静电学_2.ppt

1 4电力线和电通量 高斯定律 1 5利用高斯定律求静电场的分布 例一用高斯定律求点电荷的场强分布 证明库仑定律 例四 求无限长均匀带电直线的场强分布 例二 均匀带电的球壳内外的场强分布 例三 均匀带电的球体内外的场强分布 例五 求无限大均匀带电平板的场强分布 例六 求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布 目录 1 4电力线和电通量 正确的选择可以使数密度等于场强 1定义 一 电力线 electriclineofforce CAIUPS 电力线上各点的切线方向表示电场中该点场强的方向 在垂直于电力线的单位面积上的电力线的条数 数密度 等于该点的场强的大小 2电力线的性质 电力线不会中断 电力线不会相交 单值 电力线不会形成闭合曲线 它起始于正电荷终止于负电荷 1定义 二 电通量 通过任一面元的电力线的条数称为通过这一面元的电通量 类比于流速场的定义 面元在垂直于场强方向的投影是 是面元的法线方向 是场强的方向与面元法向的夹角 所以 定义 矢量面元 大小等于面元的面积 方向取其法线方向 因此电通量 所以通过它的电通量等于面元的电通量 又因 通过任一曲面S的电通量 2方向的规定 闭合曲面外法线方向 自内向外 为正 非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺旋法则 三 静电场的高斯定律Gausstheorem 数学表达式 证明 可用库仑定律和叠加原理证明 1证明包围点电荷的同心球面的电通量等于 球面上各点的场强方向与其径向相同 球面上各点的场强大小由库仑定律给出 此结果与球面的半径无关 换句话说 通过各球面的电力线总条数相等 从发出的电力线连续的延伸到无穷远 2证明包围点电荷的任一闭合曲面的电通量等于 立体角solidangle 立体角 实际上因为电力线不会中断 连续性 所以通过闭合曲面和的电力线数目是相等的 可以证明 略 由于电力线的连续性可知 穿入与穿出任一闭合曲面的电通量应该相等 所以当闭合曲面无电荷时 电通量为零 3证明不包围点电荷的任一闭合曲面的电通量恒等于零 4证明 多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电通量的代数和 利用场强叠加原理可证 两点说明 高斯定律中的场强是由全部电荷产生的 通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷 闭合曲面外的电荷对电通量无贡献 附 对于静止电荷的电场 库仑定律和高斯定律等价 高斯定律的用途 当电荷分布具有某种对称性时 可用高斯定律求出该电荷系统的电场的分布 比用库仑定律简便 当已知场强分布时 可用高斯定律求出任一区域的电荷 电位分布 开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方反比关系 这说明它们不是相互独立的定律 而是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一客观规律 对于运动电荷的电场 库仑定律不再正确 而高斯定律仍然有效 1 5利用高斯定律求静电场的分布 均匀带电球壳 均匀带电无限大平板 均匀带电细棒 例一用高斯定律求点电荷的场强分布 证明库仑定律 由对称性可知场强的方向在径向 若将另一点电荷放在离为远的地方 则由场强定义可求出受到的力 点电荷的场具有一点电荷为中心的球对称性 固选以点电荷为球心 任一长度r为半径的球面为高斯面 则有 例二 均匀带电的球壳内外的场强分布 设球壳半径为R 所带总电量为Q 解 场源的对称性决定着场强分布的对称性 它具有与场源同心的球对称性 固选同心球面为高斯面 场强的方向沿着径向 且在球面上的场强处处相等 当高斯面内电荷为Q 所以 当高斯面内电荷为0 QK 1 高斯面 高斯面 结果表明 QK 1 均匀带电球壳外的场强分布正象球面上的电荷都集中在球心时所形成的点电荷在该区的场强分布一样 在球面内的场强均为零 例三 均匀带电的球体内外的场强分布 设球体半径为R 所带总带电为Q JD3Q 1 解 它具有与场源同心的球对称性 固选取同心的球面为高斯面 例四 求无限长均匀带电直线的场强分布 设线电荷密度为 该电场分布具有轴对称性 距离导线r处一点p点的场强方向一定垂直于带电直导线沿径向 并且和P点在同一圆柱面 以带电直导线为轴 上的各点场强大小也都相等 都沿径向 以带电直导线为轴 作一个通过P点 高为的圆筒形封闭面为高斯面S 通过S面的电通量为圆柱侧面和上下底面三部分的通量 因上 下底面的场强方向与面平行 其电通量为零 即式中后两项为零 此闭合面包含的电荷总量 其方向沿求场点到直导线的垂线方向 正负由电荷的符号决定 解 由于电荷分布对于求场点p到平面的垂线op是对称的 所以p点的场强必然垂直于该平面 又因电荷均匀分布在无限大的平面上 所以电场分布对该平面对称 即离平面等远处的场强大小都相等 方向都垂直于平面 当场强指离平面 当场强方向指向平面 例五 求无限大均匀带电平板的场强分布 设面电荷密度为 选一其轴垂直于带电平面的圆筒式封闭面作为高斯面S 带电平面平分此圆筒 场点p位于它的一个底面上 由于圆筒侧面上各点的场强方向垂直于侧面的法线方向 所以电通量为零 又两个底面上场强相等 电通量相等 均为穿出 场强方向垂直于带电平面 场强方向指离平面 场强方向指向平面 例六 求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布 设面电荷密度分别为和 解 该系统不再具有简单的对称性 不能直接应用高斯定律 然而每一个带电平面的场强先可用高斯定律求出 然后再用叠加原理求两个带电平面产生的总场强 需注意方向 作业 直流电路中的平行板电容器间的场强 就是这种情况 由图可知 在A区和B区场强均为零 C区场强的方向从带正电的平板指向带负电的平板 场强大小为一个带电平板产生的场强的两倍 1 4电力线和电通量 高斯定律 1 5利用高斯定律求静电场的分布 例