八年级(下)数学竞赛班辅导讲义.doc

八年级（下）数学竞赛班辅导资料（1） 原班级： 姓名： 等腰三角形的性质（1）【一】等腰三角形有哪些性质？（1）等腰三角形两底角_；（2）等腰三角形具有“三线合一”的性质；“三线”指_.(3)对称性：等腰三角形是_对称图形.【二】例题精讲例1 （1）等腰三角形两个内角的度数之比为1:2，这个等腰三角形底角的度数为_； （2）等腰ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足，则这样的三角形共有_个. 3个例2 如图，若AB=AC,BG=BH,AK=KG,则BAC的度数为_.例3（2012淮安）阅读理解如图1，ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角 小丽展示了确定BAC是ABC的好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合 探究发现 （1）ABC中，B=2C，经过两次折叠，BAC是不是ABC的好角？_（填“是”或“不是”） （2）小丽经过三次折叠发现了BAC是ABC的好角，请探究B与C（不妨设BC）之间的等量关系根据以上内容猜想：若经过n次折叠BAC是ABC的好角，则B与C（不妨设BC）之间的等量关系为_（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15、60、105，发现60和105的两个角都是此三角形的好角 请你完成，如果一个三角形的最小角是4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知B=2C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知A1A2B2=C+A2B2C=2C；根据四边形的外角定理知BAC+2B-2C=180，根据三角形ABC的内角和定理知BAC+B+C=180，由可以求得B=3C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：B=nC；（3）利用（2）的结论知B=nC，BAC是ABC的好角，C=nA，ABC是ABC的好角，A=nB，BCA是ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88、88解答：解：（1）ABC中，B=2C，经过两次折叠，BAC是ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，沿BAC的平分线AB1折叠，B=AA1B1；又将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，A1B1C=C；AA1B1=C+A1B1C（外角定理），B=2C，BAC是ABC的好角故答案是：是；（2）B=3C；如图所示，在ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则BAC是ABC的好角证明如下：根据折叠的性质知，B=AA1B1，C=A2B2C，A1B1C=A1A2B2，根据三角形的外角定理知，A1A2B2=C+A2B2C=2C；根据四边形的外角定理知，BAC+B+AA1B1-A1B1C=BAC+2B-2C=180，根据三角形ABC的内角和定理知，BAC+B+C=180，B=3C；由小丽展示的情形一知，当B=C时，BAC是ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当B=2C时，BAC是ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当B=3C时，BAC是ABC的好角；故若经过n次折叠BAC是ABC的好角，则B与C（不妨设BC）之间的等量关系为B=nC；（3）由（2）知设A=4，C是好角，B=4n；A是好角，C=mB=4mn，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180如果一个三角形的最小角是4，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88、88点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质难度较大【三】练一练1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为_.2.如图，分别是的平分线，若,则的度数为_.3.如图，在ABC中，AC=BC,D是AC上一点，交的延长线于E,且AE=BD.求证：BD是的角平分线.4.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC=(090)现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒数学思考：(1)小棒能无限摆下去吗？答：_(填“能”或“不能”)(2)设AA1=A1A2=A2A3=1=_度；若记小棒A2n-1A2n的长度为an(n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，) 求出此时a2，a3的值，并直接写出an(用含n的式子表示)活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1数学思考：(3)若已经摆放了3根小棒，1=_，2=_，3=_；(用含的式子表示)(4)若只能摆放4根小棒，求的范围解：（1）根据已知条件BAC=（090）小棒两端能分别落在两射线上，小棒能继续摆下去故答案为：能；（2）A1A2=A2A3，A1A2A2A3，A2A1A3=45，AA2A1+=45，AA2A1=，=22.5；AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2A2A3A1A3=，AA3=1+，又A2A3A3A4，A1A2A3A4，同理；A3A4A5A6，A=AA2A1=AA4A3=AA6A5，AA3=A3A4，AA5=A5A6a2=A3A4=AA3=1+，a3=AA3+A3A5=a2+A3A5，A3A5=a2，a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2an=(+1)n1；（3）A1A2=AA1，A1AA2=AA2A1=，A2A1A3=1=+，1=2同理可得：2=3，3=4；（4）如图：A4A3=A4A5，A4A3A5=A4A5A3=4，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，当A5A4B是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了，当A4A3A5是锐角，A5A4B=5是钝角或直角时，只能摆放4根小棒，590，490，即，1822.5（1）能；（2）=22.5；an=(+1)n1；（3）2；3；4；（4）1822.5本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合八年级（下）数学竞赛班辅导资料（2） 原班级： 姓名： 等腰三角形的性质（2）一、例题讲解：如图，已知内角度数的三个三角形，请用直尺和圆规作一条直线，把ABC分割成两个等腰三角形二、练一练1如图，点O是等边ABC内一点将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，连接OD已知AOB=110（1）求证：COD是等边三角形；（2）当=150时，试判断AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形解：（1）证明：CO=CD，OCD=60，COD是等边三角形；（3分）（2）解：当=150，即BOC=150时，AOD是直角三角形（5分）BOCADC，ADC=BOC=150，又COD是等边三角形，ODC=60，ADO=90，即AOD是直角三角形；（7分）（3）解：要使AO=AD，需AOD=ADOAOD=360AOBCOD=36011060=190，ADO=60，190=60， =125；要使OA=OD，需OAD=ADOAOD=190，ADO=60，OAD=180（AOD+ADO）=50，60=50，=110；要使OD=AD，需OAD=AOD190=50， =140综上所述：当的度数为125，或110，或140时，AOD是等腰三角形（12分）点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力2（2014宁波）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法： 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）ABC中，B=30，AD和DE是ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设C=x，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，ABC中，AC=2，BC=3，C=2B，请画出ABC的三分线，并求出三分线的长考点：相似形综合题；图形的剪拼分析：（1）45自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为45和22.5，再以22.5分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形即又一三分线作法（2）用量角器，直尺标准作30角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾AEC在同一直线上，易得2种三角形ABC根据图形易得x的值（3）因为C=2B，作C的角平分线，则可得第一个等腰三角形而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长解答：解：（1）如图2作图，（2）如图3 、作ABC当AD=AE时，2x+x=30+30，x=20当AD=DE时，30+30+2x+x=180，x=40（3）如图4，CD、AE就是所求的三分线设B=a，则DCB=DCA=EAC=a，ADE=AED=2a，此时AECBDC，ACDABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，AECBDC，x：y=2：3，ACDABC，2：x=（x+y）：2，所以联立得方程组，解得 ，即三分线长分别是和点评：本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目八年级（下）数学竞赛班辅导资料（3） 原班级： 姓名： 等腰三角形的判定（1）一、知识要点1等腰三角形的判定方法：（1）两_相等的三角形是等腰三角形简称_；（2）两_相等的三角形是等腰三角形简称_2解题技巧：构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用方法有：（1）“角平分线+平行线” 构造等腰三角形；（2）“角平分线+垂线” 构造等腰三角形；（3）用“垂直平分线” 构造等腰三角形； （4）用“三角形中角的2倍关系” 构造等腰三角形3等腰三角形中长作的辅助线：（1）底边上的高；（2）底边上的中线；（3）顶角的平分线二、例题精讲例1 在ABC中 AB=AC ，BAC=80，O为ABC内一点 ，且OBC=10，OCA=20.求BAO的度数.70例2 如图，在ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，求FC的长.9三、练一练1.如图，已知RtABC中，C=90，BAC=30，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ） C A. 2个 B. 4个 C. 6个 D.8个2.如图，ABC中，AD平分BAC,AB+BD=AC,求的值. 2：12.如图，在ABC中，,M为ABC内一点，使得.求的度数.（北京市竞赛题） 150八年级（下）数学竞赛班辅导资料（4） 原班级： 姓名： 等腰三角形的判定（2）一、例题精讲两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由解：EMC是等腰直角三角形理由如下：连接MAEAD=30，BAC=60，DAB=90，EDACAB，DA=AB，ED=AC，DAB是等腰直角三角形又M为BD的中点，MDA=MBA=45，AMBD（三线合一），AM=BD=MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）EDM=MAC=105，在MDE和CAM中，ED=AC，MDE=CAM，MD=AM，MDEMACDME=AMC，ME=MC，又DMA=90，EMC=EMA+AMC=EMA+DME=DMA=90MEC是等腰直角三角形二、练一练1如图(1)，RtABC中，ACB=-90，CDAB，垂足为DAF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF（2）将图（1）中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条 件不变，如图（2）所示试猜想：BE与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论（1）证明：略（2）解：相等证明：如图，过点E作EGAC于G又 AF平分CAB，EDAB，ED=EG 由平移的性质可知：DE=DE，DE =GE ACB=90 ACD+DCB=90来源:Z|xx|k.Com CDAB于D B+DCB=90 ACD=B在RtCEG与RtBED中，GCE=B，CGE=BDE，CE=DECEGBEDCE=BE 由（1）可知CE=CF，(其它证法可参照给分)2如图，已知BAD和BCE均为等腰直角三角形，BAD=BCE=90，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：ACN为等腰直角三角形；图3（3）将图1中BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由(1）证明：如图1，ENAD，MAD=MNE，ADM=NEM点M为DE的中点，DM=EM在ADM和NEM中，ADMNEMAM=MNM为AN的中点（2）证明：如图2，BAD和BCE均为等腰直角三角形，AB=AD，CB=CE，CBE=CEB=45ADNE，DAE+NEA=180DAE=90，NEA=90NEC=135A，B，E三点在同一直线上，ABC=180CBE=135ABC=NECADMNEM（已证），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形（3）ACN仍为等腰直角三角形证明：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上ADEN，DAB=90，ENA=DAN=90BCE=90，CBN+CEN=3609090=180A、B、N三点在同一条直线上，ABC+CBN=180ABC=NECADMNEM（已证），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形八年级（下）数学竞赛班辅导资料（5） 原班级： 姓名： 等边三角形（1）一、知识要点1等边三角形的性质：（1）三边相等，三角相等，每个角等于60；（2）每条边上的高线、中线、所对角的平分线互相重合简称“ ” ；（3）等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值，等于一边上的高2判定等边三角形的基本方法：（1）从边入手，证明三边相等；（2）从角入手，证明三角相等或证明两个角都为60；（3）从边角入手，有一个角为60的等腰三角形是等边三角形二、例题精讲如图，ABC中，B=60，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连CE、DE，若CE=DE求证：ABC是等边三角形三、练一练1如图，一个六边形的每个角都是120，连续四边的长依次是2.7, 3, 5，2，则该六边形的周长是_20.72如图，P是等边ABC内部一点，APB、BPC、CPA的大小之比是，则以PA、PB、PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是_ 2:3:43（2013北京）在ABC中，AB=AC，BAC=（060），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若DEC=45，求的值解：（1）AB=AC，A=，ABC=ACB=（180A）=90，ABD=ABCDBC，DBC=60，即ABD=30；（2）ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，线段BC绕B逆时针旋转60得到线段BD，则BC=BD，DBC=60，ABE=60，ABD=60DBE=EBC=30，且BCD为等边三角形，在ABD与ACD中 ABDACD，BAD=CAD=BAC=，BCE=150，BEC=180（30）150=BAD，在ABD和EBC中 ABDEBC，AB=BE， ABE是等边三角形；（3）BCD=60，BCE=150，DCE=15060=90，DEC=45，DEC为等腰直角三角形，DC=CE=BC，BCE=150，EBC=（180150）=15，EBC=30=15，=304【探究发现】如图1，ABC是等边三角形，AEF=60，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E时线段BC延长线上的任意一点”；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF解答：证明：如图一，在B上截取AG，使AG=EC，连接EG，ABC是等边三角形，AB=BC，B=ACB=60AG=EC，BG=BE，BEG是等边三角形，BGE=60，AGE=120FC是外角的平分线，ECF=120=AGEAEC是ABE的外角，AEC=B+GAE=60+GAEAEC=AEF+FEC=60+FEC，GAE=FEC在AGE和ECF中，AGEECF（ASA），AE=EF；八年级（下）数学竞赛班辅导资料（6） 原班级： 姓名： 等边三角形（2）1.问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若BON=60，则BM=CN如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若BON=90，则BM=CN然后运用类比的思想提出了如下的命题：如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON=108，则BM=CN任务要求：（1）请你从、三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：如图4，在正n（n3）边形ABCDEF中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明）如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当BON=108时，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由解：（1）选命题 证明：在图1中，BON=60，CBM+BCN=60，BCN+ACN=60，CBM=ACN，又BC=CA，BCM=CAN=60，BCMCAN，BM=CN，选命题，证明：在图2中，BON=90，CBM+BCN=90，BCN+DCN=90，CBM=DCN，又BC=CD，BCM=CDN=90，BCMCDN，BM=CN，选命题证明：在图3中，BON=108，CBM+BCN=108，BCN+DCN=108，CBM=DCN，又BC=CD，BCM=CDN=108，BCMCDN，BM=CN；（2）当BON=时，结论BM=CN成立，BM=CN成立，证明：如图5，连结BD、CE，在BCD和CDE中，BC=CD，BCD=CDE=108，CD=DE，BCDCDE，BD=CE，BDC=CED，DBC=ECD，OBC+OCB=108，OCB+OCD=108，MBC=NCD，又DBC=ECD=36，DBM=ECN，BDMECN。2（1）操作发现：如图，D是等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连接AF你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图，当动点D在等边ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF，连接AF、BF，探究AF、BF与AB有何数量关系？并证明你探究的结论如图，当动点D在等边边BA的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论解：（1）AF=BD；证明如下：ABC是等边三角形（已知），BC=AC，BCA=60（等边三角形的性质）；同理知，DC=CF，DCF=60；BCADCA=DCFDCA，即BCD=ACF；在BCD和ACF中，BCDACF（SAS），BD=AF（全等三角形的对应边相等）；（2）证明过程同（1），证得BCDACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立；（3）AF+BF=AB；证明如下：由（1）知，BCDACF（SAS），则BD=AF；同理BCFACD（SAS），则BF=AD，AF+BF=BD+AD=AB；中的结论不成立新的结论是AF=AB+BF；证明如下：在BCF和ACD中，BCFACD（SAS），BF=AD（全等三角形的对应边相等）；又由（2）知，AF=BD；AF=BD=AB+AD=AB+BF，即AF=AB+BF八年级（下）数学竞赛班辅导资料（7） 原班级： 姓名： 直角三角形一、例题精讲如图，在凸四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=DC, 求证： 提示：过点B作BEAB,且使BE=BC,连接CE、AE、AC.二、练一练1.如图，已知RtABC中的两直角边AC=5，BC=12，D是BC上一点，当AD是A的平分线时，则CD=.2.如图，四边形ABCD中，DCAB,BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长为.3在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当时，ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究ABC的形状（按角分类）（1）当ABC三边分别为6、8、9时，ABC为锐角三角形；当ABC三边分别为6、8、11时，ABC为钝角三角形（2）猜想，当时，ABC为锐角三角形；当时，ABC为钝角三角形（3）判断当a=2，b=4时，ABC的形状，并求出对应的c的取值范围解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边=10，ABC三边分别为6、8、9时，ABC为锐角三角形；当ABC三边分别为6、8、11时，ABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；（2）当a2+b2c2时，ABC为锐角三角形；当a2+b2c2时，ABC为钝角三角形；故答案为：；（3）c为最长边，2+4=6，4c6，a2+b2=22+42=20，a2+b2c2，即c220，0c2，当4c2时，这个三角形是锐角三角形；a2+b2=c2，即c2=20，c=2，当c=2时，这个三角形是直角三角形；a2+b2c2，即c220，c2，当2c6时，这个三角形是钝角三角形点评：本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键4.如图，在RtABC中，,D为斜边BC的中点，,求证：.5.已知直角三角形的边长为整数，周长为30，求它的斜边长.解：设三边长分别为a、b、c（），则a+b+c=30,由得a+b+c=3010.由a+bc得a+b+c=302c, cPB求证： 三、练一练1.已知：如图，等边ABC中，O是形内一点，若，,求以OA，OB，OC为边构成的三角形的内角度数.2.如图，已知ABC是等腰直角三角形，,M、N为斜边上从A到B顺次两点，若，猜想是多少度？写出推理过程.3.已知：如图，锐角ABC内有一点M，满足,P为形内非M的一点. 求证：.八年级（下）数学竞赛班辅导资料（11） 原班级： 姓名： 旋转及应用（2）一、例题讲解 例1 如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，BAE的大小可以是 【答案】15或165。【分析】正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解： 当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，AB=AD，AE=AF。当BE=DF时，在ABE和ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，ABEADF（SSS）。BAE=FAD。EAF=60，BAE+FAD=30。BAE=FAD=15。当正三角形AEF在正方形AB