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条件期望 矩母函数 1 主要内容 一 条件期望二 混合分布三 矩母函数四 特征函数 2 一 条件期望 给定变量Y时 在X上的概率分布对Y的每个可能取值 对X都定义有一个概率分布也能求期望 称为条件期望 3 数字 y的函数 在知道y的值之前 不知道 随机变量 当Y y时 的值 随机变量 4 假定对采样 在给定x后 在对采样直观地 期望事实上 对 有得到期望因而注意 是随机变量 当时 其值为思考题 当X与Y独立时 的值 5 定理 对随机变量X和Y 假设其期望存在 则更一般地 对任意函数证明 利用条件期望的定义和 与Y有关的随机变量 6 怎样计算 一种方法是计算联合密度 然后计算另一种更简单的方法是分两步计算计算计算 7 条件方差 定义 条件方差定义为其中定理 对随机变量X和Y 8 9 在给定X的情况下 条件分布为 Y为随机变量 因此上式中 为常数 因此 所以 10 二 混合分布 在一个分布族中 分布族由一个 一些参数决定 如 这些参数通常又是一个随机变量 贝叶斯学派的观点 参数也是随机变量 则最终的分布称为混合分布 mixturedistribution 渐增式地定义一个复杂的模型 通过条件分布与边缘分布希望知道 至少是其期望和均值 条件期望和方差 11 混合分布举例 例 假设昆虫会产很多数量的蛋 蛋的数量为一个随机变量 用表示 另外假设每个蛋的是否存活是独立的 存活的概率为p 为Bernoulli分布 用X表示存活的数量 则 12 期望 亦可通过条件期望计算 方差 亦可通过条件期望计算 13 矩母函数的得名起因于下述公式 E Xk M k 0 对于非负随机变量X来说 习惯上做一变换s t LX s MX t 通常称上式为X的laplace变换 三 矩母函数 MomentGeneratingFunctions 14 拉式变换与概率分布函数 定理 一函数L s s 0 是某一分布函数的Laplace变换的充要条件为L 0 1 无穷次可导 且满足 1 nL n s 0 s 0 n 0 15 矩母函数 MomentGeneratingFunctions 矩母函数 用于计算矩 随机变量和的分布和定理证明定义 X的矩母函数 MGF 或Laplace变换定义为其中t在实数上变化 若MGF是有定义的 可以证明可以交换微分操作和求期望操作 所以有 取k阶导数 可以得到 方便计算分布的矩 16 矩母函数 MomentGeneratingFunctions 定义 X是离散型r vX是连续型r v 矩母函数与分布间的一一对应 唯一性定理 如果 MX MY 在 的某个区间上成立 则随机变量X与Y同分布 17 18 X的矩母函数可以变形为 于是 矩母函数与随机变量X的各阶矩 19 另一方面 于是 20 性质1 例 从而 21 再考虑 于是 22 而 从而 特别 性质2 设X Y是相互独立的随机变量 则 23 证明 系 设X1 Xn是独立随机变量 则 例 设Z1 Z2是相互独立的标准正态分布随机变量 则 24 证明 设z是标准正分布的随机变量 当 1 2时 作变换 于是 25 另一方面 的密度函数为 其矩母函数为 26 令 对任意 有当时 上述积分是发散的 所以 27 矩母函数的性质 引理 MGF的性质若 则若独立 且 则例 28 矩母函数的性质 定理 令X Y为随机变量 如果对在0附件的一个开区间内所有的t 有 则 例 令且独立 则为分布的MGF 即 29 多元矩母函数 定义 性质1 性质2 30 是虚数单位 四 特征函数 定义设X是一随机变量 称 t E exp itX 为X的特征函数 31 1 当X为离散随机变量时 2 当X为连续随机变量时 32 1 欧拉公式 2 复数的共轭 3 复数