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文档简介

矩阵集合上定义了乘法。以向量内积为基础的矩阵乘法非常成功。但它是不可交换的。即，通常有 AB BA，那怕在 n 阶方阵子集中也这样。矩阵的乘法有“单位元”E（n阶方阵）。即在可乘的条件下，AE = A 或 BE = B，E在乘法中的作用，就象数 1那样。若n 阶方阵A满秩，它就应该有逆元。即“右逆”AB = E 或“左逆”CA = E由于矩阵乘法不可易，按理“右逆”与“左逆”可能不同。但是线性代数中，满秩方阵A的逆阵B 的定义就是 AB = BA = E之所以有这个特殊性，原因在于A有伴随阵A*基本恒等式 A*A = A A* =|A| E在A满秩时，它告诉我们，A* /|A| 就既是A的“右逆”，又是A的“左逆”。且按照矩阵相等的定义，满秩方阵A的逆阵唯一。有趣的是，如果n 阶方阵A 的“列向量组”是标准正交组（单位正交组），则AA = E你只能先说A 是A的“左逆”。 A 的行，就是A的列。左行右列作内积，恰好用上已知条件。但是，逆阵唯一，“左逆”就是“右逆”。A A = E这样一来，A的行向量组必定也是标准正交组。同样，如果 n 阶方阵 A 的“行向量组”是标准正交组，那它的列向量组必定也是标准正交组。实际上，很简单，A A = E，则 |A|=1满秩方阵A的的逆阵唯一，A = A*只有两类正交阵 要么A的每一元就等于自己的代数余子式，要么A的每一元等于自己的代数余子式的相反数。另有一个应用逆阵唯一性的好例。例 A和B都是n阶方阵，且 AB =AB，试证明，A+E 可逆，且 AB = BA分析 要先生成 A+ E ，只有在 AB =AB 上想办法。AB+B = A+EE ，进而有 E =（A+E）（EB）这表明 A+ E可逆， 且它的（右逆）为 EB如何证第二问？好象没条件了。如果你能想到，右逆就是左逆。那就动笔试乘一下（EB）（A+E）= E =
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