高中数学 探究导学课型 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)课件 新人教版必修4.ppt

1 2任意角的三角函数1 2 1任意角的三角函数 一 自主预习 主题1 任意角的三角函数的定义使锐角 的顶点与原点o重合 始边与x轴的非负半轴重合 在终边上任取一点p 作pm x轴于m 设p x y op r 据此回答下列问题 1 角 的正弦 余弦 正切分别等于什么 提示 2 若p点为角 的终边与单位圆的交点 则角 的正弦 余弦 正切分别等于什么 用符号语言描述 由于r 1 所以sin cos tan y x 任意角的三角函数的定义 1 单位圆 圆心是 半径长为 2 定义 设任意角 的终边与单位圆交于点p x y 则sin cos tan 原点 单位长度 y x 主题2 三角函数值的符号法则及诱导公式一1 设p x y 为 终边上任意一点 异于原点 记r op 则 由此可知任意角 的三角函数值的符号与谁有关 提示 角 的三角函数值的符号与点p的坐标x y的正负有关 2 取角 分别为30 390 330 它们的三角函数值是什么关系 为什么 用文字语言描述 它们的同名三角函数值相等 因为三个角的终边相同 用符号语言描述 sin390 sin 360 30 sin 330 sin 360 30 sin30 三角函数值的符号法则及诱导公式一1 三角函数值的符号法则 结合任意角的三角函数的定义 请将三种三角函数的值在各象限的符号填入下图的括号内 2 诱导公式一 1 语言表示 2 式子表示 k z sin k 2 sin cos k 2 cos tan k 2 tan 终边相同的角的同一三角函数的值相等 深度思考 结合教材p12例2 你认为如何根据任意一角 终边上一点p 求该角的三角函数值 第一步 第二步 计算r op 由计算 sin cos tan 预习小测 1 若sin cos 且sin cos 0 则 在 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选d 由条件可知cos 0 sin 所以 为第四象限角 2 解析 选a 3 已知角 的终边与单位圆的交点则sin cos 解析 选b 因为所以 4 若角 终边上一点坐标为 5 12 则cos 解析 r 13 所以cos 答案 5 若 0 所以点 tan cos 位于第二象限 答案 二 备选训练 计算sin的值 仿照教材p14例5的解析过程 解析 互动探究 1 若 的终边与x轴负半轴重合 则sin cos tan 的值分别等于多少 提示 当 的终边与x轴负半轴重合时 角 的终边与单位圆的交点坐标为 1 0 故sin 0 cos 1 tan 0 2 已知角 则角 的三角函数值符号确定 反之若角 的某个三角函数值符号确定 则角 的终边所在象限确定吗 提示 不一定 若已知角 的一个三角函数值的符号 则角 所在的象限可能有两种情况 若已知角 的两个三角函数值的符号 则角 所在的象限就唯一确定 3 对于任意角的三角函数值 如何将其转化为0 2 范围内角的三角函数值 提示 将任意角借助于终边相同角的表示 将任意角表示为 k 360 k z 0 2 的形式 然后再利用诱导公式一求解 探究总结 知识归纳 注意事项 1 三角函数定义的注意点 1 三角函数是一种函数 它满足函数的定义 可以看成是从角的集合 弧度制 到一个比值的集合的对应 2 三角函数是用比值来定义的 所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围 3 三角函数值的大小只与角有关 而与点p x y 的位置无关 2 对诱导公式一的三点说明 1 公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等 2 公式一的结构特征 左 右为同一三角函数 公式左边的角为 k 2 右边为 k z不可遗漏 3 公式一的作用 把求任意角的三角函数值转化为求0 2 或0 360 角的三角函数值 题型探究 类型一 任意三角函数的定义及应用 典例1 1 2016 青岛高一检测 已知角 的终边上一点坐标为 3 a 且 为第二象限角 cos 则sin 2 2016 成都高一检测 已知角 的终边上一点p 3m 4m m 0 求sin 2cos 的值 解题指南 1 先由cos 和位置条件求出a 再计算sin 的值 2 先求出p点到原点的距离 然后用点的坐标与该点到原点距离的比来求三角函数值 解析 1 r 又cos 所以a2 9 25 a2 16 又 为第二象限角 所以a 0 所以a 4 r 5 故sin 答案 2 r 5 m 若m 0 则r 5m 所以sin cos 所以sin 2cos 若m 0 则r 5m sin cos 所以sin 2cos 规律总结 已知角 终边上任意一点的坐标求其三角函数值的三个步骤 1 取点 在 的终边上任取一点p x y 不与原点重合 2 计算 3 求值 由求值 巩固训练 1 已知角 的终边过p 2sin60 2cos60 则sin 的值为 解析 选d 由2sin60 2cos60 1 即点p 1 所以r 2 因此sin 2 设函数f sin cos 其中 角 的顶点与坐标原点重合 始边与x轴非负半轴重合 终边经过点p x y 且0 若点p的坐标为 则f 的值为 解析 由点p的坐标为和三角函数定义得sin cos 所以f sin cos 答案 2 类型二 三角函数在各象限的符号问题 典例2 1 若sin cos 0 则 的终边在 a 第一或第二象限b 第一或第三象限c 第一或第四象限d 第二或第四象限 2 设 是第三象限角 且满足则在第象限 解题指南 1 由sin cos 0得从而得 的终边所在象限 2 由 是第三象限角 得所在象限 再由 从而确定的象限 解析 1 选b 由sin cos 0 得 是第一象限角 由得 是第三象限角 故 为第一或第三象限角 2 因为 是第三象限角 所以所以所以在第二 四象限内 又所以为第四象限角 答案 四 延伸探究 1 题 2 中若将条件 是第三象限角 改为 是第二象限角 其他条件不变 则结论如何 解析 因为 是第二象限角 所以所以故在第一 三象限内 又故为第三象限角 2 若题 2 条件不变 则求的范围 解析 因为 为第三象限角 所以2k 2k k z 所以k k z 当k 2n n z时 2n n z 所以为第二象限角 当k 2n 1 n z时 所以为第四象限角 因为所以sin 0 故为第四象限角 所以的范围是 规律总结 判断三角函数值正负的两个步骤 1 定象限 确定角 所在的象限 2 定符号 利用三角函数值的符号规律 即 一全正 二正弦 三正切 四余弦 来判断 提醒 若sin 0 则 的终边不一定落在第一象限或第二象限内 有可能终边落在y轴的非负半轴上 补偿训练 sin1 cos2 tan3的值是 a 正数b 负数c 0d 不存在 解析 选a 因为00 0 类型三 诱导公式一的应用 典例3 1 sin 1380 的值为 2 a2sin 1350 b2tan405 a b 2 tan765 2abcos 1080 解题指南 1 利用诱导公式一将角 1380 转化为0 360 的角的三角函数 再求值 2 将所有角度的三角函数 利用诱导公式一转化为0 360 内的角的三角函数求解 解析 1 选d sin 1380 sin 4 360 60 sin60 2 原式 a2sin 4 360 90 b2tan 360 45 a b 2tan 2 360 45 2abcos 3 360 a2sin90 b2tan45 a b 2tan45 2abco