数学教学应注重培养学生的直觉思维能力.doc

数学教学应注重培养学生的直觉思维能力江苏省镇江市丹徒区高资中学 周海青 吴茂霞当人们观赏一幅名画或欣赏一首名曲时，会情不自禁地发出赞叹，若问好在哪里，有时往往说不清楚。这是艺术鉴赏中的直觉评价，运用的不是逻辑思维方法。在解数学题时，当我们看了题目，还没有动手去解，便可感到它是一道难题或易解的题，这是数学学习中的直觉评价，运用的也不是严密的逻辑思维方法。当遇到一道复杂的数学题，有的学生凭借直觉很快就选定了突破口，有的学生则需要多次调整解题方案才能入门。直觉思维作为一种心理现象，作为一种认识过程，作为一个人脑机制，贯穿于人类活动的各个方面，特别是创造性活动的各个领域前苏联科学家凯德洛夫曾经说过：“没有任何一个创造性行为能离开直觉活动”。直觉思维的概念目前还没有统一的说法。简单地说，直觉就是直接的察觉。较为严格地说，直觉就是在实践经验基础上由于思维的高度活动而形成的对客观事物的一种迅速而直接的综合性判断的思维形式。直觉思维是一种非逻辑思维，是人类基本思维形式之一；它包括直觉的判断、想象和启发；它是感性和理性、具体和抽象的辩证统一。直觉思维有以下特点：(1)非逻辑性。从表面上看，直觉思维的进行没有依据某种明确的逻辑规则，结论的得来也没有严密的推理，带有一定的猜测性、预见性。如德国数学家高斯所说：“像闪电一样，迷一下子解开了，我也说不清是什么导线。”(2)跳跃性。正因为直觉思维非逻辑性，它对事物及其关系的认识，总是以跳跃的方式，径直指向最后结论。如姚俊同学发明的“心博放大器”就是直接从结果产生的奇特念头的。(3)快速性。直觉思维以直接、自动化的方式进行，对于一个问题情境，它无需思考也不用推理就能根据自己的知识、经验和具体情况，立即做出判断，得出结论，因而具有快速性。直觉思维有两种形式，一是视觉形象的直觉思维，一是非视觉形象的直觉思维前者以图形或图解模式(概括后的视觉图象)为信息载体，后者以概念本身的词语符号为信息载体。直觉思维在数学学习中有着重要作用。那么什么是数学直觉思维呢？数学直觉思维能力有时也称它为数学直觉判断，在这种判断中，人们不是分析性的按部就班地进行推理，而是从整体上作出直接把握。所以，有的研究者说，数学直觉思维是一种直接反映数学现象、结构以及关系的心智活动，它是人脑对于数学对象、结构以及关系的直接领悟或洞察。数学直觉思维能力有两种形式：一是灵感直觉思维，一是普通直觉思维，当代著名的美国心理学家JS布鲁纳曾形象解释过这两种形式，他说：“在数学中直觉概念是从两种不同的意义上来使用的，一方面，说某人是直觉地思维，意即他花了许多时间做一道题目，突然间他做出来了，但是还须为答案提出形式证明。另一方面，说某人是具有良好直觉能力的数学家，意即当别人向他提问时，他能够迅速作出很好的猜测，判定某事物是不是这样，或说出在几种解题方法中哪一个将证明有效。”一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”对于一个专业的数学工作者来说，他所具有的数学直觉显然已不再是一种朴素意义上的原始直觉，而是一种精致化了的直觉，也即是通过多年的学习和研究才逐渐养成的。那么我们数学教师在数学教学中应该怎样培养直觉思维能力呢?一、 重视解题教学，注重培养学生数形结合思维人们一般地把代数称为“数”，而把几何称为“形”，“数”和“形”看上去是两个独立的概念，其实它们在一定的条件下，可以相互转化。著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”这充分说明了数形结合思想的重要性，而由数想形以及形助数都能用图形直观地反映出来。图形具有使问题直观，学生易于接受的优点。正如波利亚说：“直观的洞察可能远远超前于逻辑的证明。”借助于数形结合，可以逐步培养学生的迁移能力。通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉，对培养学生的几何直觉思维大有帮助。教师应该把直觉思维在课堂教学中明确提出，制定相应的活动策略。重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，通过方法论的分析使数学中的发明、创造活动成为“可以理解的”、 “可以学到手的”和”可以加以推广应用的”，以思想方法的分析去带动具体知识内容的教学。数形结合思想在数学中占有非常重要的地位。教学中还可以选择适当的题目类型，考察和培养学生的直觉思维。例如选择题，由于只要求从四个选择中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。当人们解一道数学题时，往往要对结果或解题途径先作大致的估量或猜测，这就是一种数学直觉思维。在解决抽象的数学问题时，要注意利用直觉思维解题，能把抽象转化为具体，本身也是一种直觉思维能力。二、培养观察、猜想、验证能力直觉思维要在观察、猜想、验证中运用，也要在观察、猜想、验证中发展.有些数学问题的结论需要根据已知条件，通过观察、猜想、验证引出来如果一时得不出问题的结论，不妨根据问题的条件分析一下题目的某些简单的、特殊的情况，从中猜想出问题的一般性结论，进而发现解题的途径和方法，这是一项有意义的直觉思维训练因为这比要求学生证明现成的结论需要更多的知识、经验、技能与机智，也比证明现成结论更富有吸引力。我们先来看标准中的一个例子。例2 探索规律（1） 计算并观察下列每组算式： 88= 55= 1212= 79= 46= 1113=（2）已知 2525=625，那么2426= 。（3）你能举一个类似的例子吗？（4）从以上的过程中，你发现了什么规律？你能用语言叙述这个规律吗？你能用字母表示这个规律吗？（5）你能证明自己所得到的规律吗？这个例子通过设置问题串，使学生经历了根据特例进行归纳、建立猜想、用数学符号表示、并给出证明这一重要的数学探索过程。在这个过程中，对学生的直觉思维能力进行了培养和训练。下面再看一个几何的例子。例如，在两个同心圆中，任作大圆的弦AB交小圆于P、Q，求证PBPA为定值首先可做以下实验：画AB通过圆心O时，PAPB=(Rr)(R+r)=R2r2，画AB与小圆相切时，P、Q重合，PAPB=OA2OP2=R2r2(如下图)。上述两种特殊情况下都有PAPB= R2r2(定值)，这就为猜想提供了背景于是提出猜想：在一般情况下都有PAPB=PMPN=(Rr)(R+r)= R2r2。三、注意培养数学审美直觉能力美是人类创造性实践活动的产物，是人类本质力量的感性体现。通常所说的美以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形态而存在。数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。数学课程标准指出：数学知识除了让学生体会到实际应用外，还要让学生体会到数学的美，培养学生的学习兴趣。课程内容标准作了较好的体现，如在视图与投影中要求学生“观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）”；在图形与变换中要求学生“欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计”；等等。美的意识能唤起和支配数学直觉。纵观古今，数学上的许多发现和创举无论从宏观还是微观上看无不遵循美的创造规律。难怪数学大师阿达玛认为，数学直觉的本质是某种“美感”或“美的意识”。 美感和美的意识是数学直觉的本质。庞加莱毕生追求“简单与宏远”，爱因斯坦看重宇宙的“统一与和谐”。历史上有许多学者、数学家对数学美从不同侧面作过生动的阐述。普洛克拉斯早就断言：“哪里有数，哪里就有美。”亚里斯多德也曾讲过：“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是“秩序、匀称和确定性”，这些正是数学所研究的原则。”数学美主要包括：对称性、简单性、统一性和奇异性，在解题过程中，数学美的思维能协调沟通代数与几何，已知和未知，部分和整体等对立面之间的互相联系，推动直觉的迅速实现。例如:已知半径为R的圆上有两点A、B，AB=a (a2R)，试确定点C任于圆上何处时AC2+BC2取最大值，并求出最大值(如右图)分析：由于圆是对称图形，美的直觉告诉我们，当点C任于优弧AmB的中点时，AC2+BC2将最大。四、增强思维整体意识。注重整体洞察，培养学生的整体直觉思维和观察能力。直觉思维不同于逻辑思维，直觉思维是综合的而不是分析的，它依赖于对事物全面和本质的理解，侧重于整体上把握对象而不拘泥于细节的逻辑分析，它重视元素之间的联系、系统的整体结构，从整体上把握研究的内容和方向。观察是信息输入的通道，是思维探索的大门。没有观察就没有发现，更不能有创造。中学数学教学中图形的识别，规律的发现以及理解能力、记忆能力、抽象能力、想象能力和运算能力等都离不开观察。在观察之前，要给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求。指导学生从整体上观察研究对象的特征，比如对于三角问题指导学生从角、函数名和形式进行观察，注意帮助学生养成自问和反思的习惯，努力培养学生浓厚的观察兴趣。在数学计算中经常用整体代换，整体变形等整体化处理方法，来理解和认识问题的实质。这是培养直觉思维能力的良好途径。例如x2x1=0计算x3+2x2+2002的值分析：由求根公式可直接求出x，然后代入求值，其过程的复杂程度，是可想而知的，若把x2x=1整体代入求值，则得到事半功倍的效果，这样就能很快计算出本题的答案：x3+2x2+2002=2003五、注意直观教学感性直观不等于直觉，但它是直觉思维形成的基础。当前，教学的直观性原则在一些教育环节上有被忽视的倾向。在教学过程中过于强调数学的抽象性和运算性，忽视了在学生头脑中建立相应的数学图象。这样做的结果是，一些好的学生只能由题目的已知条件求答案，而画不出相应的数学图形；许多学生缺乏数学空间直觉，没有清晰的智力图象，不善于从感性具体出发建立抽象概念，也不善于将抽象概念变成直观而浅显的智力图象。直观教学分为实物直观、语言直观、模象直观，数学教学中广泛应用的是模象直观所谓模象，就是指实际事物的模型和图象模象直观在形成学生的感性知识以及由感性知识向理性知识的过渡中具有独特作用。模象直观是人为的，可以摆脱实物直观的种种局限，使学生获取在实际生活中难以接触的客观事物的具体知识，逐步形成空间直觉的能力。特别是在立体几何教学中，较好地使用直观教具，准确地绘制几何图形，是形成直觉思维能力的基础，