高中数学 精讲优练课型 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换(一)课件 新人教版必修4.ppt

3 2简单的三角恒等变换 一 知识提炼 1 半角公式 无理形式 有理形式 2 常见的三角恒等变换 1 其中tan 所在象限由a和b的符号确定 2 即时小测 1 思考下列问题 1 半角公式对任意角都适用吗 提示 不是对任意角都适用 半角的正切公式中角的终边不能落在x轴的负半轴上 所以 2k k z 分母不为零即 1 cos 0 cos 1 2k k z 2 半角公式可以应用于任何类型的题目中 这种说法对吗 提示 这种说法是不正确的 半角公式的根式形式一般用于求值 有理式的形式可用来化简或证明 当然也可以用来求值 3 半角公式与倍角公式二者有什么关系 提示 半角公式与倍角公式的实质是一样的 因为两边同时平方得即符合倍角公式 半角公式从左到右起到一个扩角降幂的作用 从右到左起到一个缩角升幂的作用 2 若且 0 则的值为 解析 选a 因为所以 3 已知则等于 解析 选b 因为所以所以 4 已知则 解析 可以运用半角公式 对本题进行求解 因为180 270 所以所以所以答案 2 5 化简 解析 答案 知识探究 知识点半角公式观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 如何确定半角的正弦 余弦 正切无理表示式前的符号 问题2 应用半角公式可以解决哪些问题 总结提升 1 确定半角的正弦 余弦 正切无理表示式前符号的原则 1 如果没有给出决定符号的条件 则在根号前保留正负两个符号 2 若给出角 的具体范围 即某一区间 时 则先求所在范围 然后再根据所在范围选用符号 3 如果给出的角 是某一象限角时 则需要根据具体情况确定 2 对半角公式的理解 1 半角公式的正弦 余弦公式是由二倍角公式变形得到的 2 半角公式给出了求的正弦 余弦 正切的另一种方式 即只需知道cos 的值及相应 的条件 便可求出 3 由于及不含被开方数 且不涉及符号问题 所以求解题目时 使用相对方便 但需要注意该公式成立的条件 4 涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时 常用和 题型探究 类型一三角恒等式求值问题 典例 1 已知则 2 已知且求的值 解题探究 1 典例1中 应如何确定的象限 从而确定tan的正负 提示 由题中条件可知所以 的终边落在第一象限 的终边落在第一 三象限 而在第一 三象限中的角的正切值均为正值 所以tan 0 2 典例2中的求解思路是什么 提示 利用平方关系求出cos 根据 与之间的关系求解 解析 1 方法一 所以 的终边落在第一象限 的终边落在第一 三象限 所以故答案 方法二 答案 2 因为所以因为又所以 方法技巧 解决给值求值问题的思路已知三角函数式的值 求其他三角函数式的值 一般思路为 1 先化简已知或所求式子 2 观察已知条件与所求式子之间的联系 从三角函数名及角入手 3 将已知条件代入所求式子 化简求值 变式训练 已知 为钝角 为锐角 且则 解析 因为 为钝角 为锐角 且所以所以又因为所以所以答案 类型二三角恒等式的化简 典例 1 化简的结果是 2 化简 0 解题探究 1 典例1中 所求的式子次数不同 如何将进行降次运算 提示 利用倍角公式分别逐次降幂 2 是第几象限的角 提示 是第四象限角 解析 1 cos2 3 1 cos 2 1 cos2 2cos 2cos2 1 3 3cos 2 2cos2 4cos cos 答案 cos 2 原式 因为 0 所以所以所以原式 延伸探究 1 变换条件 若典例2中的式子变为则化简后的值是什么 解析 原式 所以原式 2 变换条件 若典例2中式子变为则化简后的值为什么 解析 原式 因为故原式 方法技巧 化简问题中的 三变 1 变角 三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系 通过拆 凑等手段消除角之间的差异 合理选择联系它们的公式 2 变名 观察三角函数种类的差异 尽量统一函数的名称 如统一为弦或统一为切 3 变式 观察式子的结构形式的差异 选择适当的变形途径 如升幂 降幂 配方 开方等 补偿训练 1 化简 解析 原式 2 化简 解析 原式 类型三三角恒等式的证明 典例 1 证明 2 若 证明 解题探究 1 典例1中 所证式子左右两边没有任何规律可言 我们在证明时首先应该做什么 提示 运用比例的基本性质 可以发现原式等价于此式右边就是tan2 2 典例2中 角是第几象限角 1 cos 1 cos 1 sin 1 sin 分别如何变形 提示 角是第二象限角 1 cos 2cos2 1 cos 2sin2 证明 1 原等式等价于求证而上式左边可见左边等于右边 所以上式成立 即原等式得证 2 因为所以所以左边所以原式得证 方法技巧 三角恒等式证明的常用方法 1 执因索果法 证明的形式一般化繁为简 2 左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子 3 拼凑法 针对题设和结论之间的差异 有针对性地变形 以消除它们之间的差异 简言之 即化异求同 4 比较法 设法证明 左边 右边 0 或 左边 右边 1 5 分析法 从被证明的等式出发 逐步地探求使等式成立的条件 直到已知条件或明显的事实为止 就可以判定原等式成立 变式训练 证明 证明 方法一 从右边入手 切化弦 得由左右两边的角之间的关系 想到分子分母同乘以得左边 右边 原等式得证 方法二 从左边入手 分子分母运用二倍角公式的变形 降倍升幂 得由两边三角函数的种类差异 想到弦化切 即分子分母同除以 得所以原等式成立 补偿训练 在 abc中 已知求证 证明 因为所以所以而所以即 易错案例利用半角公式化简 典例 2015 大连高一检测 已知则的值为 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是忽视了角 的取值范围 从而误认为由于对