学们，本节课牧马人遇到的一系列问题都是我们生活中的问题。这就告诉我们：数学是来源于生活，但最终又应用于生活。希望你们努力学习更多的数学知识，合理解决以后你们在生活中遇到的各种实际问题，同时找到更多的最佳方案。6、板书设计 最短路径问题 问题一、 问题二、知识点：两点之间，线段最短。 问题三、转化方法：轴对称变换 平移变换六、教学反思 最短路径问题是一节数学的课题学习课，信息量较大，学生理解和掌握有很大的难度，而且因为牵涉到图形的变换和简单的动点的认识，老师处理起来也往往比较棘手。教学中我通过草原上牧马人劳作中遇到的实际问题这一生活情境，把牧马人贯穿始终，提出一系列的问题让学生自主解决。先提出简单的问题一即两点在直线的异侧情况让学生解决，从而引出“两点之间，线段最短”这一理论依据，为后面问题的解决做好铺垫。而问题二、问题三的解决对学生来说有一定的难度，为此我在设计问题的时候采用逐步化简的方案，把难的问题分解，解剖成简单的小问题一步步来解决。同时为了找出解决问题的突破口，我通过几何画板和ppt的动画演示效果让学生自己思考找到问题的解决办法。每个问题的解决都让学生自己展示做法与作图的原理，锻炼学生的表达能力和归纳能力，提升学生的自信心。总结部分主要是给学生贯