自动控制原理(胡寿松_)第四章根轨迹法ppt.ppt

第四章根轨迹法 4 1根轨迹法的基本概念 4 2绘制系统根轨迹的基本法则 4 3控制系统的根轨迹分析方法学习指导与小结 4 1根轨迹法的基本概念 4 1 1根轨迹反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数 只要求解出闭环系统的特征根 系统响应的变化规律就知道了 但是对于3阶以上的系统求根比较困难 如果系统中有一个可变参数时 求根就更困难了 1948年 伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根的图解法 根轨迹法 在已知开环零极点分布的基础上 当某些参数变化时 利用该图解法可以非常方便的确定闭环极点 定义 当系统开环传递函数中某一参数从0 时 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹 就称作系统根轨迹 一般取开环传递系数 根轨迹增益Kg 作为可变参数 式中 K为系统的开环比例系数 Kg 2K称为系统的开环根轨迹增益 系统的闭环传递函数为 举例说明 已知系统的结构图 分析0 K 闭环特征根在s平面上的移动路径及其特征 解 系统的开环传递函数为 一定要写成零极点表达式 系统的闭环特征方程为 s2 2s Kg 0求得闭环特征根为 1 Kg 0 s1 0 s2 2 是根迹的起点 开环极点 用 表示 2 1 2 0 Kg 1 s1 s2均是负实数 Kg s1 s2 s1从坐标原点开始沿负实轴向左移动 s2从 2 j0 点开始沿负实轴向右移动 3 Kg 1 s1 s2 1 重根 闭环特征根s1 s2是Kg函数 随着Kg的改变而变化 4 Kg 1 Kg 0 Kg 0 Kg 1 Kg Kg 根据2阶系统根轨迹的特点 可以推得n阶系统 会有如下的结论 1 n阶系统有n个根 根轨迹有n条分支 2 每条分支的起点 Kg 0 位于开环极点处 3 各分支的终点 Kg 或为开环零点处或为无限点 4 重根点 称为分离点或汇合点 根轨迹与系统性能1 稳定性当Kg从0 时 图中的根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面 因此二阶系统对所有的Kg值都是稳定的 如果高阶系统的根轨迹有可能进入s右半平面 此时根迹与虚轴交点处的Kg值 成为临界开环增益 2 稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点 系统属于1型系统 因而根规迹上的Kg值就是静态速度误差系数Kv 如果给定系统对ess有要求 则对Kg有要求 由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围 3 动态性能由图可见 当0 Kg 1时 闭环极点均位于负实轴上 系统为过阻尼系统 单位阶跃响应为非周期过程 当Kg 1时 闭环两个实极点重合 系统为临界阻尼系统 单位阶跃响应为非周期过程 当Kg 1时 闭环极点为一对共轭复数极点 系统为欠阻尼系统 单位阶跃响应为阻尼振荡过程 4 1 2根轨迹方程研究下图所示反馈控制系统的一般结构 系统的闭环传递函数为 该系统的闭环特征方程为 D s 1 G s H s 0或G s H s 1 若将系统的开环传递函数G s H s 写成如下形式 一定要写成零极点表达式 式中Kg为系统的根迹增益 zi为系统的开环零点 pj为系统的开环极点 上述方程又可写为 号 对应负反馈 号对应正反馈 由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点 所以当系统的结构参数 如Kg在某一范围内连续变化时 由上式制约的s在s平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹 因此上式称之为系统的根轨迹方程 根轨迹的幅值方程 根轨迹的幅角方程 式中 k 0 1 2 全部整数 4 6 通常称为180 根轨迹 4 7 称作0 根轨迹 根据这两个条件 可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上任一点对应的Kg值 幅角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件 因此 绘制根轨迹时 只需要使用幅角条件 而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时 才使用幅值条件 号 对应负反馈 号对应正反馈 下面看看怎样按上式表示的幅值条件和幅角条件绘制系统的闭环根轨迹图 已知负反馈系统开环零极点分布如图示 p2 p3 p1 z1 s1 1 1 2 3 在s平面找一点s1 画出各开环零 极点到s1点的向量 检验s1是否满足幅角条件 s1 z1 s1 p1 s1 p2 s1 p3 1 1 2 3 2k 1 如果s1点满足幅角条件 则是根轨迹上的一点 寻找 在s平面内满足幅角条件的所有s1点 将这些点连成光滑曲线 即是闭环系统根轨迹 在1948年 伊凡思 W R Evdns 提出了用图解法绘制根迹的一些基本法则 可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图 在根轨迹草图的基础上 必要时可用幅角条件使其精确化 从而使整个根规迹的绘制过程大为简化 4 2绘制系统根轨迹的基本法则 4 2 1绘制180 根轨迹的基本法则法则1根轨迹的连续性 由于根轨迹增益是连续的 根也是连续的 根轨迹当然也是连续的 利用这一性质 只要精确画出几个特征点 描点连线即可画出整个根轨迹 180 根轨迹的幅值方程 根轨迹的幅角方程 在下面的讨论中 假定系统变化的参数是开环根轨迹增益Kg 这种根轨迹习惯上称之为常规根轨迹 绘制常规根轨迹的基本方法如下 法则2根轨迹的对称性 由于闭环特征根是实数或者共轭复数 因此根轨迹是关于实轴对称的 利用这一性质 只要绘制出实轴上部的根轨迹 实轴下部的根轨迹可由对称性绘出 法则3根轨迹的条数 n阶系统 其闭环特征方程有n个根 当Kg从0 连续变化时 n个根将绘出有n条轨迹分支 因此根轨迹的条数或分支数等于其闭环特征根的个数 即系统的阶数 法则4根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统开环极点 终止于系统开环零点 根轨迹上Kg 0的点为起点 Kg 时的点为终点 1 G s H s 0 证明 当Kg 0时 有s pj j 1 2 n 上式说明Kg 0时 闭环特征方程的根就是开环极点 当Kg 时 有s zi i 1 2 m 所以根轨迹必终止于开环零点 在实际系统中 开环传函中m n 有m条根轨迹终点为开环零点处 另有n m条根轨迹的终点将在无穷远处 可以认为有n m个无穷远处的开环零点 将特征方程改写为 法则5根轨迹的渐近线根据法则4 当开环传递函数中m n时 将有n m条根轨迹分支沿着与实轴夹角为 a 交点为 a的一组渐近线趋于无穷远处 且有 k 0 1 n m 1 法则6实轴上的根轨迹分布实轴上的某一区域 若其右边开环实数零 极点个数之和为奇数 则该区域必是根轨迹 奇是偶不是 证明 设零 极点分布如图示 p2 p3 p1 z1 s1 1 1 0 2 3 在实轴上取一测试点s1 由图可见 复数共轭极点到实轴s1点的向量幅角和为2 复数共轭零点如此 因此在确定实轴上的根轨迹时 可以不考虑复数零 极点的影响 s1点左边开环实数零 极点到s1点的向量幅角均为零 也不影响实轴上根轨迹的幅角条件 而s1点右边开环实数零 极点到s1点的向量幅角为 如果s1是根轨迹 则只有当零极点数目之和为奇数时 才满足幅角条件 j i 2k 1 即如果s1所在的区域为根轨迹 其右边开环实数零 极点个数之和必须为奇数 例4 1设某负反馈系统的开环传递函数为 试确定系统根轨迹条数 起点和终点 渐近线及根轨迹在实轴上的分布 解 开环极点p1 0 p2 1 p3 5 系统的根轨迹有三条分支 分别起始于系统的三个有限的开环极点 由于不存在有限的开环零点 当Kg 时 沿着三条渐近线趋向无穷远处 三条渐近线在实轴上的交点 j 实轴上的根轨迹分布在 0 1 和 5 的实轴段上 60 三条渐近线与正实轴上间的夹角 2 法则7根轨迹分离点和会合点两条或两条以上的根轨迹在s平面上相遇后立即分开的点 称为根轨迹的分离点 会合点 分离点的性质 1 分离点是系统闭环重根 2 由于根轨迹是对称的 所以分离点或位于实轴上 或以共轭形式成对出现在复平面上 3 实轴上相邻两个开环零 极 点之间 其中之一可为无穷零 极 点 若为根轨迹 则必有一个分离点 4 在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹 该段无分离点或分离点成对出现 证明 根轨迹在s平面上相遇 说明闭环特征方程有重根出现 设s d处为分离点 确定分离点位置的方法 均需验证 式中 zi pj是系统的有限开环零点和开环极点 分离点上 根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的分离角 用下式计算 k为分离点处根轨迹的分支数 法一 重根法 极值法 法二 公式法 设分离点的坐标为d 则d满足如下公式 牢记 证毕 例4 2求例4 1系统根轨迹的分离点 解 根据例4 1 系统实轴上的根轨迹段 1 0 位于两个开环极点之间 该轨迹段上必然存在根轨迹的分离点 设分离点的坐标为d 则 3d2 12d 5 0d1 0 472d2 3 53 不在根轨迹上 舍去 也可代入幅值方程看Kg 0否 分离点上根轨迹的分离角为 90 如果方程的阶次高时 可用试探法确定分离点 d1 0 472 例4 3已知系统开环传函为 试绘制系统的根轨迹 解 d 2 5左 0 67右 0 4d 2 01左 0 99右 99 49d 2 25左 0 8右 3 11d 2 47左 0 68右 0 65 d 2 47 法则8根轨迹与虚轴交点若根轨迹与虚轴相交 临界稳定状态 则交点上的坐标 包括闭环极点和临界增益 可按下述两种方法求出 方法一 在系统的闭环特征方程D s 0中 令s j D j 0的解即是交点坐标 方法二 由劳斯稳定判据求出 例4 5求例4 1系统的根轨迹与s平面虚轴的交点的交点坐标 解 方法一 s3 6s2 5s Kg 0令s j 则 j 3 6 j 2 5 j Kg 0 3 5 0 6 2 Kg 0 Kg 0 起点 舍去 Kg 30 方法二 s3 6s2 5s Kg 0劳斯表为 s315s26Kgs1 30 Kg 6s0Kg 当Kg 30时 s1行全零 劳斯表第一列不变号 系统存在共轭虚根 共轭虚根可由s2行的辅助方程求出 6s2 Kg 0 j 3 6 j 2 5 j Kg 0 j d 0 472 Kg 30 Kg Kg Kg j2 24Kg 30 法则9根轨迹的出射角与入射角根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴方向的夹角 称为出射角 起始角 用 根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴方向的夹角 称为入射角 终止角 用 表示 求出这些角度可按如下关系 表示 证明 设开环系统有一对共轭复数极点px x 1 在十分靠近待求起始角的复数极点px的根轨迹上取一点s1 加零去余极 加极去余零 px Px 1 s1 由于s1无限接近px 因此 除px外 所有其它开环零 极点到s1点的向量幅角 都可以用它们到px的向量幅角来代替 而px到s1点的向量幅角即为起始角 根据s1点必满足幅角条件 应有 移项后 立即得到法则中的公式 证毕 试绘制出系统的根轨迹 解 例4 4设负反馈系统的开环传递函数为 起始角与终止角 1 2 3 1 3 2 180 1 2 3 1 2 3 180 56 5 19 59 108 5 37 90 79 180 117 90 153 63 5 119 121 149 5 试绘制出系统的根轨迹 解 三个开环极点p1 0 p2 3 1 j渐近线 3条 例4 6设负反馈系统的开环传递函数为 根轨迹与虚轴交点 系统的闭环特征方程为s3 2s2 2s Kg 0劳斯表 s312s22Kgs1 4 Kg 2s0Kg 令s1系数为0 得Kg 4代入辅助方程2s2 Kg 0 实轴上根轨迹 0 即整个负实轴 出射角 绘制出系统根轨迹如图所示 Kg Kg Kg j1 414Kg 4 45 法则10闭环极点的和与积绘制根轨迹 或利用根轨迹进行系统性能分析时 可利用该法则 若开环传函分母阶次n比分子阶次m高2次或2次以上 即n m 2 则系统闭环极点之和等于其开环极点之和 证明 式中 韦达定理 根据高阶方程系数与根的关系式 若n m 2 则 利用上述基本法则 可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图 对需要准确绘制的根轨迹 可根据幅角方程条件使其精确化 一般而言 靠近虚轴或原点附件的根轨迹对分析系统的性能至关重要 应尽可能的准确绘制 证毕 a1称为系统闭环极点或开环极点的重心 表明当Kg变化时 一些根增大时 另一些必然减小 即一些根轨迹右行 一些必然左行 重心保持不变 1 根的分量之和是一个与Kg无关的常数 2 各分支要保持总和平衡 走向左右对称 试绘制出系统的根轨迹 解 例4 7设负反馈系统的开环传递函数为 一定要写成零极点表达式 d 0 59 舍去 d 3 41 结论 由两个极点和一个有限零点组成的开环系统 只要有限零点没有位于两个实数极点之间 当K从0 时 闭环根轨迹的复数部分 是以有限零点为圆心 以有限零点到分离点为半径的一个圆 或圆的一部分 d 试绘制出系统的根轨迹 解 例4 8设负反馈系统的开环传递函数为 渐近线 a 2 a 45 135 分离点 d 2d 2 j2 45 与虚轴交点 Kg 260s j3 16 4 2 20 根轨迹的基本法则 此时研究正反馈系统 系统的特征方程式为D s 1 G s H s 0或 此时的根轨迹称为0 根轨迹 根轨迹的幅角方程 根轨迹的幅值方程 绘制0 根轨迹的基本法则如下 法则1根轨迹的连续性同180 根轨迹 法则2根轨迹的对称性同180 根轨迹 法则3根轨迹的条数同180 根轨迹 法则4根轨迹的起点 Kg 0 和终点 Kg 同180 根轨迹 显然0 根轨迹的幅值方程与180 根轨迹的完全相同 只是幅角相差一个 因此只要把180 根轨迹法则中 与幅角相关的项进行修正 即可获得绘制0 根轨迹的基本法则 法则5根轨迹的渐近线 当开环传函中m n时 有n m条根轨迹分支沿着与实轴夹角为 a 交点为 a的一组渐近线趋于无穷远处 且有 k 0 1 n m 1 法则6实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域 若其右边开环实数零 极点个数之和为偶数 则该区域必是根轨迹 偶是奇不是 法则7根轨迹分离点或会合点同180 根轨迹 法则8根轨迹与虚轴交点的确定方法同180 根轨 但要注意 D s 1 G s H s 0若根轨迹与虚轴相交 则交点上的坐标可按下述两种方法求出 方法一 在系统的闭环特征方程D s 0中 令s j D j 0的解即是交点坐标 方法二 由劳斯稳定判据求出 法则10闭环极点的和与积若开环传函分母阶次n比分子阶次m高2次或2次以上 即n m 2 则系统闭环极点之和等于其开环极点之和 1 根的分量之和是一个与Kg无关的常数 2 各分支要保持总和平衡 走向左右对称 法则9根轨迹的出射角与入射角 0加零去余极 0加极去余零 例4 5设单位正反馈系统的开环传递函数 绘制根轨迹 解 按0 根轨迹的法则绘制 有2个开环极点 2 4 1个开环零点 1 m 1 n 2 根据法则1和2 根轨迹是关于实轴对称的连续曲线 根据法则3和4 根轨迹有2条分支 起始于2个极点 1条终止于开环零点 1条终止于无穷远处 根据法则5 根轨迹有1条渐近线 根据法则6和7 实轴上的根轨迹为 存在2个分离点 由下式求得 分离角 90 根据法则8 求根轨迹与虚轴的交点 根据上述结论 可绘制出根轨迹如图所示 箭头为kg增大的方向 4 2 3参变量系统的根轨迹设系统的开环传递函数为G s H s GH s X X为系统的参变量 则系统的闭环特征方程为D s 1 G s H s 1 GH s X 0可整理为 式中 GH s 为等效系统的开环传递函数 根轨迹化为常规根轨迹或0 根轨迹 例4 9已知某负反馈系统的开环传递函数为 试绘制参数a从零变化到正无穷时 闭环系统的根轨迹 解 系统的闭环特征方程为s3 s2 0 25s 0 25a 0 于是 等效系统开环传递函数为 把a视为根迹增益 可绘制出a变化时系统的常规根轨迹 渐近线 a 1 3 a 3 5 3 根轨迹与虚轴的交点 a 1s j 2 a j0 5a 1 分离点 d1 1 6 d2 1 2 a 试确定系统根轨迹的类型 解 系统 1 和系统 2 都在s平面右半部具有一个开环零点z 1 所以 系统均属非最小相位系统 4 2 4非最小相位系统的根轨迹在s平面右半部具有开环零点和 或 极点的反馈系统称为非最小相位系统 绘制方法同最小相位系统 但必须将开环传递函数整理成标准形式 然后才能确定按180 根轨迹还是0 根轨迹的法则绘制 例4 10设负反馈系统的开环传递函数为 其根轨迹方程为 可按180 根轨迹的基本法则绘制系统的根轨迹 对系统 2 其闭环特征方程为 此时按0 根轨迹的基本法则绘制系统的根轨迹 对系统 1 其闭环特征方程为 4 3控制系统的根轨迹分析方法 4 3 1闭环零点和闭环极点的确定只要求出系统的闭环零极点 就知道系统的响应 就可实现对系统的性能分析 1 由开环传递函数确定系统的闭环零点 考查图4 6所示的反馈控制系统 设 首先绘制出根轨迹 然后在根轨迹图上分析系统的稳定性 计算系统的动态性能和稳态性能 也可进行系统综合或校正 本节只讨论在根轨迹分析中应注意的问题 zi pj KGg分别是系统前向通道传递函数G s 的零点 极点和根轨迹增益 zk pl KHg分别是系统反馈通道传递函数H s 的零点 极点和根轨迹增益 于是 系统的闭环传递函数为 比较上两式 即有如下结论 1 系统的闭环零点由其前向通道G s 的零点 m1个 和其反馈通道H s 的极点 n2个 两部分组成 对于单位反馈系统 H s 1 闭环零点就是开环零点 2 系统的闭环根轨迹增益等于其前向通道的根轨迹增益 对于单位反馈系统 系统的闭环根轨迹增益等于其开环根轨迹增益 设系统的闭环零点 极点和根轨迹增益分别为zj si和K g 则系统的闭环传递函数可表示为 2 应用试探法确定系统的闭环极点根据开环零极点 没有固定的规律求出闭环极点 在某一确定的Kg下的闭环极点 可以由幅值方程试探确定 在根轨迹上取一试探s1代入已知增益下的幅值方程 成立则是 得到几个后 可以根据法则10求出另外一些 过程中可以根据特征点确定搜索范围 比较麻烦 精度受限制 往往需借助于MATLAB等仿真工具 例4 8P172 4 3 2 闭环零 极点的分布对系统性能的影响只要利用根轨迹得到闭环系统在某一确定的Kg下的零极点 就可以写出此时的闭环传递函数 就可以对系统的性能进行分析 下面以系统的单位阶跃响应为例 考查闭环零极点的分布对系统性能影响的一般规律 设n阶系统的闭环传递函数为 式中 zj si和K g分别为系统的闭环零点 极点和根轨迹增益 于是单位阶跃作用下系统输出的相函数为 经拉氏反变换 可求出系统的单位阶跃响应为 上式表明 系统的单位阶跃响应由Ai si决定 即与系统闭环零 极点的分布有关 分析上述各式 闭环零 极点的分布对系统性能影响的一般规律如下 1 稳定性 根据si分布左右平面 存在3条及以上的渐近线 是什么情形 2 运动形态 根据si是实数还是复数 单调 衰减振荡 3 平稳性 阻尼比大 阻尼角小 0 707 4 快速性 远离虚轴 或存在闭环偶极子4 3 3利用闭环主导极点估算系统的性能指标例4 9P174 试绘制如下几种情况下Kg从零连续变化到无穷大时系统的根轨迹 1 b a为有限量 2 b a 3 b a 4 b a 5 b 0 a为有限量 三 开环零极点的分布对系统性能的影响决定形状 若不如意 改造之1 开环零点对根轨迹的影响例4 8设单位负反馈系统的开环传递函数为 解 1 b a为有限量时 系统的等效开环传递函数为 起始于坐标原点的两条根轨迹始终位于右半s平面 系统结构不稳定 2 b a时 起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位于右半s平面 系统结构不稳定 3 b a时 起始于坐标原点的两条根轨迹为与虚轴上 系统临界稳定 P a和z b构成开环偶极子 4 b a时 起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位于左半s平面 系统结构稳定 5 b 0 a为有限量时 系统为没有开环零点的二阶系统 结构稳定 从上例可以看出 增加一个开环零点对系统的根轨迹有如下影响 1 改变了实轴上根轨迹的分布 2 改变了根轨迹渐近线的条数 与实轴交点的坐标及夹角的大小 3 使系统的根轨迹向左偏移 提高了系统的稳定度 有利于改善系统的动态特性 4 开环零点和极点重合或相近时 二者构成开环偶极子 抵消有损系统性能的极点对系统的不利影响 2 开环极点对根轨迹的影响分析例4 10的根轨迹图可以看出 增加一个开环极点对系统的根轨迹有如下影响 1 改变了实轴上根轨迹的分布 2 改变了根轨迹渐近线的条数 与实轴交点的坐标及夹角的大小 3 使系统的根轨迹向右偏移 降低了系统的稳定度 有损于系统的动态特性 使得系统相应的快速性变差 3 开环偶极子对根轨迹的影响开环偶极子 零极点重合或相近 提供相同的幅角和幅值 根据根轨迹方程 对根轨迹的影响为 1 开环偶极子不影响根轨迹的形状 2 开环偶极子不影响根轨迹上各点的根轨迹增益值 但可能影响根轨迹上各点开环比例系数的值 3 合理配置偶极子中的开环零极点 可以在不影响动态性能的基础上 改善系统的稳态性能 P126 式3 111 p153 式4 2 增加一对离原点很近的零极点构成开环偶极子 则 若取zc 0 1 pc 0 01 则Kc 10K 不影响动态性能但提高了稳态性能 学习指导与小结 1 基本要求通过本章学习 应当做到 1 掌握开环根轨迹增益Kg变化时系统闭环根轨迹的绘制方法 理解和熟记根轨迹的绘制法则 会利用幅值方程求特定的Kg值 2 了解闭环零 极点的分布和系统阶跃响应的定性关系及系统根