高中数学 探究导学课型 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课件 新人教版必修4.ppt

2 2 3向量数乘运算及其几何意义 自主预习 主题1 向量的数乘运算1 类比 实数运算 x x x 3x 思考a a a能否写成3a呢 提示 可以 即a a a 3a 2 3a与a的方向有什么关系 3a与a的方向呢 提示 3a与a的方向相同 3a与a的方向相反 3 按照向量加法的三角形法则 若a为非零向量 那么3a的长度与a的长度有何关系 提示 3a的长度是a的长度的3倍 即若 a 则 3a 3 结合以上探究过程 试着总结向量数乘运算的有关概念 定义 实数 与向量a的积是一个 a a 相同 相反 0 向量 运算律 a a a b 特别地 a a b a a a a b a a a b 主题2 共线向量定理1 如果两个向量共线 则这两个向量具有哪几种情况 提示 方向相同或方向相反或其中一个为零向量 2 根据向量的数乘运算 a与a 0 a 0 的方向有何关系 提示 相同或相反 3 向量a与 a 为常数 一定共线吗 提示 共线 结合以上探究过程试着总结共线定理 向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使 b a 深度思考 结合教材p89例6你认为应怎样判断a b c三点共线 第一步 第二步 利用向量的线性运算证明向量共线 指明两向量有公共点a 然后得出结论 预习小测 1 若 a 1 b 2 且a与b方向相同 则下列关系式正确的是 a b 2ab b 2ac a 2bd a 2b 解析 选a 因为a与b的方向相同 且 b 2 a 故b 2a 2 若a与b共线且 a b a 0 b 0 则下列结论正确的是 a a bb a bc a bd 不确定 解析 选c 因为a与b共线 且 a b 故a b 3 化简 2 3a 4b 7a 解析 原式 6a 8b 7a a 8b 答案 a 8b 4 向量a与b不共线 向量c 3a b d 6a 2b 则向量c与d的关系是 共线 不共线 解析 d 6a 2b 2 3a b 2c 所以向量c与d共线 答案 共线 备选训练 已知e1与e2不共线 e1 e2 2e1 8e2 3 e1 e2 求证 a b d三点共线 仿照教材p89例6的解析过程 证明 因为 e1 e2 2e1 8e2 3e1 3e2 5e1 5e2 5 e1 e2 5 所以共线 又有公共点b 所以a b d三点共线 互动探究 1 实数与向量能否进行加减运算 提示 不能 实数与向量可以进行数乘运算 但不能进行加减运算 2 设x y为实数 若xa ya 0 能否得出x y 提示 不一定 因为xa ya 0 会得到 x y a 0 所以x y或a 0 3 向量数乘得到的依然是向量 那么它的方向由谁确定 提示 实数 与向量a数乘 得到向量 a 其方向由 的正负及向量a的方向共同确定 4 若向量a与向量b b 0 共线 则a b 如何确定 的值 提示 当a b同向时 当a b反向时 5 定理中为何要限制a 0 提示 共线向量定理中 若不限制a 0 则当a b 0时 的值不唯一 定理不成立 并且当b 0 a 0时 的值不存在 6 若向量a b不共线 且 a b 则 的值如何 为什么 提示 0 假设 0 由于向量a b不共线 则a 0 b 0 且a b 从而a b共线 与向量a b不共线矛盾 可知 0 拓展延伸 向量中常见的一些结论 1 表示a b a b的有向线段恰为同一平行四边形的两条对角线 2 设d为 abc中线段bc的中点 则 3 设g为 abc的重心 则 探究总结 知识归纳 方法总结 向量线性运算的基本方法 1 类比方法 向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算 例如实数运算中的去括号 移项 合并同类项 提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用 但是在这里的 同类项 公因式 指向量 实数看作是向量的系数 2 方程方法 向量也可以通过列方程来解 把所求向量当作未知数 利用代数方程的方法求解 同时在运算过程中要多注意观察 恰当运用运算律 简化运算 题型探究 类型一 向量的线性运算 典例1 化简下列各式 3 2 5a 4b c 3 a 3b c 7a 解题指南 简单的化简问题 把握运算顺序为 运算律去括号 数乘向量 向量加减 解析 1 原式 18a 3b 9a 3b 9a 2 原式 3 原式 10a 8b 2c 3a 9b 3c 7a b c 规律总结 向量的线性运算的思路 1 利用实数与向量的积的运算律可以化简有关向量式 其化简方法与代数式的化简有些类似 2 已知某些向量 而要化简与它们有关的向量式 其解题方法可类比初中所学的 求代数式的值 即先化简向量式 再代入求值 这样能简化解题过程 3 解向量的线性方程组的方法同解实数系中的一次方程组一样 即进行消元 其消元方法也有代入消元法 加减消元法 巩固训练 化简 1 8 2a b c 6 a 2b c 2 2a c 解析 1 原式 16a 8b 8c 6a 12b 6c 4a 2c 16 6 4 a 8 12 b 8 6 2 c 6a 4b 2 原式 a 4b 4a 2b 3a 6b 2b a 类型二 共线向量定理及应用 典例2 设两个非零向量a和b不共线 如果 a b 3 a b 2a 8b 1 计算 2 证明共线 解题指南 1 利用向量加法的三角形法则即 2 只需证明存在一个常数 使即可 解析 1 延伸探究 1 本例条件不变 试证明共线 证明 由本例 1 解析知 2 本例条件不变 试证明a b d三点共线 证明 由本例 2 解析知而向量与向量又有一个公共点b 故a b d三点共线 3 若本例条件换为 设两非零向量a和b不共线且m ka b n a kb 若m与n共线 求k的值 解析 因为m与n共线 所以存在常数 使得ka b a kb 所以 k a 1 k b 0 又因为a与b不共线 所以所以k 1 规律总结 1 用向量证明三点共线的关键与步骤 1 关键 能否找到一个实数 使得b a a b为这三点构成的其中任意两个向量 2 证明步骤 先证明向量共线 再由两个向量有公共点 证得三点共线 2 由共线向量定理求向量系数的步骤 1 把向量等式通过向量线性运算 转化为与另一个式子相同的形式 2 由两等式相同知对应系数相同 列方程可求向量的系数 拓展延伸 向量共线与线段共线的区别以及作用 1 向量共线与线段共线的区别 向量共线时 两向量所在的线段可能平行 也可能共线 而两条线段共线时 这两条线段必定在同一条直线上 2 向量共线定理的作用 向量共线定理可以证明线段平行 也可以证明三点共线 补偿训练 已知向量则 a a b c三点共线b a b d三点共线c a c d三点共线d b c d三点共线 解析 选b 因为所以a b d三点共线 类型三 用已知向量表示未知向量 典例3 已知在 abcd中 m n分别是dc bc的中点 若试用e1 e2表示 解题指南 结合图形找出所求向量和已知向量的等量关系 用加减法及数乘运算求解 解析 因为m n分别是dc bc的中点 所以mn bd 因为 e2 e1 所以 2e2