一元一次方程讲解.doc

知识梳理5.1 一元一次方程概念：方程的两边都是整式（分母中不含未知数），只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次，这样的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式：归纳等式的两个性质等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，所得结果仍是等式，即如果等式的两边都乘以或都除以同一个不为零的数或整式，所得结果仍是等式，即如果等式：用等号来表示相等关系的式子叫等式。方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解解方程：求方程解的过程叫做解方程。二、规律方法总结1、方程思想：（1）方程思想就是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算。（2）求未知数的值（例如在填空题和简单应用类题目中），一般都通过构建方程来求解。2、数形结合思想：数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形，由形思数，把数与形结合起来，分析问题的思想方法。本章在列方程解应用题时常用画线段图和画框图的方法来分析问题。5.2 一元一次方程解法移项的法则：一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。（移项的根据是等式的基本性质1）注意移项必须改变符号后从等式的一边移到另一边。解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法根 据注 意 事 项去分母在方程的两边同乘个分母的最小公倍数等式基本性质2不漏乘不含分母的项；注意给分子添括号。去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号分配律、去括号法则不漏乘括号里的项；括号前是“”号，要变号。移项把含有未知数的项移到方程的一边，其他各项都移到方程的另一边移项法则（等式的基本性质1）移项要变号合并同类项把方程化为合并同类项法则系数相加，不漏项系数化为1两边同除以未知数的系数a,得到方程的解等式基本性质2乘以系数的倒数5. 3一元一次方程与应用问题及实际问题一、本章几个主要的运用问题及其数量关系1、行程问题基本量及关系：路程=速度时间 时间= 典型问题相遇问题中的相等关系：一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离追及问题中的相等关系：追及者的行程被追者的行程=相距的路程航程问题 顺速=V静风（水）速 逆速=V静风（水）速2、销售问题基 本 量：成本（进价）、售价（实售价）、利润（亏损额）、利润率（亏损率）基本关系：利润=售价成本、亏损额=成本售价、利润=成本利润率 亏损额=成本亏损率3工程问题 基本量及关系:工作总量=工作效率工作时间常见相等关系：（1）各阶段工作量之和=工作总量（2）各参与者工作量之和=工作总量4、分配型问题：此问题中一般存在不变量，而不变量正是列方程必不可少的一种相等关系。5、调配型问题：通常画框图帮助分析（包括数字问题）相等关系：通常是调动后存在的数量关系6、方案选择型问题解决的关键：求出相等的时刻；再在大于和小于的值中各选择一个特值计算比较，也可结合实际进行判断7、其他类型：如图表信息题，配套问题，等积变化问题，球赛积分问题等等，结合实际具体分析，或者画图分析。总之，找相等关系是关键。二、列方程解应用题的一般步骤（1）审：弄清题意和数量关系，弄清已知量和未知量，找到一个包含题目全部数量关系的相等关系。（2）设：设未知数（可设直接和间接未知数）（3）列：列方程（使用题中原始数据或已经计算出的数据）（4）解：解方程（5）验：检验是否原方程的解，检验是否符合题意；（6）答：回答全面，注意单位。说明：（1）书写出来的是：设、列、解、答 （2）“审”是关键，“验”是保证。思路启迪：1、时针与分针的速度可用（数字，格子，度数，）3钟方法表示，因此钟表上的“追及”问题可用3种方法求解数字（1）时针时针1小时走1个数字 （2）分针分针1小时走12个数字 格子（1）时针1小时走5小格 (2)分针1小时走60小格度数：（1）时针时针1小时走 (2) 分针1小时走360方程的解的应用 例1 关于x的方程2x43m和x2m有相同的解，则m的值是( ) A10 B8 C10 D8 解析：解方程2x4=3m，得x=解方程x2m，得xm2由两方程解相同，得m2，解得m8 答案：B 例2 已知y3是6(my)2y的解，那么关于x的方程2m(x1)(m1)(3x4)的解是多少?分析：把y3代入第一个方程，使这个方程转化为关于m的方程，解出m的值，再代入第二个方程，求出x的值解：y3代入方程6(my)2y，得6(m3)6解得m3将m3代入2m(x1)(m1)(3x4)，得23(x1)(31)(3x4)解得x.方法先利用第一个方程求出字母m的值，再把m值代入第二个方程解第二个方程，培养思考问题的综合能力应用题汇编 例题一 通讯员骑摩托车需要在规定时间，把文件送到某地，若每小时走 60千米，就早到12分钟；若每小时走50千米，则要迟到7分钟，求路程分析：如果设规定时间为x小时，当每小时走60千米时，则路程为60千米；当每小时走50千米时，则路程为50千米这时可用路程相等列出方程解：设规定时间为x小时，根据题意，得60=50 解得所以路程为6=6095千米 答：路程为95千米 例二 某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的六折优惠”，若全票价为240元， (1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)； (2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样? 分析：(1)问分别用含x的式子表示y甲、y乙. (2)问是当y甲=y乙时求x. 解：(1)因为全票价为240元，所以半票价为120元， 这样甲旅行社收费为y甲120x240 又因为全票价为240元，所以全票价的60为240=144(元)， 这样乙旅行社收费为y乙144x144 (2)因为甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙， 所以当两家旅行社收费一样时，即有方程120x240144x144 解这个方程，得x4 答：当学生数为4时，两家旅行社收费一样巩固 某商场将彩电先按原价提高40，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果 每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是多少元?分析：假设每台彩电原价是x元，则提高40后为(140) x元，八折为(1 40) x80元，也就是现售价为(140) x80元 解：设每台彩电原价是x元，根据售价与原价之差等于270，列方程得 x (140)80x270，解得x2 250答：每台彩电原价是2 250元提高 某中学租用两辆汽车(设速度相同)同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人(不包括司机)其中一辆小汽车在距离考场 15千米的地方出现故障，此时离截止进考场的时间还有42分，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60千米时，人步行的速度是 5千米时(上、下车时间忽略不计) (1)若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场； (2)假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时间前到达考场，并通过计算说明方案的可行性 分析：本题是一道开放性的方案设计问题，解答时应注意分各种情况进行讨论 解：(1)3=(时)=45(分) 因为4542，所以不能在限定时间内到达考场 (2)方案：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场 先将4人用车送到考场所需时间为(时)15(分) 时另外4人步行了125千米， 此时他们与考场的距离为151251375(千米) 设汽车返回t(时)后与步行的4人相遇，则有5t60t=1375，解得t= 汽车由相遇点再去考场所需时间也是小时 所以用这一方案送这8人到考场共需152 60404(分)42(分)所以这8个人能在截止进考场的时间前赶到 图表类应用题例1 (1)七年级(1)班43人参加运土劳动，共有30根扁担，要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁担和人数相配不多不少?若设有人挑土，填写下表：挑土抬土人数人扁担根 即可知两个等量关系： 挑土人数抬土人数43人，挑土用扁担数抬土用扁担数30根 根据等量关系，列方程 ，解得x ，因此挑土人数为 ，抬土人数为 你能用其他方法计算这道题吗? (2)如果参加劳动的人数不变，扁担数为20根可以吗?为什么? 分析：有x人挑土，则用扁担x根，剩余的(43x)人抬土，需用扁担数为(43x)根，可列方程为x(43x)30，解得x17，即有挑土人数为17，抬土人数为4317=26还可以利用“挑土人数抬土人数43人”列方程解：(1)列表如下：挑土抬土人数人x43x扁担根x(43x)x(43x)=30；17；17；26能设挑土用x根扁担，则抬土用(30x)根扁担，挑土用x人，抬土用2(30 x)人根据题意，得x 2(30 x)43解得x =17因此，挑土人数为17，抬土人数为2(3017)26(2)不可以，因为若20根扁担用于挑土，则需20人43人；若20根扁担用于抬土，则需40人43人，因此，人员有剩余所以参加劳动的人数不变，扁担数为20根不可以点拨此题关键是如何利用人数与扁担数的关系列方程由生活常识可知，挑土 1人用l根扁担，抬土2人用l根扁担巩固 下面是甲商场电脑产品的进货单，其中