18.1 第1课时 勾股定理.doc

第1课时勾股定理1经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题(重点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的证明 作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形求证：a2b2c2.解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是ab，因此它们的面积相等我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理证明：由图易知，这两个正方形的边长都是ab，它们的面积相等左边的正方形面积可表示为a2b2ab4，右边的正方形面积可表示为c2ab4.a2b2ab4c2ab4，a2b2c2.方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第11题探究点二：勾股定理【类型一】 直接利用勾股定理求长度 如图，已知在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB交AB于点D，求CD的长解析：先运用勾股定理求出AC的长，再根据SABCABCDACBC，求出CD的长解：在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，由勾股定理得AC2AB2BC2523242，AC4cm.又SABCABCDACBC，CD(cm)，故CD的长是cm.方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】 利用勾股定理求面积 如图，以RtABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB3，则图中ABE的面积为_，阴影部分的面积为_解析：因为AEBE，E90，所以SABEAEBEAE2.又因为AE2BE2AB2，所以2AE2AB2，所以SABEAB232；同理可得SAHCSBCFAC2BC2.又因为AC2BC2AB2，所以阴影部分的面积为AB2AB2AB232.故分别填，.方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】 勾股定理与数轴 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.1B1C.1D.解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标图中的直角三角形的两直角边为1和2，斜边长为，1到A的距离是.那么点A所表示的数为1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型四】 利用勾股定理证明等式 如图，已知AD是ABC的中线求证：AB2AC22(AD2CD2)解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AEBC交BC于点E.在ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明证明：如图，过点A作AEBC交BC于点E.在RtABE、RtACE和RtADE中，AB2AE2BE2，AC2AE2CE2，AE2AD2ED2，AB2AC2(AE2BE2)(AE2CE2)2(AD2ED2)(DBDE)2(DCDE)22AD22ED2DB22DBDEDE2DC22DCDEDE22AD2DB2DC22DE(DCDB)又AD是ABC的中线，BDCD，AB2AC22AD22DC22(AD2CD2)方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题【类型五】 运用勾股定理解决折叠中的有关计算 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A，且BC3，则AM的长是()A1.5B2C2.25D2.5解析：连接BM，MB.设AMx，在RtABM中，AB2AM2BM2.在RtMDB中，BM2MD2DB2.MBMB，AB2AM2BM2BM2MD2DB2，即92x2(9x)2(93)2，解得x2，即AM2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第10题【类型六】 分类讨论思想在勾股定理中的应用 在ABC中，AB20，AC15，AD为BC边上的高，且AD12，求ABC的周长解析：应考虑高AD在ABC内和ABC外的两种情形解：当高AD在ABC内部时，如图.在RtABD中，由勾股定理，得BD2AB2AD2202122162，BD16.在RtACD中，由勾股定理，得CD2AC2AD215212281，CD9.BCBDCD25，ABC的周长为25201560；当高AD在ABC外部时，如图.同理可得BD16，CD9.BCBDCD7，ABC的周长为7201542.综上所述，ABC的周长为42或60.方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉原三角形为钝角三角形的情况如在本例题中，易只考虑高AD在ABC内的情形，忽视高AD在ABC外的情形变式训练：见学练优本课时练习“