【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 4.1平面向量的概念及其线性运算精品试题 (2)(1).doc

平面向量的概念及其线性运算(45分钟100分) 一、选择题(每小题6分,共48分)1.已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是()a.a+b=0b.a=bc.a与b共线反向d.存在正实数,使a=b【解析】选d.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故d正确.【误区警示】解答本题易误选b,若a=b,则|a+b|=|a|+|b|,反之不一定成立.2.(2014嘉兴模拟)下列命题中是真命题的是()对任意两向量a,b,a-b与b-a是相反向量;在abc中,ab+bc-ac=0;在四边形abcd中,(ab+bc)-(cd+da)= 0;在abc中,ab-ac=bc.a.b.c.d.【解析】选a.真命题.因为(a-b)+(b-a)=a+(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b)=(a-a)+(b-b)= 0,所以a-b与b-a是相反向量.真命题.因为ab+bc-ac=ac-ac=0,所以命题成立.假命题.因为ab+bc=ac,cd+da=ca,所以(ab+bc)-(cd+da)=ac-ca=ac+ac0,所以该命题不成立.假命题.因为ab-ac=ab+ca=cbbc,所以该命题不成立.故选a.【加固训练】(2014海口模拟)在abc中,ab=c,ac=b,若点d满足bd=2dc,则ad=()a.23b+13cb.53c-23bc.23b-13cd.13b+23c【解析】选a.如图,因为在abc中,ab=c,ac=b,且点d满足bd=2dc,所以,ba+ad=2(da+ac),ad=23ac+13ab=23b+13c,故选a.3.(2014台州模拟)如图,在abc中,点d是bc边的中点,过点d的直线交ab的延长线于点m,交ac于点n,若ab=am,ac=an,则+=()a.1b.32c.2d.52【解析】选c.因为d是bc的中点,所以ad=12(ab+ac),又因为ab=am,ac=an,所以ad=12(am+an),即ad=2am+2an,因为m,d,n三点共线,所以2+2=1,即+=2.4.如图,d,e,f分别是abc的边ab,bc,ca的中点,则下列结论错误的是()a.de=fcb.df=12bcc.de+ef=dfd.de+ec+cf=0【解析】选d.因为d,e,f分别是所在边的中点,结合图形易知a,b正确;由向量加法的三角形法则知c正确;对于d,de+ec+cf=dc+cf=df0,所以d错误.5.(2014绍兴模拟)在abc中,点d在线段bc的延长线上,且bc=cd,点o在线段cd上(与点c,d不重合),若ao=xab+(1-x)ac,则x的取值范围是()a.(0,1)b.0,13c.(-1,0)d.-13,0【解析】选c.如图,由ao=xab+(1-x)ac得ao-ac=x(ab-ac),即co=xcb,又bc=cd,因此co=-xcd,由0-x1得-1x0.6.(2014宝鸡模拟)已知abc和点m满足ma+mb+mc=0,若存在实数m使得ab+ac=mam成立,则m=()a.2b.3c.4d.5【解析】选b.根据题意,由于abc和点m满足ma+mb+mc=0,则可知点m是三角形abc的重心,设bc边的中点为d,则可知am=23ad=2312(ab+ac)=13(ab+ac),所以ab+ac=3am,故m=3.【加固训练】已知点o,n在abc所在平面内,且|oa|=|ob|=|oc|,na+nb+nc=0,则点o,n依次是abc的()a.重心外心b.重心内心c.外心重心d.外心内心【解析】选c.由|oa|=|ob|=|oc|知,o为abc的外心;na+nb+nc= 0知,n为abc的重心.7.设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是()a.|a+b|a|+|b|b.|a|-|b|a+b|c.|a|-|b|a|+|b|d.|a|a+b|【解析】选d.由向量加法的几何意义知|a|-|b|a+b|a|+|b|知a,b,c恒成立,取a+b=0,则d不成立.【误区警示】解答本题时容易忽视向量共线的情形.8.设d,e,f分别是abc的三边bc,ca,ab上的点,且dc=2bd,ce=2ea,af=2fb,则ad+be+cf与bc()a.反向平行b.同向平行c.平行但方向不确定d.不共线【思路点拨】结合图形,化简ad+be+cf,逐渐寻求其与bc的关系.【解析】选a.如图,ad=ab+bd=ab+13bc,be=ba+ae=ba+13ac,cf=cb+bf=cb+13ba,所以ad+be+cf=cb+13(bc+ac+ba)=cb+13(bc+ac-ab)=cb+23bc=-13bc,故ad+be+cf与bc反向平行.【加固训练】在abc中,bd=2dc,ad=mab+nac,则mn的值为()a.2b.12c.3d.13【解析】选b.方法一:ad=ab+bd=ab+23bc=ab+23(ac-ab)=13ab+23ac,所以m=13,n=23,mn=12.方法二:因为bd=2dc,所以ad-ab=2(ac-ad),所以ad=13ab+23ac,得m=13,n=23.所以mn=12.二、填空题(每小题6分,共24分)9.(2014衢州模拟)已知平面上不共线的四点o,a,b,c,若oa+2oc=3ob,则|bc|ab|的值为.【解析】因为oa+2oc=3ob,所以2oc-2ob=ob-oa,即2bc=ab,所以2|bc|=|ab|,|bc|ab|=12.答案:1210.(2014重庆模拟)若ab=3a,cd=-5a,且|ad|=|bc|,则四边形abcd的形状是.【解析】因为ab=3a,cd=-5a,所以ab=-35cd,ab,cd共线,所以ab,cd平行且不相等,又有|ad|=|bc|,所以四边形abcd为等腰梯形.答案:等腰梯形【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧平面向量的知识在解决平面几何中的问题时应用非常广泛:利用共线向量定理,可以证明点共线,两直线平行,并进而判定一些特殊图形;利用向量的模,可以说明线段间的长度关系,并进而求解图形的面积.在后续内容中,向量的应用将更广泛.要注意图形中的线段、向量是如何相互转化的.11.已知向量,其中a,b均为非零向量,则|c|的取值范围是.【思路点拨】根据题意求|c|的最大、最小值即可.【解析】均为单位向量,当它们共线同向时,|c|取最大值2,当它们共线反向时,|c|取最小值0,故|c|的取值范围是0,2.答案:0,212.(能力挑战题)已知abc中,ab=a,ac=b,对于平面abc上任意一点o,动点p满足op=oa+a+b,则动点p的轨迹所过的定点为.【解析】依题意,由op=oa+a+b,得op-oa=(a+b),即ap=(ab+ac).如图,以ab,ac为邻边作平行四边形abdc,对角线交于点m,则ap=ad,所以a,p,d三点共线,即p点的轨迹是ad所在的直线,由图可知p点轨迹必过abc边bc的中点m.答案:边bc的中点【加固训练】已知点p为abc所在平面上的一点,且ap=13ab+tac,其中t为实数,若点p落在abc的内部,则t的取值范围是.【解析】如图,e,f分别为ab,bc的三等分点,由ap=13ab+tac可知,p点落在ef上,而ef=23ac,所以点p在e点时,t=0,点p在f点时,t=23.而p在abc的内部,所以0t23答案:0,23三、解答题(每小题14分,共28分)13.(2014临沂模拟)如图,在abc中,an=13nc,p是bn上的一点,若ap=mab+211ac,求实数m的值.【解析】由条件知bp=ap-ab=(m-1)ab+211ac,pn=an-ap=-mab+344ac.由b,p,n三点共线知bp=pn,即(m-1)ab+211ac=(-mab+344ac),所以m-1=-m,211=344,得=83,m=311.故m=311.14.设点o在abc内部,且有4oa+ob+oc=0,求abc的面积与obc的面积之比.【解析】如图,取bc的中点d,连接od,则ob+oc=2od,又4oa=-(ob+oc)=-2od,即oa=-12od,所以o,a,d三点共线,且|od|=2|oa|,所以o是中线ad上靠近a点的一个三等分点,所以sabcsobc=32.【加固训练】已知p为abc内一点,且3ap+4bp+5cp=0,延长ap交bc于点d,若ab=a,ac=b,用a,b表示向量ap,ad.【解析】因为bp=ap-ab=ap-a,cp=ap-ac=ap-b,又3ap+4bp+5cp=0.所以3ap+4(ap-a)+5(ap-b)= 0,所以ap=13a+512b.设ad=tap(tr),则ad=13ta+512tb.又设bd=kbc(kr),由bc=ac-ab=b-a,得bd=k(b-a).而ad=ab+bd=a+bd.所以ad=a+k(b-a)=(1-k)a+kb,由得13t=1-k,512t=k,解得t=43.代入得ad=49a+59b.所以ap=13a+512b,ad=49a+59b.【加固训练】1.(2014南昌模拟)如图所示,在abo中,oc=14oa,od=12ob,ad与bc相交于点m.设oa=a,ob=b.(1)试用a和b表示向量om.(2)在线段ac上取一点e,在线段bd上取一点f,使ef过点m,设oe=oa,of=ob,当ef为ad时,=1,=12,此时1+3=7;当ef为cb时,=14,=1,此时1+3=7,有人得出如下结论:不论e,f在线段ac,bd上如何变动,1+3=7总成立.试问他的这个结论对吗?请说明理由.【思路点拨】(1)利用平面向量基本定理:设om=ma+nb,再利用a,d,m共线,c,m,b共线得出m,n的方程组解出m,n的值.(2)利用e,m,f共线,设em=kef,得出与k无关的结论即可.【解析】(1)设om=ma+nb,则am=om-oa=ma+nb-a=(m-1)a+nb,ad=od-oa=12ob-oa=-a+12b.因为a,m,d三点共线,所以am与ad共线.故存在实数t,使得am=tad,即(m-1)a+nb=t(-a+12b).所以(m-1)a+nb=-ta+12tb,所以m-1=-t,n=t2,消去t得m-1=-2n,即m+2n=1.因为cm=om-oc=ma+nb-14a=m-14a+nb,cb=ob-oc=b-14a=-14a+b,又c,m,b三点共线,所以cm与cb共线,同理可得4m+n=1.联立,解得m=17,n=37.故om=17a+37b.(2)他的结论是对的.理由如下:因为em=om-oe=17a+37b-a=17-a+37b,ef=of-oe=ob-oa=-a+b,因为ef与em共线,故存在实数k,使得em=kef,即17-a+37b=k(-a+b)=-ka+kb,所以17-=-k,37=k,消去k得17-=-37.即1+3=7.2.如图所示,在五边形abcde中,点m,n,p,q分别是ab,cd,bc,de的中点,k和l分别是mn和pq