随机环境中随机游动上的随机分枝系统.doc

随机环境中随机游动上的随机分枝系统李应求 李旭 刘全升摘要 考虑上的一个粒子系统，其中粒子的繁衍构成一个随机环境中的分枝过程，粒子的移动遵循随机环境中的随机游动规律，研究时刻最右边粒子位置的极限性质，所得结果揭示出系统的一个临界性质。关键词 随机环境 临界性 最右边粒子位置 随机游动 分枝过程 大偏差1引言离散时间的分枝随机游动是指在给定的图上，考察位于坐标上的一个粒子，经过单位时间后，该粒子依给定的分布移动到其他位置或保持不动，同时依给定的分布产生后代;任取后代中的一个粒子，则经过单位时间后，独立于其他粒子依分布移动到其他位置或保持不动，同时独立于其他粒子依分布生成后代，依次下去即为分枝随机游动模型.将这种模型推广到随机环境时，因为位置与时间均可对粒子行为产生影响，所以从空间环境和时间环境两个角度出发。使环境的随机性分别作用于和时，将产生多种不同类型的随机环境中分枝随机游动模型.在文献1-6的模型中随机环境只对起作用;在Devulder7的模型中随机环境只对起作用;在文献8，9的模型中随机环境对及均起作用.以上文献中讨论的随机环境均为空间环境，因为其粒子繁衍及移动均只与所在位置有关.本文则将分枝随机游动建立在两个相互独立的空间环境和时间环境中，其中空间环境仅决定粒子的移动，而时间环境仅决定粒子的繁衍.Devulder7讨论了受独立同分布环境影响的分枝随机游动模型，借助于文献10,11中的大偏差定理，部分地得到了非灭绝情形下的上、下极限的界值，其中表示时刻最右边粒子的位置;文献8讨论了一般环境下，及均受影响的分枝随机游动模型，利用Lyapunov函数得到了在非灭绝情形下粒子整体对于起始点的瞬时及常返性;本文则讨论了在及环境下的分枝随机游动模型，借鉴Devulder7和文献8中的方法，讨论了非灭绝情形下的极限行为;而当为确定环境，即分枝游动只受环境影响时，我们求出了非灭绝情形下的极限值.2 模型建立及相关知识设,其非负部表示为.设概率空间为而为任一可测空间.令为环境变量并且相互独立，其中独立同分布且取值于(0，l)，而独立同分布且取值于.记号分别为全概率在给定环境下的条件概率.在环境上定义一个随机游动，它满足并且对任意的和有 (1) (2)下面我们在上述随机游动(RWRE)中建立随机分枝系统(BPRE):1.在时刻只有一个粒子位干点;2.在时刻该粒子以概率移动到1点，或以概率移动到点.同时以概率劝产生个后代，并且自身死亡；3.在时刻，这个粒子相互独立的依规律(l)和(2)式移动到新的位置，到达后分别独立的依概率产生个后代，并且自身死亡;4.依次下去就可以得到一个建立在随机环境中随机游动上的随机分枝系统.若不考虑其运动情形，此随机分枝系统其实就是独立同分布环境中的分枝过程12我们用表示其第代粒的个数，令.而对于平稳遍历的分枝过程，Athreyai12,13证明了如下的结果:引理1 在上临界条件下，即且，则对于环境下的灭绝概率而言有 假设为的联合分布.我们恒设如，其中为常数.Solomonll14证明了对上述RWRE有下述结果:引理2 令，则当且仅当时，游动是常返的;若，则;若了，则a.以下假设，对于的情形可以平行讨论.在此基础上，Greven和denHollande11证明了对于存在一个确定的(非随机的)速率函数使得满足一类大偏差定律(LDP).引理311 任取，那么.有 (3) (4)当为确定环境时，该结果退化为Cranl6r15定理.Comets等8给出了速率函数的性质,在情形下，存在，它是的极限值，使得,且在上是严格单增的.3主要结果就像Devulder7在为确定环境时所注意到的一样，此模型中存在这样一种竞争，当的时候，受环境的影响，粒子具有向移动的趋势;但在分枝过程非灭绝的情形下，又增大了某些粒子跑到去的可能性.下面我们通过对最右边粒子位置的研究，证明了当时，即粒子数不是足够多时，所有粒子跑向;而在为确定环境情形，当时，即粒子数足够多时，有粒子跑向令表示时刻最右边的粒子所在的位置.以下总假定树满足上临界性质:， (5) 定义1 如果，令是方程在上的唯一解;如果，定义.注1 由的单调性和连续性知,是定义好的，而且当时;当时，;当时，.定理l对于上面定义的模型，有注2 Devulde7考虑了为确定环境的情形，并在二阶矩条件下证明了类似的结果.注3 当时，最右边的粒子依正的速度趋于，因为此时.定理2当为确定环境时，即存在常数，使得时，有因此在非灭绝条件下，当时，最右边的粒子依速度趋于；当时，最右边的粒子依速度趋于.4模型性质及引理对任意的及，定义为时刻位于点的粒子的个数;定义为时刻位于点的粒子中第粒子生成下一代的个数，则，是独立同分布的随机变量，且满足: ，.对于，它满足对任意的及有 对BWRE上的BPRE，任取及，定义并约定引理4 任取及，有 （6）证明 下面应用归纳法证明此引理.事实上，当时结论显然成立.假设对于给定的及任意的均有(6)式成立，则对于有由于时间环境和空间环境是相互独立的，故显然有下面的推论:推论1任取对任意的有.5定理的证明定理1的证明 由定义知，对于任意的，存在，使得利用引理3和4知，对几乎所有的环境，当充分大时，.由于，故由Borel-cantelll引理可知，当足够大时，在内没有粒子存在，即当足够大时.由的任意性,我们可以得到对几乎所有的环境有 . (7)定理2的证明 由于定理1，我们只需证明下界.设，由假设知存在,使得.取定满足(3)式的环境，当足够大时有，从而 对于取定的环境,下面用构造一个随机环境上的随机树(参照Biggins15的方法):1.令,即在零时刻只有一个粒子位于零点;2.令为随机树中在时刻位于内的粒子的个数，记这些粒子的全体为;3.假设中第个粒子的位置为，设为这个粒子在代后产生的位于内的粒子数，令;4.依次下去，由随机环境中分枝过程的定义知，可以得到一个环境中的分枝过程.这样构造的分枝过程是上临界的，证明如下:引理5 对于固定的，随机环境下的分枝过程是上临界的.证明 由上临界的定义，只需证明以下两点:，这可以由的选取直接得出. .令为时刻落在区间内的粒子的个数，由单调性，只需证 (8)用归纳法证明上式.已知，则当时， 假设时刻有.注意到当时，当且仅当在时刻的所有粒子都落在点或，而且所有这些粒子在时刻都向左移动，所以，从而,则在时刻有引理6 令表示在时刻最右边粒子所在位置，则对于几乎所有的环境.有.证明 由的构造，有，这里表示在时刻原过程落在内的粒子数，因此根据分枝过程的结果，当，显然有，对充分大的成立，从而，进而由插值法知.引理证毕.下面完成对定理2的证明:定义.设为位置环境的推移算子，满足.由于为一常序列，有，取，使得，其中为时刻总粒子数.当过程从出发时，记以取代.设为时间环境的推移算子，在集合上有因此.利用引理6，由于故由控制收敛定理有，从而，于是有由(7)和(9)式可知，定理2成立.注4 对于临界情形，即时，由于我们这里使用的比例函数太大，使得速度为，这样一来就无法判断最右边的粒子极限行为.但是若取比例函数为或其他形式，是否可以求出极限的范围甚至精确值，将是我们感兴趣的问题.参考文献1 AlbeverioS,BogaehevL V,MolehanovS A,et al.Anneale dmoment Lyunovex Ponents for a branchin random walk in a homogenous random branching environment.Markov Proeess RelatFields，2000，6(4):472一5162 BaillonJB，ClementP，GrevenA.et al.A variational approach to branching random walk in random environmentAnn probab，1993，21(1):290-3173 den Hollander F，Menshikov M V，Popov S Yu. A note on transience versus recurrence for branching random walk in random environment. J Statist phys,1999,95(3/4):587-6144 Fleischmann K,Gveven A.Localization and select in a mean field branching random walk environment. Ann Probab，1992，20(4):2141-21635 Greven A, den Hollander F.Branching random walk in random environment: phase transition for local and global growth rates. Probab Theory Relat Fields，1992，91(2):195-2496 Rvsz P.Supercritical branching random walk in d-dimensional random environment. In:Applied Statis-ticalS eienee，Vol , Commack,NY:Nova Sci Punl.41-457 Devulder A.A branching system of random walks in random environment，preprint，Univ Paris 6，20038 CornetsF，Menshikov M V，Popov S Yu，One-dimensional branching random walk in random environment: a classification . Markov Process Relat Fields，1998，4(4):465-4779 Machado F P Popov s Yu One-dimensional branching random walk in a Markovian random environment J Appl Probab，2000,37(4):1157-116310 Comets F, Gantert N Zeitouni O, Quenched , annealed and functional large deviations for one-dimensional random walk in random environment. Probab Theory Related Fields，2000,118:65-11411Greven A，den Hollander F.Large deviations for a random walk inrandom environment. Ann Probab，1994,22:195-24912 Athreya K B，Karlin s. On branching processes with random environment Extinction Probabilities. Ann Math Statist，1970，42:1499-152013 Athreya K B，Karlin s. On branching process with random environment Limit theorems. Ann Math Statist，1971，42:1841-185914 Solmon F.