【全程复习方略】高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元质量评估课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元质量评估课时作业 新人教a版选修2-1 (120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014长沙高二检测)抛物线x2=4y的焦点坐标为()a.(0,-1)b.(0,1)c.(1,0)d.(-1,0)【解析】选b.由题意知p=2,且焦点在y轴正半轴上,选b.2.(2014江西高考)过双曲线c:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线与c的一条渐近线相交于a.若以c的右焦点为圆心、半径为4的圆经过a,o两点(o为坐标原点),则双曲线c的方程为()a.x24-y212=1b.x27-y29=1c.x28-y28=1d.x212-y24=1【解题指南】设右焦点为f,|of|=|af|=4.【解析】选a.设右焦点为f.由题意得|of|=|af|=4,即a2+b2=16,又a(a,b),f(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以方程为x24-y212=1.3.若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为()a.x2=-28yb.y2=28xc.y2=-28xd.x2=28y【解析】选b.由准线方程为x=-7,所以可设抛物线方程为y2=2px(p0),由p2=7,所以p=14,故方程为y2=28x.【变式训练】抛物线y=2x2的准线方程为()a.y=18b.y=-18c.x=12d.x=-12【解析】选b.由y=2x2,得x2=12y,所以p=14,p2=18,故准线方程为y=-18.4.(2014温州高二检测)“m0”是“方程x23+y2m=1表示椭圆”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选b.x23+y2m=1表示椭圆的充要条件是m0且m3.故选b.5.若椭圆x216+y2b2=1过点(-2,3),则其焦距为()a.25b.2c.43d.45【解析】选c.由椭圆过点(-2,3),所以(-2)216+(3)2b2=1,解得b2=4,因此c2=a2-b2=12,所以c=23,2c=43.6.设f1,f2是椭圆e:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,p为直线x=3a2上一点,f2pf1是底角为30的等腰三角形,则e的离心率为()a.12b.23c.34d.45【解析】选c.设直线x=3a2与x轴交于点m,则pf2m=60,在rtpf2m中,pf2=f1f2=2c,f2m=3a2-c,故cos60=f2mpf2=32a-c2c=12,解得ca=34,故离心率e=34.7.(2014邯郸高二检测)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为()a.y=22xb.y=2xc.y=12xd.y=2x【解析】选a.由2b=2,2c=23,得b=1,c=3,所以a=c2-b2=2,因此双曲线的方程为x22-y2=1,所以渐近线方程为y=22x.8.(2014唐山高二检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为f1,f2,以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为 ()a.x29-y216=1b.x23-y24=1c.x216-y29=1d.x24-y23=1【解析】选a.以|f1f2|为直径的圆的方程为x2+y2=c2,点(3,4)在圆上,可得c2=25,又双曲线的渐近线方程为y=bax,又过点(3,4),所以有ba=43,结合a2+b2=c2=25,得a2=9,b2=16,所以双曲线的方程为x29-y216=1.9.(2013重庆高考)设双曲线c的中心为点o,若有且只有一对相交于点o、所成的角为60的直线a1b1和a2b2,使|a1b1|=|a2b2|,其中a1,b1和a2,b2分别是这对直线与双曲线c的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()a.233,2b.233,2c.233,+d.233,+【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线a1b1和a2b2的斜率之间的关系即可.【解析】选a.由题意知,直线a1b1和a2b2关于x轴对称,又所成的角为60,所以直线方程为y=33x或y=3x.又因为有且只有一对相交于点o、所成的角为60的直线a1b1和a2b2,使|a1b1|=|a2b2|,所以渐近线斜率满足33ba3,解得233b0,k0且k1,则椭圆c1:x2a2+y2b2=1和椭圆c2:x2a2+y2b2=k具有相同的()a.顶点b.焦点c.离心率d.长轴和短轴【解析】选c.椭圆c2:x2a2+y2b2=k,即x2ka2+y2kb2=1,离心率e22=ka2-kb2ka2=a2-b2a2=e12.11.(2013江西高考)已知点a(2,0),抛物线c:x2=4y的焦点为f,直线fa与抛物线c相交于点m,与其准线相交于点n,则|fm|mn|=()a.25b.12c.15d.13【解题指南】由抛物线的定义把|fm|转化为点m到准线的距离,再结合直线的斜率,借助直角三角形进行求解.【解析】选c.设直线fa的倾斜角为,因为f(0,1),a(2,0),所以直线fa的斜率为-12,即tan=-12,过点m作准线的垂线交准线于点q,由抛物线定义得|fm|=|mq|,在mqn中|mq|qn|=12,可得|mq|mn|=15,即|fm|mn|=15.12.(2014扬州高二检测)若椭圆c:mx2+ny2=1(m0,n0,mn)与直线l:x+y-1=0交于a,b两点,过原点与线段ab中点的直线的斜率为22,则mn=()a.2b.12c.2d.22【解析】选d.设a(x1,y1),b(x2,y2),ab的中点m(x0,y0),mx2+ny2=1,x+y-1=0(m+n)x2-2nx+n-1=0,x1+x2=2nm+n,x0=x1+x22=nm+n,y0=1-x0=mm+n.由kom=22,得y0x0=22,又y0x0=mn,所以mn=22.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2014山东高考)已知双曲线x2a2-y2b2=1a0,b0的焦距为2c,右顶点为a,抛物线x2=2pyp0的焦点为f,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且fa=c,则双曲线的渐近线方程为.【解题指南】本题考查了双曲线知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出a,b之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程.【解析】由题意知p2=c2-a2=b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为c,-p2,即c,-b,代入双曲线方程为c2a2-b2b2=1,得c2a2=2,所以ba=c2a2-1=1,所以渐近线方程为y=x.答案:y=x14.(2014兰州高二检测)已知点p(a,0),若抛物线y2=4x上任一点q都满足|pq|a|,则a的取值范围是.【解析】对于抛物线y2=4x上任一点q都满足|pq|a|,若a0,显然适合;若a0,点p(a,0)都满足|pq|a|,就是a2a-y242+y2,解得0b0)的两焦点关于直线y=x的对称点均在椭圆内部,则椭圆的离心率e的取值范围为.【解析】由已知得两焦点为(c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,c)均在椭圆内部,则c2b21,得c2a2-c21,e21-e21,解得0e0),rtaob内接于抛物线,o为坐标原点,aobo,ao所在的直线方程为y=2x,|ab|=513,求抛物线方程.【解题指南】根据aobo,直线ao的斜率为2,可知直线bo的斜率为-12,进而得出直线bo的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出a,b的坐标.根据两点间的距离为513求得p.【解析】因为aobo,直线ao的斜率为2,所以直线bo的斜率为-12,即方程为y=-12x,把直线y=2x代入抛物线方程解得a坐标为p2,p,把直线y=-12x代入抛物线方程解得b坐标为(8p,-4p).因为|ab|=513,所以p22+p2+64p2+16p2=2513,所以p2=4,因为p0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.18.(12分)(2014郑州高二检测)已知经过点a(-4,0)的动直线l与抛物线g:x2=2py(p0)相交于b,c,当直线l的斜率是12时,ac=14ab.(1)求抛物线g的方程.(2)设线段bc的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.【解析】(1)设b(x1,y1),c(x2,y2),由已知当kl=12时,l方程为y=12(x+4),即x=2y-4.由x2=2py,x=2y-4,得2y2-(8+p)y+8=0,所以y1y2=4,y1+y2=8+p2,又因为ac=14ab,所以y2=14y1或y1=4y2.由p0得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线方程为x2=4y.(2)设l:y=k(x+4),bc中点坐标为(x0,y0),由x2=4y,y=k(x+4)得x2-4kx-16k=0.所以x0=x1+x22=2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.所以bc的中垂线方程为y-2k2-4k=-1k(x-2k),所以bc的中垂线在y轴上的截距为b=2k2+4k+2=2(k+1)2,对于方程由=16k2+64k0得k0或k0)交于不同的两点a,b,试确定实数a的取值范围,使|ab|2p.【解析】由题意知,直线l的方程为y=x-a,将y=x-a代入y2=2px,得x2-2(a+p)x+a2=0.设直线l与抛物线的两个交点的坐标为a(x1,y1),b(x2,y2),则4(a+p)2-4a20,x1+x2=2(a+p),x1x2=a2.又y1=x1-a,y2=x2-a,所以|ab|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(x1+x2)2-4x1x2=8p(p+2a).因为00,所以08p(p+2a)2p.解得-p2b0)的左、右顶点分别为a,b,点p在椭圆上且异于a,b两点,o为坐标原点.(1)若直线ap与bp的斜率之积为-12,求椭圆的离心率.(2)若|ap|=|oa|,证明直线op的斜率k满足|k|3.【解析】(1)设点p的坐标为(x0,y0).由题意得,x02a2+y02b2=1.由a(-a,0),b(a,0),得kap=y0x0+a,kbp=y0x0-a.由kapkbp=- 12,可得x02=a2-2y02,代入并整理得(a2-2b2)y02=0.由于y00,故a2=2b2.于是e2=a2-b2a2=12,所以椭圆的离心率e=22.(2)依题意,直线op的斜率存在,设直线op的方程为y=kx,点p的坐标为(x0,y0).由条件得y0=kx0,x02a2+y02b2=1,消去y0并整理得x02=a2b2k2a2+b2.由|ap|=|oa|,a(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x02=a2.整理得(1+k2)x02+2ax0=0.而x00,于是x0=-2a1+k2,代入,整理得(1+k2)2=4k2ab2+4.由ab0,故(1+k2)24k2+4,即k2+14,因此k23.所以|k|3.【一题多解】依题意,直线op的方程为y=kx,可设点p的坐标为(x0,kx0),由点p在椭圆上,有x02a2+k2x02b2=1.因为ab0,kx00,所以x02a2+k2x02a21,即(1+k2)x02a2.由|ap|=|oa|,a(-a,0),得(x0+a)2+k2x02=a2,整理得(1+k2)x02+2ax0=0,于是x0=-2a1+k2.代入,得(1+k2)4a2(1+k2)23,所以|k|3.20.(12分)(2014西安高二检测)已知双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为233,过点a(0,-b)和b(a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求双曲线c的方程.(2)直线y=kx+m(km0)与该双曲线c交于不同的两点c,d,且c,d两点都在以点a为圆心的同一圆上,求m的取值范围.【解析】(1)依题意ca=233,aba2+b2=32,a2+b2=c2,解得a2=3,b2=1.所以双曲线c的方程为x23-y2=1.(2)y=kx+m,x23-y2=1,消去y得,(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0,由已知:1-3k20且=12(m2+1-3k2)0m2+13k2设c(x1,y1),d(x2,y2),cd的中点p(x0,y0),则x0=x1+x22=3km1-3k2,y0=kx0+m=m1-3k2,因为apcd,所以kap=m1-3k2+13km1-3k2-0=m+1-3k23km=-1k,整理得3k2=4m+1,联立得m2-4m0,所以m4,又3k2=4m+10,所以m-14,因此-14m4.【变式训练】已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=12,短轴长为23.(1)求椭圆c的方程.(2)从定点m(0,2)任作直线l与椭圆c交于两个不同的点a,b,记线段ab的中点为p,试求点p的轨迹方程.【解析】(1)由已知得e=ca=12,23=2b,a2=b2+c2a=2,b=3,则椭圆方程为x24+y23=1.(2)设p(x,y),a(x1,y1),b(x2,y2).若直线l与x轴垂直,则p(0,0).若直线l与x轴不垂直,设直线l的方程为y=kx+2(k0).由x24+y23=1,y=kx+2(3+4k2)x2+16kx+4=0则2x=x1+x2=-16k3+4k2,y=kx+2,将其消去k,得3x24+(y-1)2=1,由中=(16k)2-16(3+4k2)0,解得k214,则x=-8k3+4k2=-84k+3k-233,00,233,y=-8k23+4k2+2=63+4k20,32,综上,所求点p的轨迹方程为3x24+(y-1)2=1y0,32.21.(12分)已知点f1,f2分别是椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,a是椭圆c的上顶点,b是直线af2与椭圆c的另一个交点,f1af2=60.(1)求椭圆c的离心率.(2)已知af1b的面积为403,求a,b的值.【解析】(1)由题意知af1f2为正三角形,a=2c,e=ca=12.(2)直线ab的方程为y=-3(x-c),x2a2+y2b2=1,y=-3(x-c)(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.代入中得5x2-8cx=0,x=0或x=8c5,得a(0,3c),b8c5,-335c.|ab|=16c5.由af1b的面积为403,得12|ab|af1|sin60=403,1216c5a32=403,由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.解得c=5,a=10,b=53.22.(12分)(2014北京高二检测)已知a,b是椭圆x24+y23=1的左、右顶点,椭圆上异于a,b的两点c,d和