2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(江西卷).doc

江西文科1.(2012江西,文1)若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+的虚部为().A.0B.-1C.1D.-2A因为z=1+i,所以=1-i.而z2=(1+i)2=2i,=(1-i)2=-2i,所以z2+=0,故选A.2.(2012江西,文2)若全集U=xR|x24,则集合A=xR|x+1|1的补集UA为().A.xR|0x2B.xR|0x2C.xR|0x2D.xR|0x2C由已知得,全集U=xR|-2x2,集合A=xR|-2x0,结合数轴得UA=xR|01,所以f(3)=.又因为1,所以f=+1=.于是f(f(3)=f=,故选D.4.(2012江西,文4)若=,则tan 2=().A.-B.C.-D.B因为=,所以=,解方程得tan =-3.于是根据倍角公式可得tan 2=,故选B.5.(2012江西,文5)观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为().A.76B.80C.86D.92B由已知条件得,|x|+|y|=n(nN+)的不同整数解(x,y)的个数为4n,所以|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为80,故选B.6.(2012江西,文6)小波一星期的总开支分布如图1所示,一星期的食品开支如图2所示,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为().图1图2A.30%B.10%C.3%D.不能确定C由题图2知,小波一星期的食品开支为300元,其中鸡蛋开支为30元,占食品开支的10%,而食品开支占总开支的30%,所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%,故选C.7.(2012江西,文7)若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为().A.B.5C.D.4D由三视图可判断该几何体为直六棱柱,其底面积为4,高为1,所以体积为4,故选D.8.(2012江西,文8)椭圆+=1(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为().A.B.C.D.-2B因为A,B为左,右顶点,F1,F2为左,右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c.又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.所以离心率e=,故选B.9.(2012江西,文9)已知f(x)=sin2.若a=f(lg 5),b=f,则().A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=1D.a-b=1C由降幂公式得f(x)=sin2=+sin 2x,于是a=f(lg 5)=+sin(2lg 5),b=f=f(-lg 5)=+sin(-2lg 5)=-sin(2lg 5),所以a+b=1,故选C.10.(2012江西,文10)如右图,|OA|=2(单位:m),|OB|=1(单位:m),OA与OB的夹角为,以A为圆心,AB为半径作圆弧与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发,甲先以速率1(单位:m/s)沿线段OB行至点B,再以速率3(单位:m/s)沿圆弧行至点C后停止;乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA行至点A后停止.设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是().A因为|OB|=1,甲在OB段的速率为1,所以在OB段行至点B恰好为1 s;|OA|=2,乙在OA段的速率为2,所以在OA段行至点A恰好为1 s,所以在甲由点O至点B,乙由点O至点A这段时间,S(t)=t2(0t1)是增函数而且S加速增大.由于乙到点A后停止,所以在甲由点B沿圆弧运动过程中,面积S是在匀速增大,所以图像应为一条线段,而在甲到达点C后面积S不再变化,所以图像应为一条平行于x轴的直线,故选A.11.(2012江西,文11)不等式0的解集是.(-3,2)(3,+)不等式0可化为(x-2)(x-3)(x+3)0,由穿根法(如图)得,所求不等式的解集为(-3,2)(3,+).12.(2012江西,文12)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若mb,则|x+2y|=.因为mb,所以mb=2x-y=0.又因为m为单位向量,所以x2+y2=1.由解得或所以|x+2y|=.13.(2012江西,文13)等比数列an的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,且对任意的nN+都有an+2+an+1-2an=0,则S5=.11设等比数列an的公比为q,则an+2+an+1-2an=a1qn+1+a1qn-2a1qn-1=0,即q2+q-2=0,解得q=-2,q=1(舍去),所以S5=11.14.(2012江西,文14)过直线x+y-2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60,则点P的坐标是.(,)如图所示,过P点作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,由已知得,APO=30,所以|PO|=2.设P点坐标为(x0,y0),则解得故所求坐标为(,).15.(2012江西,文15)下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是.3当T=0,k=1时,sinsin,所以a=1,T=1,k=2;当T=1,k=2时,sinsin,所以a=0,T=1,k=3;当T=1,k=3时,sinsin,所以a=1,T=2,k=5;当T=2,k=5时,sinsin,所以a=1,T=3,k=6,此时k6,所以输出T=3.16.(2012江西,文16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C.(1)求cos A;(2)若a=3,ABC的面积为2,求b,c.解:(1)由3cos(B-C)-1=6cos Bcos C,得3(cos Bcos C-sin Bsin C)=-1,即cos(B+C)=-,从而cos A=-cos(B+C)=.(2)由于0A,cos A=,所以sin A=.又SABC=2,即bcsin A=2,解得bc=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=13.解方程组得或17.(2012江西,文17)已知数列an的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.(1)求an;(2)求数列nan的前n项和Tn.解:(1)由Sn=kcn-k,得an=Sn-Sn-1=kcn-kcn-1(n2),由a2=4,a6=8a3,得kc(c-1)=4,kc5(c-1)=8kc2(c-1),解得所以a1=S1=2,an=kcn-kcn-1=2n(n2),于是an=2n.(2)Tn=iai=i2i,即Tn=2+222+323+424+n2n,Tn=2Tn-Tn=-2-22-23-24-2n+n2n+1=-2n+1+2+n2n+1=(n-1)2n+1+2.18.(2012江西,文18)如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点.(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;(2)求这3点与原点O共面的概率.解:从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是:x轴上取2个点的有A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,共4种,y轴上取2个点的有B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,共4种,z轴上取2个点的有C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共4种.所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1,A1B1C2,A1B2C1,A1B2C2,A2B1C1,A2B1C2,A2B2C1,A2B2C2,共8种.因此,从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有:A1B1C1,A2B2C2,共2种,因此,这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为p1=.(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有:A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共12种,因此,这3个点与原点O共面的概率为p2=.19.(2012江西,文19)如图,在梯形ABCD中,ABCD,E,F是线段AB上的两点,且DEAB,CFAB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.现将ADE,CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合于点G,得到多面体CDEFG.(1)求证:平面DEG平面CFG;(2)求多面体CDEFG的体积.(1)证明:因为DEEF,CFEF,所以四边形CDEF为矩形.由GD=5,DE=4,得GE=3,由GC=4,CF=4,得FG=4,所以EF=5.在EFG中,有EF2=GE2+FG2,所以EGGF.又因为CFEF,CFFG,得CF平面EFG,所以CFEG.所以EG平面CFG,即平面DEG平面CFG.(2)解:在平面EGF中,过点G作GHEF于点H,则GH=,因为平面CDEF平面EFG,得GH平面CDEF,VCDEFG=SCDEFGH=16.20.(2012江西,文20)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=(+)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2x02)是曲线C上的动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求QAB与PDE的面积之比.解:(1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),得|+|=,(+)=(x,y)(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化简得曲线C的方程是x2=4y.(2)直线PA,PB的方程分别是y=-x-1,y=x-1,曲线C在Q处的切线l的方程是y=x-,且与y轴的交点为F,分别联立方程组解得D,E的横坐标分别是xD=,xE=,则xE-xD=2,|FP|=1-,故SPDE=|FP|xE-xD|=2=,而SQAB=4=,则=2,即QAB与PDE的面积之比为2.21.(2012江西,文21)已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在0,1上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0.(1)求a的取值范围;(2)设g(x)=f(x)-f(x),求g(x)在0,1上的最大值和最小值.解:(1)由f(0)=1,f(1)=0得c=1,a+b=-1,则f(x)=ax2-(a+1)x+1ex,f(x)=ax2+(a-1)x-aex,依题意须对于任意x(0,1),有f(x)0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图像开口向上,而f(0)=-a0,所以须f(1)=(a-1)e0,即0a1;当a=1时,对任意x(0,1)有f(x)=(x2-1)ex0,f(x)符合条件;当a=0时,对于任意x(0,1),f(x)=-xex0,f(x)符合条件;当a0,f(x)不符合条件.故a的取值范围为0a1.(2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,g(x)=(-2ax+1-a)ex,当a=0时,g(x)=ex0,g(x)在x=0上取得最小值g(0)=1,在x=1上取得最大值g(1)=e.当a=1