线代数复习题及答案.doc

线性代数期末复习题一、填空题1. 行列式中元素的代数余子式 .2. 矩阵中的元素 .3. 设为3阶矩阵，且，则 .4. 设均为阶可逆矩阵，且逆矩阵分别为,则 .5. 若线性无关，则一定线性 （就相关性回答）.6. 设均为阶方阵，可逆，则矩阵方程的解为 .7. 设是含有个未知量个方程的齐次线性方程组，且，则有 解.8. 若5元线性方程组的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则 . 9. 若行列式的每一行（或每一列）元素之和全为零，则行列式的值等于_;10. 设n阶矩阵A满足A2-2A+3E=O，则A-1=_.11. 设，则的一个最大线性无关组为_.12. 设是非齐次方程组AX=b的一个解向量，是对应的齐次方程组AX=0的一个基础解系，则 ,线性_;（相关或无关）.13. 设1 , l2 为n阶方阵A的两个互不相等的特征值，与之对应的特征向量分别为X1，X2，则X1+X2_矩阵A的特征向量.（是或不是）.14. 设A为n阶方阵， 若A有特征值1 , l2 , ln，则|A2+E|=_;15. n维向量空间的子空间W=(x1，,x2, , xn): 的维数是 .16. 设 如果|A|=1, 那么 |B| = _.17. .18. = （n为正整数）.19. 设A=，则= .20. 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 .21. 向量 .22. A、B、C有ABC=E,E为 .23. 若阶矩阵A有一特征值为2，则 .24. 若A、B为同阶方阵，则的充分必要充分条件是 .25. .正交矩阵A如果有实特征值，则其特征值 .二、选择题1. 设，则（ ）. A B C D2.设为同阶方阵，则下列命题正确的是（ ）.A.若，则必有或 B.若，则必有,C.若秩,秩，则秩 D. 3.下列所指明的各向量组中，（ ）中的向量组是线性无关的. A向量组中含有零向量B任何一个向量都不能被其余向量线性表出 C存在一个向量可以被其余向量线性表出D向量组的向量个数大于向量的维数4.向量组，的一个极大线性无关组是（ ）. A. B. C. D. 5.线性方程组 （ ）.A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解6. 矩阵.A、1 B、2 C、3 D、47. 齐次线性方程组的基础解系中含有解向量的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、48.已知向量组 （ ）A、-1 B、-2 C、0 D、19. A、B（ ）A、B=E B、A=E C、A=B D、AB=BA10. 已知（ ）A、1或2 B、-1或-2 C、1或-2 D、-1或211.若（ ）A、12 B、-12 C、18 D、012.设A、B都是（ ）A、A=0或B=0 B、A、B都不可逆C、A、B中至少有一个不可逆 D、A+B=O13. 向量组（ ）A、 B、中有两个向量的对应分量成比例C、中每一个向量都可用其余个向量线性表示D、中至少有一个向量可由其余个向量线性表示14.由（ ）A、 B、 C、 D、15.若（ ）A、它们的特征矩阵相似 B、它们具有相同的特征向量C、它们具有相同的特征矩阵 D、存在可逆矩阵三、计算题1. 计算行列式的值（1） ；（2）.2. 设矩阵，且有，求（1） （2）矩阵 3. 设矩阵，.4. 设.5. 求向量组的秩 . 6. 求线性方程组 的通解. 7. 求线性方程组的一般解8. 当a为何值时，方程组有无穷多解？此时，求方程组的通解.9. 设方程组问当l 取何值时，（1）方程组有唯一解；（2）方程组无解；（3）方程组有无穷多解，求其通解（用解向量形式表示）.10. 已知，求向量组的一个极大无关组并把用所求的极大无关组表示出来.11. 当A为2阶方阵，且满足，其中，求矩阵A.12. 求的特征值与特征向量.四、证明题1. 设A，B均为n阶对称矩阵，则ABBA也是对称矩阵2. 设n阶非零矩阵A适合，试证明A不可能相似于对角阵.3. A、B均为n阶矩阵，且A、B、A+B均可逆，证明：（A-1+B-1）-1=B（A+B）-1A 线性代数期末复习题答案一、填空题1. 或 7 2. 0 3. 32 4. 5. 无关 6. 7. 非零 或无穷多 8. 3；9. 0； 10. A=； 11. ；12. 无关；13.不是；14. ；15. n-2；16. 2；17. ； 18. ； 19. ； 20. ；21. ； 22. AB； 23. 0 ； 24 .AB=BA； 25.1或-1 二、选择题1. C 2. B 3.B 4.A 5.A 6.A 7.B 8.C 9.D 10.C 11. A 12.C 13.D 14. B 15. A三、计算题1.（1）解：利用行列式的性质得（2）2.解： （1）（2）所以.3. 解：由AX=2X+B得，（A-2E）X=B所以有X=B=4. 解：由AX+B=X，得（E-A）X=B，即X=B5解： 6解：对增广矩阵实施初等行变换转化为标准的阶梯形矩阵 此时齐次线性方程组化为 分别令得齐次线性方程的一组基础解系为 令得非齐次线性方程组的一个特解为由此得原方程的全部解为 （其中为任意常数） 7. 解：因为系数矩阵 所以一般解为 （其中，是自由未知量）8. 解：方程组的增广矩阵当，即时，秩秩，方程组有无穷多解此时，方程组的全部解为（k为任意常数）9. 解: 当,即且时，有唯一解.当且，即时，无解.当且，即时，有无穷多解. 此时，增广矩阵为原方程组的解为 () 10. 解 所以是该向量组的一个极大线性无关组.且11. 解 由，可知就是二阶方阵A的两个特征值，故A可以相似对角化.令，则有则12.解：特征方程为|EA|=(+1) (1)2 =0，的全部特征值为1=1，2=3=1. 把代入方程组得齐次线性方程组：它的一个基础解系，. 同理可得A对应于特征值