（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习专题七概率与统计7.3随机变量及其分布课件.pptx

7 3随机变量及其分布 2 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 条件概率与相互独立事件的概率 例1 2019全国 理18 11分制乒乓球比赛 每赢一球得1分 当某局打成10 10平后 每球交换发球权 先多得两分的一方获胜 该局比赛结束 甲 乙两位同学进行单打比赛 假设甲发球时甲得分的概率为0 5 乙发球时甲得分的概率为0 4 各球的结果相互独立 在某局双方10 10平后 甲先发球 两人又打了X个球该局比赛结束 1 求P X 2 2 求事件 X 4且甲获胜 的概率 分析推理甲 乙两人已经10 10 比赛结束需要一方比另一方多赢两个球 甲 乙两人每球都是相互独立的 1 X 2 即一人需要连赢两个球 故可依据甲连赢两球或连输两球两种情况 利用相互独立事件的概率公式求解即可 2 X 4 即甲 乙又比赛了4个球 甲获胜 则前两个球打成1 1 第3 第4个球甲赢 3 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 解 1 X 2就是10 10平后 两人又打了两个球该局比赛结束 则这两个球均由甲得分 或者均由乙得分 因此P X 2 0 5 0 4 1 0 5 1 0 4 0 5 2 X 4且甲获胜 就是10 10平后 两人又打了4个球该局比赛结束 且这4个球的得分情况为 前两球是甲 乙各得1分 后两球均为甲得分 因此所求概率为 0 5 1 0 4 1 0 5 0 4 0 5 0 4 0 1 4 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 规律方法1 条件概率的两种求解方法 2 基本事件法 借助古典概型概率公式 先求事件A包含的基本事件数n A 再求事件AB所包含的基本事件数n AB 得 2 判断相互独立事件的三种常用方法 1 利用定义 事件A B相互独立 P AB P A P B 3 具体背景下 有放回地摸球 每次摸球的结果是相互独立的 当产品数量很大时 不放回抽样也可近似地看作独立重复试验 5 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 即时巩固1 1 从1 2 3 4 5中任取两个不同的数 事件A为 取到的两个数之和为偶数 事件B为 取到的两个数均为偶数 则P B A 2 甲 乙两名实习生每人加工一个零件 加工的零件为一等品的概率分别为 加工的两个零件是否为一等品相互独立 则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 B 6 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 7 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 离散型随机变量及其分布列 例2 某超市计划按月订购一种酸奶 每天进货量相同 进货成本每瓶4元 售价每瓶6元 未售出的酸奶降价处理 以每瓶2元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验 每天需求量与当天最高气温 单位 有关 如果最高气温不低于25 那么需求量为500瓶 如果最高气温位于区间 20 25 那么需求量为300瓶 如果最高气温低于20 需求量为200瓶 为了确定六月份的订购计划 统计了前三年六月份各天的最高气温数据 得下面的频数分布表 8 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 1 求六月份这种酸奶一天的需求量X 单位 瓶 的分布列 2 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y 单位 元 当六月份这种酸奶一天的进货量n 单位 瓶 为多少时 Y的数学期望达到最大值 分析推理 1 先根据已知确定温度与销量之间的关系 再根据统计数据 用频率估计概率即得X的分布列 2 根据进货量n的取值范围建立n与Y的函数关系式 根据函数的单调性确定最值 9 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 解 1 由题意知 X所有可能取值为200 300 500 因此X的分布列为 10 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 2 由题意知 这种酸奶一天的需求量至多为500 至少为200 因此只需考虑200 n 500 当300 n 500时 若最高气温不低于25 则Y 6n 4n 2n 若最高气温位于区间 20 25 则Y 6 300 2 n 300 4n 1200 2n 若最高气温低于20 则Y 6 200 2 n 200 4n 800 2n 因此E Y 2n 0 4 1200 2n 0 4 800 2n 0 2 640 0 4n 当200 n 300时 若最高气温不低于20 则Y 6n 4n 2n 若最高气温低于20 则Y 6 200 2 n 200 4n 800 2n 因此E Y 2n 0 4 0 4 800 2n 0 2 160 1 2n 所以当n 300时 Y的数学期望达到最大值 最大值为520元 11 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 规律方法求离散型随机变量的分布列 首先要根据具体情况确定X的取值情况 然后利用排列 组合与概率知识求出X取各个值的概率 12 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 即时巩固2某校以 我们都是追梦人 为主题举行知识竞赛 现有10道题 其中6道甲类题 4道乙类题 王同学从中任取3道题解答 1 求王同学至少取到两道乙类题的概率 题 1道乙类题 用X表示王同学答对题的道数 求随机变量X的分布列和数学期望 13 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 解 1 设 王同学至少取到两道乙类题 为事件A X的分布列为 14 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 15 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 二项分布与正态分布 例3 为了调查某地党员在某手机软件的学习情况 调查人员随机抽取了200名该地党员进行调查 将他们某两天在该手机软件上所得的分数统计如下表所示 1 由频率分布表可以认为 这200名党员这两天在该手机软件上的得分Z近似服从正态分布N 2 其中 近似为这200名党员得分的平均数 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 2近似为这200名党员得分的方差 求P 57 4 Z 83 8 16 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 2 以频率估计概率 若从该地区所有党员中随机抽取4人 记抽得这两天在该手机软件上的得分不低于80分的人数为X 求X的分布列与数学期望 若X N 2 则P X 0 6827 P 2 X 2 0 9545 P 3 X 3 0 9973 分析推理 1 利用频率分布表求出 和 用其表示57 4与83 8 再根据正态曲线的对称性求得结果 2 计算出从该地区所有党员中随机抽取1人 抽得的得分不低于80分的概率 可知X服从于二项分布 利用二项分布概率公式求解出X每个可能的取值对应的概率 从而得到分布列 再利用数学期望计算公式求得期望 17 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 解 1 由题意得 65 0 3 75 0 5 85 0 1 95 0 1 75 2 65 75 2 0 3 75 75 2 0 5 85 75 2 0 1 95 75 2 0 1 30 10 40 80 18 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 2 从该地区所有党员中随机抽取1人 19 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 X的分布列为 规律方法利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程 但需要注意检验该概率模型是否满足公式P X k pk 1 p n k的三个条件 1 在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p 2 n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验 而且各次试验的结果是相互独立的 3 该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率 20 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 即时巩固3为了监控某种零件的一条生产线的生产过程 检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件 并测量其尺寸 单位 cm 根据长期生产经验 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N 2 1 假设生产状态正常 记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 3 3 之外的零件数 求P X 1 及X的数学期望 2 一天内抽检零件中 如果出现了尺寸在 3 3 之外的零件 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 试说明上述监控生产过程方法的合理性 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸 21 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 22 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 解 1 抽取的一个零件的尺寸在 3 3 之内的概率约为0 9973 从而零件的尺寸在 3 3 之外的概率约为0 0027 故X B 16 0 0027 因此P X 1 1 P X 0 1 0 997316 0 0423 X的数学期望为E X 16 0 0027 0 0432 2 如果生产状态正常 一个零件尺寸在 3 3 之外的概率只有0 0027 一天内抽取的16个零件中 出现尺寸在 3 3 之外的零件的概率只有0 0423 发生的概率很小 因此一旦发生这种情况 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 可见上述监控生产过程的方法是合理的 23 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 24 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 离散型随机变量的分布列 均值与方差 例4 2019四川绵阳三诊 甲 乙两家物流公司都需要进行货物中转 由于业务量扩大 现向社会招聘货车司机 其日工资方案如下 甲公司 底薪80元 司机毎中转一车货物另计4元 乙公司无底薪 中转40车货物以内 含40车 的部分司机每车计6元 超出40车的部分司机每车计7元 假设同一物流公司的司机一天中转车数相同 现从这两家公司各随机选取一名货车司机 并分别记录其50天的中转车数 得到如下频数表 甲公司中转车数频数表 25 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 乙公司中转车数频数表 1 现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数 求这3天中转车数都不小于40的概率 2 若将频率视为概率 回答下列两个问题 记乙公司货车司机日工资为X 单位 元 求X的分布列和数学期望E X 小王打算到甲 乙两家物流公司中的一家应聘 如果仅从日工资的角度考虑 请利用所学的统计学知识为小王作出选择 并说明理由 26 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 分析推理 1 根据古典概型概率公式以及组合数求结果 2 先确定随机变量 再分别求对应概率 最后根据数学期望公式得期望 先求甲公司日工资的数学期望 再与 中的期望比较大小即得结果 27 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 解 1 设 这三天中转车数都不小于40 事件为A 28 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 小王应选乙公司 理由如下 设甲公司货车司机日工资为Y元 日中转车数为 则Y 4 80 则Y的所有可能取值为232 236 240 244 248 则分布列为 由E X E Y 知若从日工资的角度考虑 小王应该选择乙公司 29 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 规律方法求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有 1 已知随机变量的分布列求它的均值 方差和标准差 可直接按定义 公式 求解 2 已知随机变量X的均值 方差 求X的线性函数Y aX b的均值 方差 可直接用均值 方差的性质求解 即E aX b aE X b D aX b a2D X a b为常数 3 如能分析所给随机变量服从常用的分布 可直接利用它们的均值 方差公式求解 即若X服从两点分布 则E X p D X p 1 p 若X B n p 则E X np D X np 1 p 30 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 即时巩固4为了研究一种新药的疗效 选100名患者随机分成两组 每组各50名 一组服药 另一组不服药 一段时间后 记录了两组患者的生理指标x和y的数据 并制成下图 其中 表示服药者 表示未服药者 1 从服药的50名患者中随机选出一人 求此人指标y的值小于60的概率 2 从图中A B C D四人中随机选出两人 记 为选出的两人中指标x的值大于1 7的人数 求 的分布列和数学期望E 31 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 3 试判断这100名患者中服药者指标y的方差与未服药者指标y的方差的大小 只需写出结论 解 1 由题图知 在服药的50名患者中 指标y的值小于60的有15人 所以从服药的50名患者中随机选出一人 此人指标y的值小于60的概率为 0 3 2 由题图知 A B C D四人中 指标x的值大于1 7的有两人 为A和C 所以 的所有可能取值为0 1 2 32 突破点一 突破点二 突破点三 突破点四 所以 的分布列为 3 在这100名患者中 服药者指标y的方差大于未服药者指标y的方差 33 核心归纳 预测演练 34 核心归纳 预测演练 1 2019湖南衡阳三模 已知某批电子产品的尺寸服从正态分布N 1 4 从中随机取一件 其尺寸落在区间 3 5 上的概率约为 若随机变量X服从正态分布N 2 则P X 0 6827 P 2 X 2 0 9545 A 0 3174B 0 2718C 0 1359D 0 0456 C 解析 由已知得 1 2 故选C 35 核心归纳 预测演练 2 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡 这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着 现需要一只卡口灯泡 电工师傅每次从中任取一只并不放回 则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下 第2次取到的是卡口灯泡的概率为 D 解析 方法一 设事件A为 第1次取到的是螺口灯泡 事件B为 第 36 核心归纳 预测演练 3 2019全国 理15 甲 乙两队进行篮球决赛 采取七场四胜制 当一队赢得四场胜利时 该队获胜 决赛结束 根据前期比赛成绩 甲队的主客场安排依次为 主主客客主客主 设甲队主场取胜的概率为0 6 客场取胜的概率为0 5 且各场比赛结果相互独立 则甲队以4 1获胜的概率是 0 18 解析 前五场中有一场客场输时 甲队以4 1获胜的概率是0 63 0 5 0 5 2 0 108