高三数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理课件 理.ppt

理数课标版 第二节命题及其关系 充分条件与必要条件 1 正弦定理和余弦定理 教材研读 2 解三角形在 abc中 已知a b和a时 解的情况如下 上表中 若a为锐角 当a bsina时无解 若a为钝角或直角 当a b时无解 3 三角形面积设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 面积为s 1 s ah h为边a上的高 2 s absinc acsinb bcsina 1 在 abc中 a 3 b 5 sina 则sinb a b c d 1答案b根据 有 得sinb 故选b 2 2016课标全国 4 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知a c 2 cosa 则b a b c 2d 3 答案d由余弦定理得5 22 b2 2 2bcosa cosa 3b2 8b 3 0 b 3 故选d 3 在 abc中 内角a b c所对的边分别是a b c 若c2 a b 2 6 c 则 abc的面积是 a 3b c d 3 答案cc2 a b 2 6即c2 a2 b2 2ab 6 由c 及余弦定理得c2 a2 b2 ab 由 和 得ab 6 s abc absinc 6 故选c 4 在 abc中 bc 2 ac b 则ab abc的面积是 答案3 解析由余弦定理 得ac2 bc2 ab2 2bc abcos ab 3 负值舍去 s abc ab bc sin 5 已知 abc中 三个内角a b c所对的边长分别为a b c 且a 1 b a 30 则c 答案1或2 解析 a 1 b a 30 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosa得1 3 c2 3c 即c2 3c 2 0 解得c 1或c 2 考点一利用正弦 余弦定理解三角形 考点突破 典例1 2015安徽 16 12分 在 abc中 a ab 6 ac 3 点d在bc边上 ad bd 求ad的长 解析设 abc的内角a b c所对边的长分别是a b c 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccos bac 3 2 62 2 3 6 cos 18 36 36 90 所以a 3 由正弦定理得sinb 由题设知0 b 所以cosb 在 abd中 由正弦定理得ad 规律总结 1 在解有关三角形的题目时 要有意识地考虑用哪个定理更适合 或是两个定理都要用 要抓住能够利用某个定理的信息 一般地 如果式子中含有角的余弦或边的二次式 要考虑用余弦定理 如果式子中含有角的正弦或边的一次式 要考虑用正弦定理 以上特征都不明显时 则要考虑两个定理都有可能用到 2 解题中注意三角形内角和定理的应用及角范围的限制 1 1设 abc的内角a b c的对边分别为a b c 且bsina acosb 1 求角b的大小 2 若b 3 sinc 2sina 求a c的值 解析 1 已知bsina acosb 由正弦定理得sinbsina sinacosb 在 abc中 sina 0 即得tanb b 2 sinc 2sina 由正弦定理得c 2a 结合b2 a2 c2 2accosb 及b 3 b 得9 a2 4a2 2a 2acos 解得a 负值舍去 c 2a 2 考点二利用正弦 余弦定理判断三角形的形状典例2设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若bcosc ccosb asina 则 abc的形状为 a 锐角三角形b 直角三角形c 钝角三角形d 不确定答案b解析由已知及正弦定理得sinbcosc sinccosb sin2a 即sin b c sin2a 又sin b c sina sina 1 a 故选b 方法技巧判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角 则 1 化角为边 利用正弦定理 余弦定理 因式分解 配方等得出边的关系 从而判断三角形的形状 2 化边为角 利用正弦定理 余弦定理 三角恒等变形得出内角的关系 从而判断三角形的形状 此时要注意应用 abc中 a b c 这个结论 变式2 1若将本例条件中的 bcosc ccosb asina 改为 2sinacosb sinc 试判断 abc的形状 解析解法一 2sinacosb sinc sin a b sinacosb cosasinb 即 sin a b 0 因为 a b 所以a b 故 abc为等腰三角形 解法二 由条件及正弦定理得2acosb c 再由余弦定理得2a c a2 b2 a b 即 abc为等腰三角形 变式2 2若将本例条件中的 bcosc ccosb asina 改为 acosa bcosb 试判断 abc的形状 解析由条件及正弦定理 得sinacosa sinbcosb sin2a sin2b 又a b均为 abc的内角 所以2a 2b或2a 2b 即a b或a b 所以 abc为等腰三角形或直角三角形 考点三与三角形面积有关的问题典例3 2016课标全国 17 12分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知2cosc acosb bcosa c 1 求c 2 若c abc的面积为 求 abc的周长 解析 1 由已知及正弦定理得 2cosc sinacosb sinbcosa sinc 2分 2coscsin a b sinc 故2sinccosc sinc 4分 可得cosc 所以c 6分 2 由已知 得absinc 又c 所以ab 6 8分 由已知及余弦定理得 a2 b2 2abcosc 7 故a2 b2 13 从而 a b 2 25 所以a b 5 10分 所以 abc的周长为5 12分 规律总结 1 求三角形abc的面积时 常用公式s absinc acsinb bcsina 一般根据已知角具体选择 2 解决与面积有关的问题 一般要利用正弦定理 余弦定理进行边和角的转化 3 1 2015课标 17 12分 abc中 d是bc上的点 ad平分 bac abd面积是 adc面积的2倍 1 求 2 若ad 1 dc 求bd和ac的长 解析 1 s abd ab adsin bad s adc ac adsin cad 因为s abd 2s adc bad cad 所以ab 2ac 在 abc中 由正弦定理可得 2 因为s a