浙江省三门县珠岙中学九年级数学上册 专题八 与垂径定理有关的辅助线同步测试 （新版）新人教版.doc

与垂径定理有关的辅助线一连半径构造直角三角形(教材p83练习第1题)如图1，在o中，弦ab的长为8 cm，圆心o到ab的距离为3 cm，求o的半径图1变形1答图解：作oeab于e，连接oa，则aeab84(cm)，oe3 cm，oa5(cm)【思想方法】 求圆中的弦长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解如图2，ab为o的直径，弦cdab于e，已知cd12，be2，则o的直径为(d)a8b10c16d20【解析】 如图，连接oc，根据题意，得cecd6，be2.在rtoec中，设ocx，则oex2，故(x2)262x2，解得x10，即直径ab20.图2图3“圆材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图3所示，cd为o的直径，cdab，垂足为e，ce1寸，ab1尺，求直径cd长是多少寸”(注：1尺10寸)解：abcd，aebe.ab10，ae5.在rtaoe中，oa2oe2ae2，oa2(oa1)252，oa13，cd2oa26(寸)二作弦心距巧解题(教材p90习题24.1第10题)o的半径为13 cm，ab，cd是o的两条弦，abcd，ab24 cm，cd10 cm，求ab和cd的距离解：第一种情况：如图(1)，两弦在圆心的同一侧时，已知cd10 cm，de5 cm.od13 cm，利用勾股定理可得oe12 cm.同理可求of5 cm，ef7 cm.第二种情况：efoeof17 cm.【思想方法】 已知弦长和圆的半径，常作弦心距，构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理求解是常用方法如图4，o的半径为17 cm，弦abcd，ab30 cm，cd16 cm，圆心o位于ab，cd的上方，求ab和cd的距离图4变形1答图解：如图，过点o作oeab，交cd于f，连接oa，abcd，ofcd.在rtoae中，oa17，aebeab15，oe8，同理可求of15.圆心o位于ab，cd的上方，efofoe1587(cm)，即ab和cd的距离是7 cm.如图5所示，若o的半径为13 cm，点p是弦ab上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦ab的长为_24_cm.【解析】 点p到圆心的最短距离即点o到弦ab的垂线段的长度，当点p是ab中点时，连接oa，则ab2ap2221224(cm)图5图6如图6，在半径为5的o中，ab，cd是互相垂直的两条弦，垂足为p，且abcd8，则op的长为(c)a3 b4 c3 d4【解析】 如图，作omab于m，oncd于n，连接ob，od.由垂径定理、勾股定理，得omon3.弦ab，cd互相垂直，dpb90.omab于m，oncd于n，omponp90，四边形monp是正方形，op3，故选c.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图7所示，已知efcd16 cm，则球的半径为_10_cm.图7变形4答图【解析】 取ef的中点m，作mnad于点m，取弧ef所在圆的圆心为o，连接of.设ofx，则om16x，mf8，在直角三角形omf中，om2mf2of2，即(16x)282x2，解得x10.当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图8所示(单位：cm)，那么该圆的半径为_cm.图8【解析】 连接oa，过点o作odab于点d，odab，adab(91)4.设oar，则odr3，在rtoad中，oa2od2ad2，即r2(r3)242，解得r cm.如图9所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度ab3 m，弓形的高ef1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧ab所在圆o的半径图9解：由垂径定理得bfab1.5，oeab，设圆o半径为x，则ofx1，在rtobf中，根据勾股定理得x21.52(x1)2，解得x1.625，即圆o的半径是1.625 m.某地有一座圆弧形拱桥，圆心为o，桥下水面宽度为7.2 m，过o作ocab于d，交圆弧于c，cd2.4 m(如图10所示)现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面ab 2 m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？图10解：如图，连接on，ob，且设de为船舱的高ocab，d为ab中点ab7.2 m，bdab3.6 m又cd2.4 m，设oboconr，则od(r2.4)m.在rtbod中，根据勾股定理得r2(r2.4)23.62，解得r3.9 m.cd2.4 m，船舱顶部为方形并高出水面ab 2 m，ce2.420.4 (m)，oerce3.90.43.5 (m)在rtoen中，en2on2oe23.923.522.96，en，mn2en23.44(m)3(m)，此货船能顺利通过这座拱桥有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图11所示，正常水位下水面宽ab60 m，水面到拱顶距离cd18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽mn32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由图11解：不需要采取紧急措施理由如下：设oar，在rtaoc中，ac30，ocr1