需求总效应的定量化分析.doc

内江师范学院本科毕业论文本 科 毕 业 论 文题 目 需求总效应的定量化分析 院 部 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 评阅教师 班 级 2009 级 3 班 姓 名 学 号 2013年5月14日2目 录摘 要IAbstractI1 引言12 需求总效应121需求总效应的概述122 替代效应的含义223 收入效应的含义43 需求总效应的定量化分析531 需求总效应的表达公式532 正常商品、一般劣等品、吉芬商品的需求总效应5321 正常商品的需求总效应5322 一般劣等品的需求总效应6323 吉芬商品的需求总效应733从变化比率角度表示需求总效应834需求总效应的微积分推导104 应用举例11结束语12参考文献12致谢1311摘 要：在阅读、整理大量关于替代效应，收入效应以及它们所组成的需求总效应资料的基础上，采用理论性文字阐述，经济学公式，数学化推导，实例分析及图形结合方式，详细论证替代效应与收入效应和它们组成的需求总效应分别对正常商品、一般劣等品、吉芬商品的需求总效应进行定量化论证，并与图形充分结合把需求效应的表达公式斯勒茨基公式从变化率角度推导，并运用数学微积分的求偏导方法进行推导表示，实现总需求效应的数学化最后应用举例，运用实际案例，使人们更深刻的从多个角度理解需求总效应关键词：需求总效应；斯勒茨基公式；定量化；推导Abstract： In reading， finishing a lot about the substitution effect， income effect and they are part of the total effect material demand， on the basis of the theoretical character elaborates， economics， mathematical formula derivation， case analysis and graphics combining ways， a detailed argument substitution effect and the income effect and their demand of total effect respectively To normal goods， general shoddy goods， giffen goods demand total effect， and quantitative reasoning and graphics to fully combine the requirements The effect of expression formula， le， base formula is derived from the rate of change Angle， and innovative use of mathematical calculus for partial derivative method， to realize the total demand is the effect of mathematization The last instance， the use of actual case， make people more profound understanding of demand from various angles total effect Key words ：demand total effect;Si le base formula;quantification;deduce111 引言一种商品的价格发生变化会导致消费者的需求发生相对变化我们通常认为，当某种商品价格下降时，如果其他条件不变，消费者对此商品的需求量会上升其实这不一定是必然的，有时价格下降并不会引起消费增加，甚至还会下降，这就需要分析价格变化引起的需求总效应需求总效应在经济学中经常使用，需要进一步分析研究价格引起的需求总效应由替代效应和收入效应组成，最早由英国经济学家希克斯提出，又称希克斯分解由于各种商品需求弹性和收入弹性不同，作为正常品和劣等品的替代效应和收入效应也不同需求总效应有一个表达式叫斯勒茨基恒等式，这个式子说明了需求总效应等于替代效应加上收入效应但在很多资料与文献中，更多的是对替代效应和收入效应的分别阐述，对需求总效益的阐述相对较少，而且对需求总效益的分析多采用经济学理论文字阐述，缺乏定量化分析应用理论结合图形，将经济学公式，数学化推导与实例分析相统一的方法对分析研究具有重要意义在阅读、归纳整理大量关于替代效应，收入效应以及它们所组成需求总效应的理论和应用文献的基础上，从替代效应和收入效应出发从不同角度分析需求总效应的原理和经济公式同时，从变化率角度表示需求总效应并创新性的对需求总效应进行微积分推导，实现需求总效应的定量化，使人们更加深刻的认识和理解需求总效益 2 需求总效应21需求总效应的概述某种商品价格改变时，将产生两种效应：一是用一种商品交换另外一种商品的比率发生改变；二是收入的总购买力发生改变例如，假设商品1变得更加便宜，这表明为购买商品1的消费者对商品2的需求数量变少了商品1价格变化，改变了消费者用商品2“替代”商品1的比率消费者对于这两种商品的权衡（trade-off）发生改变与此同时，如果商品1变得更便宜，这意味着消费者的货币收入可以购买更多的商品1消费者货币的购买力已上升；尽管消费者拥有的钱数是相同的，但它们能够买到的商品数量增加了第一部分效应，即需求变化是由两种商品之间的交换比率变化所导致，称为替代效应（substitution effect）；第二部分效应，即需求变化是由购买力变化所导致，称为收入效应（income effect）1替代效应和收入效应是由消费者消费的一种商品的价格变化引起的消费者消费的一种商品的价格下降，会导致这种商品相对便宜，这将引导消费者更多地购买这种商品而减少购买别的商品；同时，这一变化也相当于消费者的收入相对增加，从而使消费者增加对所消费的商品的购买前者即为替代效应，后者即为收入效应替代效应和收入效应结合起来就构成了需求总效应某种商品价格变化的总效应是指一种商品价格变动所引起的该商品需求量的变动即，总效应替代效应收入效应2，用符号表示为22 替代效应的含义由于商品的相对价格发生变化，消费者增加跌价商品的购买量以替代其价格相对上涨的商品的现象，称为替代效应3它是指在消费者实际收入不变的条件下，某种商品价格的变动引起其他商品相对价格呈相反方向变动，从而使得消费者增加对比较便宜的商品的购买，相对减少对比较昂贵的商品的购买，价格相对高的商品被价格相对低的商品替代当一种商品价格下降时，其他商品价格相对更贵了，消费者会减少购买其他商品而增加购买这种商品；当一种商品的价格上升时，其他商品价格相对便宜了，消费者会减少对这种商品的购买而增加对其他商品的购买替代效应重点说明一种商品价格变动对其他商品价格水平的相对影响例如，在牛肉价格上升以后，其他商品变得相对便宜了，而牛肉相对变得较为昂贵了消费者将用其他商品的购买来替代对牛肉的购买；又比如梨的价格每公斤由5元降至2元，苹果价格不变，这样，苹果价格就相对变得昂贵了如果消费者原来每月购买10公斤梨，花费50元，现在只用花费20元就够了，那么，消费者就相当于实际收入增加收入30元现在首先将这30元从消费者的支出中剔除出来当消费者的支出中被剔除这30元后，消费者还会继续保持原来的购买比例吗？消费者还会不会增加对于梨而减少对苹果的购买？通常情况肯定会这样在价格下降引起的收入增加的部分被剔除后，消费者还继续增加对于梨购买的部分就是替代效应实际收入不变是指消费者在维持原来的效用水平上，但又要用新的价格比率来度量的这一不变的效用水平，因此，降价后要使消费者效用水平不变，则须作预算补偿线现就替代效应进行定量化分析若消费者的商品消费组合为，价格为，收入水平为，现在假设商品2的价格不变，商品1的价格变为，消费者收入变为，为使消费者的商品消费组合不变，则有，第一式减去第二式得：这个式子是说，为在新价格下还能恰好买得起原消费组合，货币收入改变量应恰好等于商品1的原来消费数量乘以价格的改变量在上式中令，可得，注意，收入改变和价格改变的运动方向是相同的：如果价格上升，我们就必须增加收入以便还能买得起原来的消费组合让我们用一些实际的数值假设消费者原来每月消费10个鸡蛋，每个鸡蛋的价格为 06元如果每个鸡蛋的价格上升为08元，则那么收入变化多少才能买得起原来的消费组合？我们可以使用前面的公式如果消费者的收入增加了2元钱，他刚好还能够消费得起原来数量的鸡蛋，即10个用公式来表达：在只考虑两种商品的情形下，需求函数的一般表达式为：当假定商品2的价格不变，商品1价格变为，消费者收入变为时，商品1有需求函数：它表明，当商品价格变化但购买力不变时，消费者如何用一种商品“替代”另外一种商品更准确地说，替代效应是指当商品1的价格变为，同时收入变为时，商品 1需求的变动量： 为了计算替代效应，我们必须使用消费者的需求函数，计算在和水平下，相应的最优选择在给定了需求函数的情形下，只要将相应数值代入即可计算出替代效应（当然，商品1的需求可能还受商品2价格的影响，但由于此处假设商品2的价格不变，因此在需求函数中我们省略了商品2的价格）现用一个实例计算一下商品的替代效应假设某消费者对大米的需求函数为： 4起初他的收入为每周120元，大米每斤3元于是每周他对大米的需求为斤现在假设大米的价格降低为2元每斤，在该新价格下他每周的需求为斤需求的总变动为+2斤每周为了计算替代效应，我们必须首先计算，当大米的价格为2元每斤时，为了让他还能恰好买得起原来大米的消费量，他的收入应该变动多少使用公式，因此能让购买力不变的收入水平为元在该收入水平下并且大米的新价格为2元时，消费者对大米的需求量为多少？将相应数值代入需求函数，可得，因此替代效应为23 收入效应的含义收入效应是指在货币收入不变的条件下，某种商品价格的变动引起消费者实际收入呈相反方向变动，从而也引起商品购买量发生相反方向的变动当一种商品价格下降时，相当于消费者的实际收入增加，消费者对商品的购买量也会随之增加；当一种商品价格上升时，相当于消费者实际收入减少，消费者对商品的购买量随之减少收入效应强调价格变动对消费者实际收入水平的影响5假如某个家庭在当前收入下，可以购买商品1、商品2的数量为，在这两种商品的价格未发生改变之前，以全部收入购买的这两种商品的数量组合使它获得最大的效用现在假定商品1的价格下降，在购买原来数量的商品2之后，家庭的收入将会有所剩余商品1价格的下降相当于增加了这个家庭的实际收入这样剩余的收入可以用来购买更多的商品1，当然也可以用来购买的更多的商品2，从而消费者的效用水平也会因此而提高现就收入效应进行定量化分析若消费者的商品消费组合为，价格为，收入水平为，现在假设商品2的价格不变，商品1的价格变为，消费者收入变为，降价后价格保持不变根据需求函数的一般形式，当假定商品1，2的价格不变，消费者收入变为时，商品1的需求函数为，它表明，当商品价格和货币购买力不变时，消费者收入变化如何影响商品需求量的，更准确地说，收入效应，是指当收入从改变为，但维持商品1的价格不变时，消费者对商品1的需求量的变动：我们已知道收入效应的方向有两个：它可能增加商品 1的消费，也可能减少商品 1 的消费，这取决于商品1是正常品还是劣等品如果一种商品价格下降，我们需要减少消费者的收入以便维持购买力不变如果该商品为正常品，那么收入的下降会导致需求的下降如果该商品是劣等品，收入的下降会导致需求增加由此我们可知收入效应可正可负现在计算前面例子的收入效应，在替换效应的例子中，我们已知，因此，该问题的收入效应为因为大米对于消费者来说是正常商品，收入增加时大米的需求也增加了3 需求总效应的定量化分析31 需求总效应的表达公式我们已经知道需求的总变动，是指由于价格变动但收入不变引起的需求变动：在前文已经分析出总需求的变动分解为两个部分：替代效应和收入效应，总需求效应等于替代效应加上收入效应符号表示为：，这个式子是说需求的总变动等于替代效应加上收入效应这个式子叫做斯勒茨基恒等式（Slutsky identity）6注意，这是个恒等式对的所有取值都成立，即同时满足于正常品、一般劣等品和吉芬商品恒等式右端第一项和第四项抵消，因此右端恒等于左端斯勒茨基恒等式的内涵是，它不只是代数恒等式，虽然等式右端在数学上是极平凡的该恒等式的本质意义在于它对等式右端两项的解释能力：替代效应和收入效应特别地，我们还可以运用收入效应和替代效应的符号来确定总效应的符号32 正常商品、一般劣等品、吉芬商品的需求总效应某种商品价格变化的总效应是指一种商品价格变动所引起的该商品需求量的变动在坐标图上的表示应是当消费者从一个均衡点移到另一个均衡点时需求量的总变动 321 正常商品的需求总效应正常商品的需求总效应如图1：总效应OAGBacbFBU2U1 替代效应收入效应X1图1、正常商品的替代效应、收入效应和总效应如图1，横轴和纵轴分别表示商品1商品2的数量，其中商品1为正常品商品1的价格下降前的消费者的效用最大化的均衡点为，下降后消费者的均衡点为价格下降所引起的商品1的需求量增加为，这便是价格下降引起的需求总效应这个效应有替代效应和收入效应组合而得替代效应：作一条平行于预算线且与无差异曲线相切的补偿预算线与相切，表示假设的货币收入的减少（预算线的位置由向左平移到表示）刚好能使消费者回到原来的效用水平与平行，则以这两条预算线相同的斜率，表示商品1和商品2价格的一个相同比值，并且此商品的相对价格是商品1的价格变化后的相对价格补偿预算线与相切与均衡点，与原来均衡点相比需求的增加量为，这个增加量就是在剔除实际收入变化后的替代效应收入效应：把预算线再移回到的位置，于是消费者的效用最大化的均衡点就会由无差异曲线上的上的点回到无差异曲线上的点，相应的需求量的变化量就是收入效应尽管替代效应所导致的商品的消费量的变换与价格呈反方向的变动，即价格下降时，替代效应总为正，但收入效应可正可负然而，对于正常品来说，替代效应和收入效应的运行方向相同，如果价格下降，替代效应使需求增加，价格上升相当于收入上升，收入效应所导致的商品的消费量的变化也与价格呈反方向的变动，两种效应相互加强，在它们的共同作用下，总效应所导致的商品的消费量的变化必定与价格呈反方向的变动故正常商品的价格下降会导致需求的增加，价格上涨会导致需求的减少用我们前面的符号可表示如下：，（式子中每一项下面的正号表示该项的符号为正）注意收入效应的符号因为我们此处考虑的情形是价格下降，这意味着购买力上升对于正常品来说，这将导致需求上升前面例子中大米为正常品，其总效应为正，即为322 一般劣等品的需求总效应对于劣等品来说，收入效应可能超过或小于替代效应，因此价格下降引起的需求总变动可能为正为负这个情形用符号表示：，（式子下面的问号表示该项的正负号无法确定，负号表示该项为负）如图2，横轴和纵轴分别表示商品1商品2的数量其中商品1为一般劣等品商品1的价格下降前的消费者的效用最大化的均衡点位，下降后消费者的均衡点为价格下降所引起的商品1的需求量增加为，即需求总效应作一条平行于预算线且与无差异曲线相切的补偿预算线将总效应分解为替代效应和收入效应下降引起商品相对价格的改变，消费者均衡点有点移到点，相应增加量是替代效应，是一个正值而下降所引起的消费者的实际收入变动是消费者均衡点有移到，需求量由变为，这就是收入效应，为一个负值对一般劣等品替代效应使需求与价格呈反方向变动，收入效应的作用使需求量与价格呈同方向变动但是，对一般劣等品而言，替代效应的作用大于收入效应的作用，因此，总效应的结果仍使需求量与价格呈反方向变动，这时用符号表示为一般劣等商品的需求总效应如图2：图2、一般劣等品的替代效应、收入效应和总效应OAGBacbFBU1U2总效应替代效应收入效应X1323 吉芬商品的需求总效应如图3，横轴和纵轴分别表示商品1商品2的数量其中商品1为吉芬品商品1的价格下降前的消费者的效用最大化的均衡点位，下降后消费者的均衡点为价格下降所引起的商品1的需求量减少为，即需求总效应作一条平行于预算线且与无差异曲线相切的补偿预算线将总效应分解为替代效应和收入效应为替代效应，为收入效应，它是一个负值而且负的收入效应的绝对值大于正的替代效应的绝对值，所以最后形成的总效应为负值即当收入效应很大，即收入效应的作用大于替代效应的作用，则总效用的作用是需求量与价格呈同方向变动这表示价格下降导致需求下降吉芬商品就是这样的：价格下降大幅增加了消费者的购买力，他不得不减少对这种商品的消费用符号表示：吉芬商品的需求总效应如图3：图、吉芬商品的替代效应、收入效应和总效应X2OAGacbFBU1U2总效应收入效应X1替代效应由此吉芬商品是需求与价格呈反常变化的一类商品，它由英国统计学家罗伯特吉芬发现而得名7这种商品的价格与需求变动违反了需求规律，即价格越低购买得越少，价格提高购买得越多，需求量与价格呈正比从理论上讲，收入效应可以大于替代效应，但在实际生活中这种情况很少发生这种反常的效应只可能发生在劣等品的身上：如果商品为正常品，那么收入效应和替代效应就会互相加强，因此需求的总变动总是呈现“正常的”方向 因此，吉芬商品必为劣等品，但劣等品未必是吉芬商品因为对于吉芬商品来说，收入效应不仅有“错误的”方向符号，而且数值还要足够大，以便超过替代效应“正确的”方向符号这就是为什么吉芬商品在现实生活中很难看到的原因：它们不仅必为劣等品，而且必须是非常的劣等综合上述对正常商品、一般劣等品、吉芬商品的总效应分析可得出商品价格与不同商品类别的替代效应、收入效应、总效应的关系，如表所示：表：商品价格变化所引起的替代效应与收入效应8商品类别替代效应与价格的关系收入效应与价格的关系总效应与价格的关系正常商品反方向变化反方向变化反方向变化一般劣等品反方向变化同方向变化反方向变化吉芬商品反方向变化同方向变化同方向变化33从变化比率角度表示需求总效应由前文分析得到：需求效应的变化率是收入效应变化率与替代效应变化率之和，斯勒茨基恒等式是一个绝对表述形式，但实际上更一般的是用变化率来表示当用变化率表述斯勒茨基等式时，比较方便的方法是将定义为收入效用的相反数，则，使用这个定义，斯勒茨基等式变为，等式两端同除，可得：，收入变化和价格变化之间存在关系式：，由上式解出：，代入82得到最终表达式，这是以变化率表示的需求总效应函数，我们可以将每一项解释如下：右端第一项，是价格变化并且相应调整收入以使得恰好能买得起原来的消费组合时，需求的变化率，这就是替代效应右端第二项，是维持价格（注意这里的价格是新价格），但调整收入后的需求变化率，这就是收入效应收入效应本身是两部分的乘积：收入变动引起的需求变动乘以原来的需求水平价格变动时，由收入效应引起的需求变动为上式右端最后一项是，恰好能买得起原消费组合，收入的调整数额即，因此，由收入效应引起的需求变动可以简化为，由此可得，34需求总效应的微积分推导现在我们用微积分推导斯勒茨基方程考虑斯勒茨基替代效应，在该效应中，我们调整消费者的收入使其恰好能买得起原消费组合若价格为 ，则收入进行上述调整后消费者的实际选择取决于和将这种关系称为商品1的斯勒茨基需求函数，记为假设原需求组合是在价格和收入下的消费组合斯勒茨基需求函数告诉我们消费者面对不同的价格和收入时，他的需求变为多少因此，在条件下的斯勒茨基需求函数就是价格为且收入为时的普通需求函数即：这个式子是说价格为时，消费者对商品1的斯勒茨基需求数量，恒等于将其收入调整使其恰好能买得起原消费组合时，他对商品1的（普通）需求数量这正是斯勒茨基需求函数的定义将上述恒等式对求导，可得，因为，所以，整理可得注意在求导时我们使用了链式法则右边第一项即为替代效应，而由于我们定义为收入效应相反数，即故等式右端第二项正好为收入效应相反数这使得到导数形式的斯勒茨基方程它表明价格变动的总效应由替代效应（调整收入使恰好能买得起）和收入效应构成我们知道替代效应恒与价格变化成反比，即价格上升，恒为负，价格下降时，恒为正但收入效应的符号取决于商品是正常商品还是劣等商品 4 应用举例商品A的需求函数为收入，商品A的价格如果目前商品A的价格上升为求：商品A的价格变化的总效应、替代效应、收入效应分别是多少?，可得：，时，替代效应：，收入效应： ，需求总效应： ，在此题中，替代效应、收入效应、需求效应均与价格呈反方向变化，由前文推导可知，此商品为正