(选修)第三章导数导数的概念与和.doc

高中数学复习教（学）案 资兴市第一高级中学代晓忠题目 (选修)第三章导数导数的概念与和、差、积、商的导数第 课（章、节） 第 课时 课型 编写时间：200 年 月 日 执行日期： 月 日 总序号 高考要求 1了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；3理解导函数的概念 熟记基本导数公式；4掌握两个函数和、差、积、商的求导法则 5了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数 6理解可导函数的单调性与其导数的关系；7了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；8会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值 知识点归纳 1导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即2导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为3导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数， 4可导: 如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导5可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件6求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数 7 常见函数的导数公式：； 8和差的导数： 9积的导数： , 10商的导数： 题型讲解 例1 若f（x0）=2,求分析:根据导数的定义解:f（x0）= （这时x=k）=f（x0）=1点评: 注意f（x0）= 中x的形式的变化,在上述变化中可以看到x=k,k0k0,f（x0）= ,还可以写成f（x0）= 或 f（x0）=f（x0+）f（x0）等例2 若f（x）在R上可导，（1）求f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则f（x）为奇函数分析:（1）需求f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数；（2）求f（x），然后判断其奇偶性（1）解:设f（x）=g（x）,则g（a）= =f（a）f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数互为相反数（2）证明:f（x）= =f（x）f（x）为奇函数点评:用导数的定义求导数时，要注意y中自变量的变化量应与x一致例3 求下列函数的导数：（1）y=x2sinx; （2）y=ln（x）;（）y=; （）y=解:（1）y=（x2）sinxx2（sinx）=2xsinxx2cosx（2）y=（x）=（1）=（）y=（4）y=例4 （1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数解：（1），即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1（2） 例5 下列函数的导数 分析：利用导数的四则运算求导数法一： 法二： =+ 例6 如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程解：切线与直线平行， 斜率为4又切线在点的斜率为 或切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为或即或小结：1求函数y=f（x）在点x0处的导数通常有以下两种方法：（1）导数的定义，即求的值（2）利用导函数的函数值,即先求函数f（x）在开区间（a,b）内的导函数f（x）,再将x0（x0（a,b）代入导函数f（x）,得函数值f（x0）2 在解导数题时，要理解导数的概念，熟记基本函数的导数和导数的运算法则，然后根据基本函数确定使用什么方法求解学生练习 1在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+x,2+y）,则为Ax+2 Bx2 Cx+2 D2+x解析: =x+2答案:C2设函数f（x）在x=x0处可导,则A与x0,h都有关 B仅与x0有关而与h无关C仅与h有关而与x0无关 D与x0、h均无关答案:B3设f（x）=ax3+3x2+2,若f（1）=4,则a的值等于AB C D解析:f（x）=3ax2+6x,f（1）=3a6=4,所以a=答案:D4曲线y=x33x2+1在点（1，1）处的切线方程为Ay=3x4 By=3x+2 Cy=4x+3 Dy=4x5解析:y=3x26x,y|x=1=3在（1,1）处的切线方程为y+1=3（x1）答案:B5函数y=（x+1）2（x1）在x=1处的导数等于A1 B2 C3 D4解析:y|x=1=（x2+2x+1）（x1）|x=1=x3+x2x1|xx=1=（3x2+2x1）| x=1=4答案:D6已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为Af（x）=（x1）2+3（x1） Bf（x）=2（x1）Cf（x）=2（x1）2 Df（x）=x1答案:A7函数y=x2的曲线上点A处的切线与直线3xy+1=0的夹角为45,则点A的坐标为_解析:设点A的坐标为（x0,y0）,则y|x=x=2x|x=x=2x=k1,又直线3xy+1=0的斜率k2=3tan45=1=|解得x0=或x0=1y0=或y0=1,即A点坐标为（，）或（1，1）答案:（，）或（1，1）8曲线y=2x2与y=x32在交点处的切线夹角是_（以弧度数作答）解析:由得x3+2x216=0,（x2）（x2+4x+8）=0,x=2两曲线只有一个交点y=（2x2）=x,y|x=2=2又y=（2）=x2,当x=2时,y=3两曲线在交点处的切线斜率分别为2、3,|=1夹角为答案: 9设f（x）在x=1处连续，且f（1）=0,=2,求f（1）解:f（1）=0, =2,f（1）= = =210设函数y=axbx2cxd的图象与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12xy=0若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式解:y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，P的坐标为P（0,d）又曲线在点P处的切线方程为y=12x，P点坐标适合方程，从而d=又切