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第九章 质点动力学的基本方程典型例题例1物块和的质量分别为和，用弹簧连接如图.（a）所示已知物块沿铅直方向按运动，其中和均为常数；物块静放在水平固定面上如果不计摩擦和弹簧质量，试求水平支承面对物块的动反力解本例是已知运动求力的典型题因为物块沿铅直方向作平动，可把物块看为质点分别取物块和为研究对象，其受力分析和运动分析如图.（b）和（c）所示，图中的和表示弹簧力，是支承面对的动反力根据质点动力学基本方程，对和分别有（）（）将以上两式投影到轴，得（）（）其中，且（）式（）（）联立求解，最后得水平支承面对物块的动反力（a）讨论在动力学中，因为动反力静反力附加反力由式（a）可知，本例动反力中的静反力为；附加反力为，它的大小和方向都将随着时间而不断变化这是动力学问题与静力学问题的重要区别之一由于物体运动状态变化，有加速度出现，动反力也会相应变化读者不能以静力学的观点来处理动力学问题由式（a）知，当时，得力的最大值如果，当时，得力的最小值如果，物块会脱离水平支承面，这时，而不是在画物块的受力图.（c）时，不能把物块的重力画在上另外，弹簧力的大小不等于物块对水平面的动压力因此，本例可以用来估算机器对地面沿铅直方向的动压力这个动压力由最小值到最大值往复变化，将引起振动例小球由高度处以水平速度抛出，入图.（a）所示空气阻力可视为与速度的一次方成正比，即，其中为小球的质量，为常系数，求小球的运动方程和轨迹解本例是已知力和运动的初始条件求运动的问题取小球为研究对象，由于小球的初速度与其重力共面，故小球在与初速度共面的铅直面内作平面曲线运动，小球在任意位置的受力分析和运动分析如图（b）所示因目前还不知小球的轨迹，故宜建立直角坐标形式的运动微分方程，取平面直角坐标系如图（b）所示小球的运动微分方程为（）（）将和分别代入式（）和式（），分离变量后得（）（）由题给出的初始条件为时，有，（）首先对式（）进行定积分故由此可得小球在空中任意位置时沿轴方向的速度为（）同理，对式（）进行定积分故由此可得小球在空中任意位置时沿轴方向的速度为（）为了求小球的运动方程，分别对式（）和式（）分离变量后再进行定积分，最后得小球在空中的运动方程（a）由式（a）消去时间，可得小球的轨迹为（b）讨论从式（）和式（）知，空气阻力在轴和上的投影分别表示为和，其中和都是具有正负值的代数量由图.（b）可知，为正值，而为负值可见为负值，而为正值由式（）可知，与的正负号相反，故小球在水平方向作减速，同时沿水平方向的空气阻力也逐渐减小由式（）可知，当时，小球在铅垂向下方向作加速运动，使小球在铅垂方向上的分速度由零逐渐增大与此同时，沿铅垂方向的阻力也随同增大，使小球沿铅垂方向的分加速度逐渐变小当与重力大小相等时，小球沿铅垂方向的分加速度等于零由式（）可知，当时，可得但本例的高度是有限值，故不可能达到值小
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