金壮数学专业毕业论文第二稿.doc

一元函数的一致连续性的判定及其应用作者：金壮指导老师：郑文晶摘要：本文在对函数连续与一致连续的概念和关系讨论的基础上，主要对一元函数在不同区间上函数一致连续的判定方法进行了研究，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的概念有更全面的理解和认识。关键词：函数；连续；一致连续The determination of uniform continuity of a function and its applicationAbstract:Based on concepts and relationships of uniformly continuous function is continuous and discussed on the basis of the main of a function on the different interval determination methods of uniformly continuous function are studied, summarized and application, and determine the part one yuan of uniformly continuous function method has been generalized to multivariate function, the concept of uniformly continuous function make people have a more comprehensive understanding and awareness. Key words: functions; continuous; uniformly continuous 目录引言3一、函数连续与一致连续的关系31、函数连续与一致连续的区别3 2、函数连续性与一致连续性的联系5 二、一元函数一致连续性的判定与应用6 1、一元函数在有限区间上的一致连续性72、一元函数在无限区间上的一致连续性9 3、一元函数一致连续性的应用10 结论11 参考文献11致谢12引言 我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数在某区间上连续，是指函数在该区间内每一点都连续，它反映函数在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数的变化趋势及性质。因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的概念有更全面的认识和理解。一、 函数连续与一致连续的关系1.1 函数连续与一致连续的区别1.1.1 函数连续的局部性 定义1 函数在邻域内有定义，如果函数在点存在极限，且极限就是，即 。 那么，称函数在点处连续。是否意味着在的邻域内连续呢？或者说其图像在此邻域上连绵不断呢？回答是否定的。如函数只在连续；函数仅在三点处连续，又如函数 容易证明这个函数在任意点是连续的，但是我们却不能一笔画出函数在的任意小邻域内的图形。上述例子表明“连续”仅仅是一个局部概念，不能仅从字面意思上去理解在连续。当且仅当在的邻域U内每一点都连续，才能说在的邻域内连续。函数在点处连续的定义不能完全反映“连续”二字的本意，这确实是个遗憾，但是，如果在连续点的函数值，那么上述例外情形就不会发生了，有如下命题命题 设在点处连续，且，则一定存在的某个邻域，使在此邻域内连续。证明：因为在点连续，即，使得时，都有 。 (1) 现设，由（1-3）显然有 。 从而有 可见在连续，由的任意性，知在的邻域内连续。因此,函数的连续性是一种按点而言的连续性,它仅仅反映了函数在区间上一点附近的局部性质。1.1.2函数一致连续性的整体性连续函数以它具有一系列良好的性质而成为数学分析研究的主要对象，然而在连续函数中，又以一致连续的函数最为重要，因此，判定一个函数在其定义域内是否一致连续，是数学分析的一个重要内容之一。定义2 设函数在区间I上有定义，若对,，只要,就有 , 则称函数在区间I上一致连续。 定义中的“一致”指的是什么呢？只要与函数在区间I上连续的的定义进行比较，不难发现，连续定义中的，不仅仅依赖于,还依赖于点在区间I中的位置，即=；而在I上一致连续是指，存在这样的，它只与有关而与在区间I中的位置无关，即=。也就是说，如果函数在区间I上连续，则对任意给定的正数，对于I上的每一点，都能分别找到相应的正数，使得对I上的任意一点,只要,就有，其中=。对于同一个而言，当在I上变动时，的大小一般也随着变动，即依赖于。在曲线比较平坦的部分所需的远比在曲线比较陡峭的部分所需的大得多。 如果的大小只与给定的有关，而与点在I上的位置无关，那么这时就在上I一致连续。可见“一致”指的就是存在适合于I上所有点的公共，即=。直观地说, 在I上一致连续意味着：不论两点与在I中处于什么位置，只要它们的距离小于，就可以使。 这里可能会产生这样的疑问：既然对I中每一个点都能找出相应的=，那么取这些=的最小者或者是下确界作为正数，不就能使其与点无关了吗？事实上，这不一定能办得到。因为区间I中有无穷多个点，从而一般地也对应着无穷多个正数，这无穷多个正数却未必有最小的正数或取下确界为零。所以，在区间I上一致连续，反映出在I上各点“连续”程度是否步调“一致”这样一个整体性质。1.2 函数连续性与一致连续性的联系 函数在区间I上连续与一致连续是两个不同的概念，但它们之间也有联系。有如下结论（1）函数在区间I上一致连续，则在I上连续。这个命题的证明是显然的，我们只须将其中的一个点(或)固定即可，但这个命题的逆命题却不一定成立。例1 证明函数在(0,1)内不一致连续（尽管它在(0,1)内每一点都连续）。证明：假设在(0,1)内一致连续，则对，使得，只要，就有 ， 取(0,1)内某两点与，当 （只须） 有 不趋向0， 与已知在(0,1)内一致连续矛盾，从而在(0,1)内不一致续。 那么应具备什么条件，在I上连续的函数才在I上一致连续呢？（2）在区间上连续的函数在上一致连续。 这是著名的G.康托定理。闭区间上连续函数的这一性质对研究函数的一致连续性十分重要，由它我们可以推出许多重要的结论。注1 对函数的一致连续性概念的掌握，应注意以下三个方面 ：（1）函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。（2）一致连续的实质，是区间上任意两个彼此充分靠近的点的函数值的差的绝对值可以任意小，即对I，当时，就有 。 （3）连续的否定叙述：设函数f(x)在区间I上有定义，若，使，总I，虽然有 ， 但是 ， 则称函数在区间I上非一致连续。总的来说，我们可以在一点处讨论函数的连续性，却不能在一点处讨论函数的一致连续性。函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上的整体性质。二、 一元函数一致连续性的判定及应用2.1 一元函数在有限区间上的一致连续性 由于用函数一致连续性的定义判定函数是否一致连续，往往比较困难。于是，产生了一些以G.康托定理为基础的较简单的判别法。 定理1(Contor) 若函数在a,b上连续，则在a,b上一致连续。 这个定理的证明方法很多，在华东师大版数学分析上册中，运用了致密性定理来证明，本文选用有限覆盖定理来证明。分析：证明函数在a,b上一致连续，关键在于找到通用的。怎样找呢？根据条件，对任意，有开区间集覆盖了闭区间a,b。根据有限覆盖定理，存在有限个开区间，i=1,2,n,也覆盖了a,b。n个区间的半径(i=1,2,n)一定存在最小的，这个最小的就是我们要找的通用的。证明：设是闭区间a,b上任意一点，已知函数在连续，即对任意，总存在，当时，有。若与是区间内任意两点，即 与， 则分别有 与 。 于是，区间内任意两点与，有 现将每个开区间的半径缩小一半，得开区间集 。这个开区间集覆盖了。根据有限覆盖定理，存在有限个开区间，i=1,2,n,也覆盖了闭区间。令 下面证明这个就具有一致连续所要求的性质：如果对上任意两点与，当时，必属于某个开区间，,即。因为，有即属于开区间。由(1-13)式知， 。 于是，对任意，总存在，对上任意两点与，当时，有，即函数在闭区间上一致连续。 注1 定理1对开区间不成立。例如函数在(0,1)内每一个点都连续，但在该区间并不一致连续。 G.康托定理告诉我们：函数在区间a,b上一致连续的充要条件是在a,b上连续，所以在闭区间a,b上连续的函数必定一致连续，然而对于有限开区间和无限区间，则结论不一定成立。阻碍由区间连续性转变为区间一致连续性有两种情况： （1）对于有限开区间，这时端点可能成为破坏一致连续性的点。 （2）对于无限区间，这时函数在无穷远处也可能破坏一致连续性。 虽然如此，我们对于破坏一致连续性的有限开区间的端点或无穷远点附加一定的限制条件，G.康托定理也可以推广到有限开区间和无限区间。 定理2 函数在(a,b)内一致连续在(a,b)连续，且与都存在。 证明： 若在(a,b)内一致连续，则对，当 时，有 ， 于是当时，有 。 根据柯西收敛准则，极限存在，同理可证极限也存在，从而在(a,b)连续, 与都存在。 若在(a,b)连续，且和都存在，则令 于是有在闭区间上连续，由Contor定理，在上一致连续，从而在内一致连续。 根据定理2容易得以下推论： 推论1函数在内一致连续在连续且存在。 推论2函数在内一致连续在连续且存在。 注2 当(a,b)是无限区间时，条件是充分不必要的。例如：在上一致连续，但是不存在，= +。2.2 一元函数在无限区间上的一致连续性 定理3 在上可导，且（为正实数），则在上一致连续。 证明: 对，由拉格朗日中值定理得 ，其中介于之间。 故对，对，只要，就有，故在上一致连续。 由定理3还容易得出以下结论： 推论3 函数在上可导，且，则在上一致连续。 例2 判定下列函数在指定区间上是否一致连续。 （1），；（2）；（3）。 解：（1）易见在在可导，且的导数的绝对值,即在上一致连续。 （2）易见在上可导，且的导数的极限有，因此，在上一致连续。 （3）易证在上可导，且有，所以在上一致连续。 例3 设在上可导，且，则在不一致连续。证明：取，对 ，由得，当时有，取，有，而，因此在上非一致连续。注3 由例3可见，上述判别法在判定某函数非一致连续时十分简便。2.3 一元函数一致连续性的应用对于一元函数的一致连续性与非一致连续性，有以下应用:例4 在内一致连续，但在R上不一致连续证明：（1）取，则对，当时，有，因此有在内一致连续。（2）首先对正实数0，取，当，但是，即在R上不一致连续。 例5 证明无界函数在上一致连续。 证明：。对于任给的，取，则当, 时，恒有，因此在上一致连续。 综上所述，一元函数一致连续的判定，是由函数所满足的条件或所定义的范围所决定的，上述定理给出几种情况下函数一致连续的判定但不全面，我们还可以进行更加深入的讨论和研究。总结 一元函数一致连续性的判定及应用对于以后学习其他函数知识奠定了一定的基础，同时函数一致连续性判定的思想也可以运用到其它方面，如证明函数有界，积分等。使得再次遇到此类问题有了清晰的思路和严谨的逻辑思维。参考文献 1华东师范大学数学系M. 数学分析 高等教育出版社2裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法 高等教育出版社 3刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义 高等教育出版社 4李锋杰，刘丙辰. 关于函数的一致连续问题 烟台师范学院学报 5姜雄. 关于函数在任意区间上一致连续与非