定积分练习题.doc

第九章 定 积 分练 习 题1定积分概念习 题1 按定积分定义证明：2 通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1） （2）（3） （4）2 牛顿一菜布尼茨公式 1计算下列定积分：（1）； （2）； （3）；（4）； （5） （6）（7） （8）2利用定积分求极限：（1） （2）（3） （4） 3证明：若f在a,b上可积，F在a,b上连续，且除有限个点外有F（x）=f(x),则有 3 可积条件1 证明：若T是T增加若干个分点后所得的分割，则2 证明：若f在a,b上可积，.3.设fg均为定义在a,b上的有界函数。证明：若仅在a,b中有限个点处则当f在a,b上可积时，g在a,b上也可积，且3 设f在a,b上有界，证明：在a,b上只有为其间断点，则f在a,b上可积。4 证明：若f在区间上有界，则。 4 定积分的性质1.证明:若f与g都在a,b上可积,则 其中是T所属小区间i中的任意两点,i=1,2,n.2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1)(2)3.证明下列不等式: (1) (2); (3) (4)4.设f在a,b上连续,且f(x)不恒等于零,证明5.设f与g都在a,b上可积,证明 在a,b上也都可积.6.试求心形线上各点极径的平均值.7.设f在a,b上可积,且在a,b上满足证明在a,b上也可积.8.进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理9.8)中的中值点(a,b).9.证明:若f与g都在a,b上可积,且g(x)在a,b上不变号,M、m分别为 f(x)在a,b上的上、下确界,则必存在某实数(mM),使得 10.证明:若f在a,b上连续,且则在(a,b)内至少存在两点x1,x2,使f(x1)= f(x2)=0.又若这时f在(a,b)内是否至少有三个零点?11.设f在a,b上二阶可导,且.证明:(1) (2)又若则又有 12.证明:(1) (2)5 微积分学基本定理定积分计算(续)习 题1 设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合fu与fv证明： 2设f在a,b上连续，证明F”3求下列极限： （1） （2）4计算下列定积分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）（10） （11） （12）5.设f在-a,a上可积。证明：（1）若f为奇函数，则（2）若f为偶函数，则6设f为（-，+）上以p为周期的连续周期函数。证明对任何实数a，恒有 7设f为连续函数。证明：（1）（2） 8设J（m,n）为正整数）。证明： 并求J(2m,2n).9证明：若在（0，）上f为连续函数，且对任何a0有 ， 则为常数。10设f为连续可微函数，试求 并用此结果求11设为a,b上严格增的连续曲线（图9-12）。试证存在（a,b），使图中两阴影部分面积相等。12设f为0，2上的单调递减函数。证明：对任何正整数n恒有 13证明：当x时有不等式 14证明：若f在a,b上可积，则有 15.证明：若在a,b上f为连续可微的单调函数，则存在使得 （提示：与定理9.11及其推论相比较,这里的条件要强得多, 因此可望有一个比较简单的,不同于9.11的证明.）6 可积性理论补叙1. 证明性质2中关于下和的不等式(3).2. 证明性质6中关于下和的极限式 .3. 设 试求在0,1上的上积分和下积分;并由此判断在0,1上是否可积.4. 设在a,b上可积,且上是否可积?为什么?5. 证明:定理9.14中的可积第二充要条件等价于“任给都有.6.据理回答:(1) 何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质?(2) 何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等”的性质？(3) 对于可积函数，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的结论？7本题的最终目的是要证明：若在a,b上可积，则在a,b内必定有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明：（1）若T是a,b的一个分割，使得S（T）s(T)0，则 为上的严格增函数，如果要使在上为严格增，试问应补充定义（0）=？3、设在上连续，且证明 4设是定义的上的一个连续周期函数，周期为p证明 5 证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。6 证明施瓦茨（Schwarz）不等式：若和g在a,b上可积，则 7 利用施瓦茨不等式证明：（1）若在a,b上可积，则 （2）若在a,b上可积，且（x）m0，则 （3）若、g都在a,b上可积，则有闵可夫斯基（Minkowski）不等式： 8证明：若在a,b上连续，且（x）0，则 9设为上的连续减函数，（x）0；又设 证明为收敛数列。 10证明：若在a,b上可积，且个个有（x）0，则，（提示：由可积的第一充要条件进行反证：也可利用习题7题的结论。）第十章 定积分的应用练习题1 平面图形的面积1求由抛物线y=x2与y=2x2所围图形的面积。2求由曲线y=与直线x=，x=10，y=0所围图形的面积。3抛物线y2=2x把圆x2+ y28分成两部分，求这两部分面积之比。4求内摆线x=acos3t，y= asin3t（a0）所围图形的面积（图107）。5求心形线r=a（1+cos）（a0）所围图形的面积。6求三叶形曲线r=asin（a0）所围图形的面积。7求由曲线=1（a、b0）与坐标轴所围图形的面积。8求由曲线x=tt3，y=1t4所围图形的面积。9求二曲线r= sin与r= cos所围公共部分的面积。10求两椭圆与（a0，b0）所围公共部分的面积。2 由平行截面面积求体积1如图1013所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试截得楔形体的体积。2求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积：（1）y=sin x，0x，绕x轴；（2）x=a（tsin t），y=a（1cos t）（a0），0t2，绕x轴；（3）r=a（1+cos ）（a0），绕极轴；（），绕轴。3已知球半径为r，验证高为h的球缺体积V=h2（r）（hr）。4求曲线x=a cos 3t，y= sin3 t所围平面图形（图107）绕x轴旋转所得立体的体积。5导出曲边梯形0yf（x），axb绕y轴旋转所得立体的体积公式为V=2 6求0ysin x，0x所示平面图形绕y轴旋转所得立体的体积。3 平面曲线的弧长与曲率1求下列曲线的弧长（1）y=x3/2，0x4；（2）=1；（3）x=acos3t,y=asin3t(a0), 0t2；（4）x=a(cos t+tsin t),y=a(sin ttcos t) (a0), 0t2；（5）r=asin(a0), 03；（6）r=a(a0), 02.2*求下列各曲线在指定点处的曲率：（1）xy=4，在点（2，2）；（2）y=ln x，在点（1，0）；（3）x= a(tsin t),y=a（1cos t） (a0),在t=的点；（4）x=acos3t,y=asin3t(a0),在t=的点。3求a、b的值，使椭圆x=acos t，y=bsin t的周长等于正弦曲线y=sinx在0x2上一段的长。4设曲线由极坐标方程r=r（）给出，且二阶可导，证明它在点（r，）处的曲率为K=。5用上题公式，求心形线r=a（1+cos）（a0）在=0处的曲率、曲率半径和曲率圆。6证明抛物线y=ax2+bx+c在顶点处的曲率为最大。7求曲线y=ex上曲率最大的点。4 旋转曲面的面积1求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积：（1）y=sin x,0x,绕x轴；（2）x=a(tsin t),y=a(1cos t)(a0),0t2,绕x轴；（3），绕y轴；（4）x2+(ya)2=r2(ra），绕x轴。2设平面光滑曲线由极坐标方程r=r(),（，0，r（）0）给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式。3试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积：（1）心形线r=a(1+cos)(a0);（2）双纽线r2=2a2cos2 (a0).5 定积分在物理中的某些应用1有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长为10米和6米，高为20米，计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力。2边长为a和b的矩形薄板，与液面成（090)角斜沉于液体中。设ab，长边平行于液面，上沿位于深h处，液体的比重为。试求薄板每侧所受的静压力。3直径为6米的一球浸入水中，其球心在水平面下10米处，求球面上所受静压力。4设在坐标轴的原点有一质量为m的质点，在区间a，a+l（a0）上有一质量为M的均匀细杆，试求质点与细杆之间的万有引力。5设有两条各长为l的均匀细杆在同一直线上，中间离开距离c，每根细杆的质量为M。试求它们之间的万有引力。（提示：在第4题的基础上再作一次积分）6设有半径为r的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为，在圆心处有一单位正电荷。试求它们之间作用力的大小。7一个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水。试问把水抽尽需作多少功？8长10米的铁索下垂于矿井中，已知铁索每米的质量为8千克，问将此铁索提出地面需作多少功？9一物体在某介质中按x=ct3作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比。计算物体由x=0移至x=a时克服介质阻力所作的功。10半径为r的球体沉入水中，其比重与水相同。试问将球体从水中捞出需作多少功？6 定积分的近似计算1分别用梯形和抛物线法近似计算（将积分区间十等分）。2用抛物线法近似计算（分别将积分区间二等分、四等分、六等分）。3图10-27所示为河道某一截面图，试由测得数据用抛物线法求截面面积。4下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温：时间(ti)024681012141618202224温度Ci25.823.024.125.627.330.233.435.033.831.128.027.025.0（1）按积分平均求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近似法分别计算；（2）若按算术平均或求得平均气温，那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分平均各有什么联系？简述理由。第十一章 反常积分练习题1 反常积分概念1讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：（1）；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).2.讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。3举例说明：瑕积分收敛时，不一定收敛。4举例说明：收敛且f在上连续时，不一定有。5证明：收敛，且存在极限=A，则A=0。6证明：若f在上可导，且与都收敛，则。2 无穷积分的性质与收敛判别习 题1证明定理11.2及其推论12设f与g是定义在上的函数，对任何ua，它们在a，u上都可积。证明：若与收敛，则与也都收敛。3设f、g、h是定义在上的三个连续函数，且成立不等式h（x）f（x）g（x）。证明：（1） 若与与也收敛；（2）又若=A，则=A。4讨论下列无穷积分的收敛性：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）（n、m0）5讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛：（1）； （2）；（3）； （4）。6举例说明：收敛时不一定收敛；绝对收敛时，也不一定收敛。7证明：若绝对收敛，且，则必定收敛。8证明：若f是上的单调函数，且收敛，则，且。9证明：若f在上一致连续，且收敛，则。10利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法。3 瑕积分的性质与收敛判别习 题1写出性质3的证明。2写出定理11.6及其推论1的证明。3讨论下列瑕积分的收敛性：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）。4计算下列瑕积分的值（其中n为正整数）：（1）； （2）5证明