高中数学 精讲优练课型 第一章 集合与函数的概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第2课时 函数的最大值、最小值课件 新人教版必修1.ppt

第2课时函数的最大值 最小值 知识提炼 函数最大值与最小值 f x0 m 纵坐标 纵坐标 即时小测 1 思考下列问题 1 任何函数都有最大值或最小值吗 提示 不一定 如函数y x x r时就无最大值和最小值 2 若函数f x x2 1恒成立 则此函数的最小值就是 1吗 提示 不对 虽然x2 1恒成立 但在函数定义域内找不到一个x0的值使f x0 1 根据最小值定义可知此结论不成立 2 函数f x 在 2 2 上的图象如图所示 则此函数的最小值 最大值分别是 a 1 0b 0 2c 1 2d 2 解析 选c 由图象知点 1 2 是最高点 故f x 的最大值为2 点 2 1 是最低点 故f x 的最小值为 1 3 设函数f x 2x 1 x 0 则f x a 有最大值b 有最小值c 既有最大值又有最小值d 既无最大值又无最小值 解析 选d 画出函数f x 2x 1 x 0 的图象 如图中实线部分所示 由图象可知 函数f x 2x 1 x 0 是增函数 无最大值及最小值 故选d 4 函数y 2x2 2 x n 的最小值是 解析 因为x n 所以x2 1 所以y 2x2 2 4 即y 2x2 2在x n 上的最小值为4 此时x 1 答案 4 5 函数f x x 的最小值是 解析 因为f x x 所以f x 的最小值是0 答案 0 知识探究 知识点函数的最大值 最小值观察图形 回答下列问题 问题1 如图是某市房管局公布的某时期该市房价走势图 从图中可以得出该时期房价的最大值与最小值吗 问题2 函数的最值与函数的值域有什么关系 总结提升 1 对函数最值的三点说明 1 最大 小 值必须是一个函数值 是值域中的一个元素 如函数y x2 x r 的最小值是0 有f 0 0 2 最大 小 值定义中的 任意 是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式 即对于定义域内的全部元素 都有f x m f x m 成立 也就是说 函数y f x 的图象不能位于直线y m的上 下 方 3 最大 小 值定义中的 存在 是说定义域中至少有一个实数满足等号成立 也就是说y f x 的图象与直线y m至少有一个交点 2 函数最值与函数值域的关系函数的值域是一个集合 最值若存在则属于这个集合 即最值首先是一个函数值 它是值域的一个元素 函数值域一定存在 而函数并不一定有最大 小 值 3 利用单调性求最值的常用结论 1 如果函数f x 在区间 a b 上是增 减 函数 则f x 在区间 a b 的左 右端点处分别取得最小 大 值和最大 小 值 2 如果函数f x 在区间 a b 上是增函数 在区间 b c 上是减函数 则函数f x 在区间 a c 上有最大值f b 3 如果函数f x 在区间 a b 上是减函数 在区间 b c 上是增函数 则函数f x 在区间 a c 上有最小值f b 题型探究 类型一图象法求函数的最值 典例 1 2015 郑州高一检测 如图为函数y f x x 4 7 的图象 则它的最大值 最小值分别是 2 已知函数f x 求f x 的最大值 最小值 解题探究 1 典例1中图象的最高点坐标是什么 提示 典例1中图象的最高点坐标是 3 3 2 典例2中如何求分段函数的最值 提示 求分段函数的最值 可画出其图象 通过观察图象来求最值 解析 1 由图象知当x 3时 f x 取最大值3 当x 1 5时 f x 取最小值 2 答案 3 22 作出函数f x 的图象 如图 由图象可知 当x 1时 f x 取最大值为f 1 1 当x 0时f x 取最小值f 0 0 故f x 的最大值为1 最小值为0 方法技巧 利用图象法求函数最值的依据及步骤 1 依据 以函数最值的几何意义为依据 常用于图象易作出的函数求最值 2 步骤 作 作出函数图象 找 在图象上找到最高点和最低点的纵坐标 定 确定函数的最大 小 值 变式训练 画出函数f x 的图象 并写出函数的单调区间及函数的最小值 解析 f x 的图象如图所示 f x 的单调递增区间是 0 和 0 函数的最小值为f 0 1 类型二二次函数最值问题 典例 已知函数f x x2 4x 4 若函数定义域为 3 4 求函数的最值 解题探究 典例中函数的对称轴是什么 开口方向如何 提示 对称轴为x 2 开口向上 解析 f x x 2 2 8开口向上 对称轴为x 2 所以当x 3 4 时 f x 为增函数 最小值为f 3 7 最大值为f 4 4 延伸探究 1 变换条件 典例中将定义域 3 4 改为 3 4 其他条件不变 求f x 的最值 解析 f x x 2 2 8在 3 2 上是减函数 在 2 4 上是增函数 所以最小值为f 2 8 又因为f 3 17 f 4 4 所以最大值为17 2 改变问法 典例中函数不变 将问题变为 若函数f x x2 4x 4在 1 上单调 求f x 的最值 解析 因为f x 为开口向上的抛物线 对称轴为x 2 所以f x 在 1 上单调递减 所以f x min f 1 12 4 1 4 7 f x 无最大值 综上 f x 的最小值为 7 3 变换条件 改变问法 将本例变为 已知函数f x 若对任意的x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 解析 方法一 f x 0对x 1 恒成立 等价于x2 2x a 0对x 1 恒成立 设y x2 2x a x 1 则y x 1 2 a 1在 1 上是增函数 从而ymin 3 a 于是当且仅当ymin 3 a 0 即a 3时 f x 0对x 1 恒成立 故实数a的取值范围是 3 方法二 f x 0对x 1 恒成立 等价于x2 2x a 0对x 1恒成立 即a x2 2x对x 1恒成立 令 x2 2x x 1 2 1 其在 1 上是减函数 所以当x 1时 max 3 因此a 3 故实数a的取值范围是 3 方法技巧 求解二次函数最值问题的顺序 1 确定对称轴与抛物线的开口方向 作图 2 在图象上标出定义域的位置 3 观察单调性写出最值 补偿训练 2015 日照高一检测 已知函数f x x2 ax 3a 9在r上的最小值为0 则f 1 解析 因为函数f x x2 ax 3a 9的图象开口向上 对称轴为直线x 所以f x 在区间上单调递减 在区间上单调递增 又f x 的最小值为0 所以解得a 6 所以f x x2 6x 9 f 1 12 6 1 9 4 答案 4 类型三利用单调性求函数最值 典例 1 函数f x x 在x 1 2 上的最大值为 最小值为 2 已知函数f x x 1 2 1 判断并证明函数f x 的单调性 2 求函数f x 的最大值与最小值 解题探究 1 典例1中如何求函数最值 提示 先判断函数在 1 2 上的单调性 再根据单调性求最值 2 典例2中f x 的定义域是什么 求f x 的最值可借助函数的什么性质 提示 函数f x 的定义域是 1 2 求函数的最值可借助函数的单调性 解析 1 设1 x10 即f x1 f x2 0 f x1 f x2 所以f x 在 1 2 上为减函数 所以f x 在 1 2 上的最大值为f 1 5 最小值为f 2 4 答案 54 2 1 函数f x 在区间 1 2 上是减函数 证明如下 任取x1 x2 1 2 且x10 x1 1 0 x2 1 0 所以 0 即f x1 f x2 所以f x 是 1 2 上的减函数 2 由 1 知f x 是 1 2 上的减函数 所以f x min f 2 f x max f 1 延伸探究 典例1变为 函数f x 在 1 b b 1 上的最小值是 则b 解析 因为f x 在 1 b 上是减函数 所以f x 在 1 b 上的最小值为f b 所以b 4 答案 4 方法技巧 1 利用函数单调性求最值的一般步骤 1 判断函数f x 的单调性 2 借助最值与单调性的关系写出函数最值 2 利用单调性求最值的两个关注点 1 求最值勿忘求定义域 2 闭区间上的最值 不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误 求解时一定注意 变式训练 求函数y f x 在区间 1 2 上的最大值和最小值 解析 任取x1 x2 且1 x10 故f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以函数y 在区间 1 2 上为减函数 ymax f 1 ymin f 2 4 补偿训练 2015 连云港高一检测 函数y x 3 4 的最大值为 解析 易证y 在 3 4 上单调递减 所以ymax 2 7 答案 7 类型四函数最值的应用 典例 1 某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车 销售t辆该品牌车的利润 单位 万元 分别为l1 t2 21t和l2 2t 若该公司在两地共销售15辆车 则能获得的最大利润是万元 2 2015 扬州高一检测 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律 每生产产品x 百台 其总成本为g x 万元 其中固定成本为2 8万元 并且每生产1百台的生产成本为1万元 总成本 固定成本 生产成本 销售收入r x 万元 满足 r x 假定该产品产销平衡 即生产的产品都能卖掉 根据上述统计规律 请完成下列问题 1 写出利润函数y f x 的解析式 利润 销售收入 总成本 2 工厂生产多少台产品时 可使盈利最多 解题探究 1 典例1中自变量t取整数还是实数 提示 t表示车辆数 所以t只能取整数 2 典例2中的利润函数在不同的区间上解析式一致吗 如何求其最大值 提示 不一致 函数属于分段函数 分别求出每一段上的最大值 再取其中的最大数作为函数的最大值 解析 1 设在甲地销售x辆 在乙地销售 15 x 辆 设销售利润为l 则l x2 21x 2 15 x x2 19x 30所以 当x 9或x 10时 l取最大值为120 答案 120 2 1 由题意得g x 2 8 x 所以f x r x g x 2 当x 5时 因为函数f x 单调递减 所以f x f 5 3 2 万元 当0 x 5时 函数f x 0 4 x 4 2 3 6 当x 4时 f x 有最大值为3 6 万元 所以当工厂生产4百台产品时 可使赢利最大为3 6万元 延伸探究 典例2条件不变 求盈利最多时每台产品的售价 解析 由 2 知当x 4时盈利最大 此时收入为r 4 10 4 所以此时售价为 2 6 万元 百台 260 元 台 方法技巧 解答实际问题的步骤 1 审题 审读实际问题 找出已知条件 未知条件 确定自变量和因变量的条件关系 2 建模 建立数学模型 列出函数关系式 3 求解 分析函数性质 利用数学知识探究问题解法 一定注意自变量的取值范围 4 回归 数学问题回归实际问题 写出答案 变式训练 2015 福州高一检测 某特产经营店销售某种品牌蜜饯 蜜饯每盒进价为8元 预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒 经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒 每增加一元则减少销售1盒 现设每盒蜜饯的销售价格为x元 1 写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y 元 与每盒蜜饯的销售价格x的函数关系式 2 当每盒蜜饯销售价格x为多少时 该特产店一天内利润y 元 最大 并求出这个最大值 解题指南 1 根据 利润 总收益 总成本 构建解析式 2 分段求函数最大值 最后综述 解析 1 当0 x 20时 y 20 4 20 x x 8 4x2 132x 800 当20 x 40时 y 20 x 20 x 8 x2 48x 320 所以 2 当0 x 20时 y 所以当x 16 5时 y取得最大值289元 当20 x 40时 y x 24 2 256 所以当x 24时 y取得最大值256元 综上所述 当蜜饯价格是16 5元时 该特产店一天的利润最大 最大值为289元 补偿训练 某市一家报刊摊点 从该市报社进该市的晚报价格是每份0 40元 卖出价格是每份0 60元 卖不掉的报纸以每份0 05元的价格退回报社 在一个月 按30天计算 里 有18天可卖出400份 其余12天只能卖出180份 摊主每天从报社进多少晚报 才能使每月获得的利润最大 设摊主每天从报社进晚报的份数是相同的 解析 设每天从报社进x份 180 x 400且x n 每月获利y元 则y 0 2 18x 12 180 0 35 12 x 180 0 6x 1188 180 x 400且x n 因为y 0 6x 1188在 180 400 上是单调减函数 所以当x 180时 函数取得最大值ymax 0 6 180 1188 1080 所以摊主每天从报社进晚报180份 才能使每月获得的利润最大 易错案例由函数最值求参数 典例 若函数f x x2 6x m在区间 2 上的最小值是 3 则实数m的值为 失误案例 错解分