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三角函数的有关计算 九年级数学 下 第一章直角三角形的边角关系 第一PPT模板网 WWW 1PPT COM Rt ABC中除直角之外的五要素 三条边 AB AC BC 两个锐角 A B 知识回顾 2 两锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 1 三边之间的关系 勾股定理 知识回顾 知识回顾 特殊角的三角函数值表 由锐角的三角函数值反求锐角 1 如图 在Rt ABC中 C 90 求 B 如何解直角三角形 解 在Rt ABC中 tanB B 30 30 2 如图 身高1 7m的小明用一个两锐角分别是30 和60 的三角尺测量一棵树的高度 已知他与树之间的距离为5m 那么这棵树大约有多高 精确0 1m 解 在Rt ACD中 CAD 30 tan30 CD AD tan30 CE 1 7 4 6 m 棵树大约4 6m 3 如图 ABC中 B 45 C 30 AB 2 求AC的长 解 过A作AD BC于D 在Rt ABD中 B 45 AB 2 D 45 30 2 AD AB sinB sinB 在Rt ACD中 C 30 2 sin45 AC 2AD 解 在Rt ACD中 BDA 45 CD AD AD 2 2 知识的运用 怎样做 体会这两个图形的 模型 作用 将会助你登上希望的峰顶 4 如图 D 90 B 30 ACD 45 BC 4cm 求AD A B C 45 30 4 D BD AD 在Rt ABD中 B 30 tan30 BD CD BC 即AD AD 4 x x x 巩固练习 建筑物BC上有一旗杆AB 由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60 观察底部B的仰角为45 求旗杆的高度 精确到0 1m 40 课本17页 5 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状 交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌 如图 已知立杆AB高度是3m 从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60 和45 求路况显示牌BC的高度 2010年长沙 解 在Rt ADB中 BDA 45 AB 3 DA 3 CA 在Rt ADC中 CDA 60 tan60 BC CA BA 3 米 答 路况显示牌BC的高度是 3 米 6 一个人先爬了一段45o的山坡300m后 又爬了一段60o的山坡200m 恰好到达山顶 你能计算出山的高度吗 A B C D 300m 200m 解 过B作BE CD于E BF AD于F 在Rt ABF中 A 45 BF AB sin45 150 在Rt ABF中 CBE 60 CE BC sin60 100 山高 150 100 m 7 热气球的探测器显示 从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30 看这栋高楼底部的俯角为60 热气球与高楼的水平距离为120m 这栋高楼有多高 30 60 120 A B C D 解 在Rt ABD中 BAD 30 BD AD tan30 40 在Rt ACD中 CAD 60 CD AD tan60 60 山高100m BC BD CD 100 8 海中有一个小岛A 它的周围8海里范围内有暗礁 渔船跟踪鱼群由西向东航行 在B点测得小岛A在北偏东60 方向上 航行12海里到达D点 这时测得小岛A在北偏东30 方向上 如果渔船不改变航线继续向东航行 有没有触礁的危险 B A D F 60 12 30 解 过A作AF BD于F 设AF x海里在Rt ABF中 BAF 60 x 6 8 在Rt ADF中 DAF 30 DF AF tan30 x BF DF BD 即 没有触礁的危险 BF AF tan60 x x 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用 如在测量高度 距离 角度 确定方案时都常用到解直角三角形 解这类题关键是把实际问题转化为数学问题 常通过作辅助线构造直角三角形来解 温馨提示 在直角三角形中 除直角外 由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形 1 解直角三角形 1 三边之间的关系 a2 b2 c2 勾股定理 2 解直角三角形的依据 2 两锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 知识回顾 必有一边 感悟 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 1 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解直角三角形的问题 2 根据条件的特点 适当选用锐角三角函数等去解直角三角形 3 得到数学问题的答案 4 得到实际问题的答案 有 弦 用 弦 无 弦 用 切 已知斜边求直边 已知直边求直边 已知两边求一边 已知两边求一角 已知直边求斜边 计算方法要选择 正弦余弦很方便 运用正切理当然 函数关系要选好 勾股定理最方便 用除还需正余弦 能用乘法不用除 优选关系式 a b c 9 如图 在小岛上有一观察站A 据测 灯塔B在观察站A北偏西450的方向 灯塔C在B正东方向 且相距10海里 灯塔C与观察站A相距10海里 请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向 学以致用 1 2 10 10 F 如图 在小岛上有一观察站A 据测 灯塔B在观察站A北偏西450的方向 灯塔C在B正东方向 且相距10海里 灯塔C与观察站A相距10海里 请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向 解 过点C作CD AB 垂足为D 10 5 10 F 灯塔B在观察站A北偏西45 的方向 B 45 sinB CD BC sinB 10 sin45 10 在Rt DAC中 sin DAC DAC 30 CAF BAF DAC 45 30 15 45 45 灯塔C处在观察站A的北偏西15 的方向 如图 在小岛上有一观察站A 据测 灯塔B在观察站A北偏西450的方向 灯塔C在B正东方向 且相距10海里 灯塔C与观察站A相距10海里 请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向 解 过点A作AE BC 垂足为E 10 10 设CE x 在Rt BAE中 BAE 45 AE BE 10 x 在Rt CAE中 AE2 CE2 AC2 x2 10 x 2 10 2 即 x2 10 x 50 0 舍去 灯塔C处在观察站A的北偏西15 的方向 sin CAE CAE 15 45 练一练 1 在Rt ABC中 C 90 已知a A的值 则c的值为A atanAB asinAC D 2 在Rt ABC中 C 90 已知 BC 6 则AC AB 3 在Rt ABC中 C 90 根据下列条件解直角三角形 1 A 45 a 3 2 c 8 b 4 思考 解直角三角形时 必须已知几个元素 才能求得其余元素呢 D 8 10 一个直角三角形中 若已知五个元素中的两个元素 其中必须有一个元素是边 则这样的直角三角形可解 在山脚C处测得山顶A的仰角为45 问题如下 沿着水平地面向前300米到达D点在D点测得山顶A的仰角为600 求山高AB D 巩固练习 2009沈阳中考16 如图 市政府准备修建一座高AB 6m的过街天桥 已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角 ACB的正弦值为 则坡面AC的长度为m 2008沈阳中考14 如图所示 某河堤的横断面是梯形ABCD BC AD 迎水坡AB长13米 且tan BAE 则河堤的高BE为米 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端 梯子与地面所成的角 一般要满足50 75 现有一个长6m的梯子 问 1 使用这个梯子最高可以安全攀上多高的平房 精确到0 1m 这个问题归结为 在Rt ABC中 已知 A 75 斜边AB 6 求BC的长 角 越大 攀上的高度就越高 你能解决吗 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端 梯子与地面所成的角 一般要满足50 75 现有一个长6m的梯子 问 2 当梯子底端距离墙面2 4m时 梯子与地面所成的角 等于多少 精确到1 这时人能否安全使用这个梯子 这个问题归结为 在Rt ABC中 已知AC 2 4m 斜边AB 6 求锐角 的度数 你能解决吗 角 是否在50 75 内 例1 如图 为了测量电线杆的高度AB 在离电线杆22 7米的C处 用高1 20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a 22 求电线杆AB的高 精确到0 1米 1 20 22 7 知识应用 仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时 从下向上看 视线与水平线的夹角叫做仰角 从上往下看 视线与水平线的夹角叫做俯角 介绍 例1 如图 为了测量电线杆的高度AB 在离电线杆22 7米的C处 用高1 20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a 22 求电线杆AB的高 精确到0 1米 1 20 22 7 22 知识应用 E 例2 热气球的探测器显示 从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30 看这栋高楼底部的俯角为60 热气球与高楼的水平距离为120m 这栋高楼有多高 30 60 120 A B C D 巩固练习 建筑物BC上有一旗杆AB 由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50 观察底部B的仰角为45 求旗杆的高度 精确到0 1m 40 课本93页 例3 如图 一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向 距离灯塔80海里的A处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处 这时 海轮所在的B处距离灯塔P有多远 精确到0 01海里 65 34 P B C A 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角 叫做方位角 如图 点A在O的北偏东30 点B在点O的南偏西45 西南方向 方位角 介绍 例3 如图 一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向 距离灯塔80海里的A处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处 这时 海轮所在的B处距离灯塔P有多