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四川理工学院试卷（2006 至2007 学年第 一 学期） 系 专业 级 班 学号 姓名 密 封 线 密 封 线 内 不 要 答 题 课程名称：数学分析 参考答案命题教师： 李泽军适用班级： 2006级数学与应用数学1.2、信计1.2考试(考查) 考试 2006年 12 月 4 日 共 7 页题号一二三四五六七八总分评阅（统分）教师得分注意事项：1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。 试 题得分评阅教师一、填空题（每小题2分，共20分）1、函数可看成由 复合而成。2、若有分段函数，则x=0是函数的第 一 类间断点。3、曲线在点P（1，1）处的切线的斜率为 3 。4、数列极限= 0 。5、函数极限= 。6、函数的连续区间是 。7、当时，-1与是 低阶 无穷小量。第1页8、极限= 0 。9、设函数可导且，则dy= 。10、数列的敛散性是 收敛 。得分评阅教师二、判断题（每小题2分，共10分）1、若函数可微，其中u是中间变量，则 （）2、若函数在处左右连续，则在处连续。 （ ）3、若是的稳定点，则一定是的极值点。 （ ）4、若函数，则（0）=5！ （ ）5、无穷大量一定是无界函数，无界函数却不一定是无穷大量。 （ ）得分评阅教师三、叙述定义或定理（每小题5分，共10分）1、 区间I上不一致收敛：解：若称函数 区间I上不一致收2、当时的归结原则：解：（1）；（2）；（3）单调递减的数列都有：得分评阅教师四、计算题（每小题5分，共25分）1、解：原式= = = =2、解：因为原式= = =13、若，求解：设 ，则 = =4、求极限解：当时，符合法则，则得：原式=5、求函数的带Peano余项的Maclaurin 展式解：设，由题有且： ， ， ， ，根据的Maclaurin 展式：，其中得：故的Maclaurin 展式为：五、证明题（共25分）1、用定义证明： （ 5分）证明： ，要使又根据当很小时有不等式从而0,b0）有一个不超过a+b的正根。 （7分）证明：设 ， 显然在上连续，（1） 若=0，即，说明是方程根。（2） 若，则由于 由闭区间上连续函数的性质之根的存在性定理有： ，使得： 。综述（1）（2）有：方程 （a0,b0）有一个不超过a+b的正根 。3、 设函数f(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，试证明：存在使得： （6分）证明：设 ， ，显然满足：（1） 在a,b上连续；（2）在（a,b）内可导；（3）由ROLL中值定理得：使得： ，整理得：4、试证明：函数在(0,1)不一致连续，但对任意，在上一致连续。 （7分）证明：（1）先证明函数在(0,1)不一致连续；，对（不妨设）， ， ，显然有：，尽管有： ，但 ，从而函数在(0,1)不一致连续；（2）再证明对任意，在上一致连续。对 ，要使得：只要取 即可。由于是0的定数，故只与有关。亦即：对，当时就有 。故在上一致连续。得分评阅教师六、试讨论函数的单调性、极值、凸性、最值和渐近线。（10分）解：（1）（因为的定义域为（）（2） 函数没有不可导的点且 ，令得驻点：（3） 令得（4） 求渐近线：显然函数没有垂直渐近线，斜渐近线的斜率为：=0 截距=0故，为水平渐近线。 （5）列表讨论单调性、极值、凸性、最值-1（-1，0）0（0，1）100000000000