高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件 理.ppt

第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式 知识梳理 1 同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 2 商数关系 sin2x cos2x 1 2 三角函数的诱导公式 sin sin sin cos cos cos cos cos sin sin tan tan tan 特别提醒 1 诱导公式的记忆口诀奇变偶不变 符号看象限 2 特殊角的三角函数值表 小题快练 链接教材练一练1 必修4p21习题1 2a组t12改编 已知tan 3 则cos2 sin2 解析 由同角关系得cos2 sin2 答案 2 必修4p29习题1 3b组t2改编 已知则sin 解析 因为所以sin 答案 感悟考题试一试3 2016 合肥模拟 sin585 的值为 解析 选a 因为sin585 sin 360 225 sin225 sin 180 45 sin45 4 2016 重庆模拟 设tan 5 m 则的值为 解析 选c 因为tan 5 m 所以tan m 5 2016 陕西师大附中模拟 若sin tan 0 则cos 解析 由已知 在第三象限 所以答案 考向一同角关系的应用 典例1 1 2015 唐山模拟 已知sin cos 则tan 2 已知 abc中 sina cosa 则tana 解题导引 1 将已知两边平方转化为关于tan 的方程求解 2 根据同角关系解方程组 求解 规范解答 1 选a 因为所以所以sin2 2sin cos 2cos2 3 所以2tan2 2tan 1 0 所以tan 2 列出方程组由第一个方程得 cos sin 代入第二个方程得即得sina 或sina 因为 abc中00 所以tana 答案 一题多解 解答本题 还有以下解法 由已知得sina 0 cosa 1 由sina cosa 两边平方 整理得 分子分母同除以cos2a得解得tana 答案 规律方法 同角关系的两个基本题型 1 已知正切值 求正弦和余弦的齐次式的值 整式的分母换成1 再用平方关系 构造出分子 分母都是关于正弦 余弦的齐次式 把分子分母同除以余弦的齐次幂 转化为一个关于正切的分式 代入已知的正切值可解 2 已知正 余弦求值 已知正弦和余弦的表达式的值求值 关键是通过平方关系 在sin cos sin cos sin cos 之间建立联系 比如设sin cos t sin cos sin cos 注意根据角的范围选择正负号 或者 解这些题目的最基本方法是解关于sin cos 的方程组 解得sin cos 的值 易错提醒 1 平方关系最多使用一次 注意开方时正负号的选取 2 解方程组时 注意三角函数的符号 不要产生增解 变式训练 2015 广东高考 已知tan 2 1 求的值 2 求的值 解析 1 加固训练 1 2016 郑州模拟 已知tan 2 则的值为 解析 选b 由 分子分母同除以cos 得 2 已知 是第二象限的角 tan 则cos 解析 因为 是第二象限的角 所以sin 0 cos 0 由tan 得cos 2sin 代入sin2 cos2 1中 得5sin2 1 所以答案 3 已知则tan 解析 由所以tan 2 答案 2 4 已知sin cos 0 则tan 解析 两边平方得cos2 sin2 2sin cos 2 所以sin2 1 所以tan 1 答案 1 考向二诱导公式及应用 典例2 1 2016 黄冈模拟 设cos 36 k 那么tan2016 2 2016 广州模拟 已知那么cos 解题导引 1 先利用同角关系求出sin36 的值 再利用诱导公式化简求解 2 利用诱导公式化简求解 规范解答 1 选a sin36 所以tan2016 tan 360 5 216 tan216 tan 180 36 tan36 2 答案 母题变式 1 若本例题 2 条件变为求cos 解析 因为sin 所以 sin 所以sin 所以cos 2 若本例题 2 条件不变 求tan 解析 由例题解析知cos 所以 在第一 四象限 当 在第一象限时 sin 此时tan 当 在第四象限时 sin 此时tan 规律方法 1 求任意角的三角函数值的步骤负角化正角 正角化锐角 最后求值 2 化简三角函数式的基本思路分析结构特点 选择恰当公式 观察角的关系 获得最简形式 项数尽可能少 次数尽可能低 结构尽可能简单 能求值的要求值 变式训练 已知sin 3 求的值 解析 因为sin 3 sin 所以sin 原式 加固训练 1 2016 福州模拟 已知sin10 a 则sin70 等于 a 1 2a2b 1 2a2c 1 a2d a2 1 解析 选a 由题意可知 sin70 cos20 1 2sin210 1 2a2 2 已知cos 且角 在第四象限 计算 1 sin 2 2 n z 解析 因为cos 所以 cos cos 又角 在第四象限 所以 1 sin 2 sin 2 sin sin 考向三同角关系和诱导公式的综合应用 典例3 2016 兰州模拟 已知3cos2 x 5cos 1 求6sinx 4tan2x 3cos2 x 的值 解题导引 将已知条件化简 求出sinx cos2x tan2x 而后代入化简后的所求式求解即可 规范解答 由已知得3cos2x 5sinx 1 即3sin2x 5sinx 2 0 解得sinx sinx 2舍去 这时故6sinx 4tan2x 3cos2 x 规律方法 三角函数的化简与求值问题的解题方法 1 求值 给角求值 用诱导公式遵循 负化正 正化小 到锐角 的一般步骤求值 给值求值 先用诱导公式统一角 再用同角关系求值 给值求角 先确定要求的那个角的一个三角函数的单调区间 然后求这个角的三角函数值 最后根据三角函数图象或定义求角的值 2 化简的常用方法 弦切互化法 主要利用商数关系tan 进行弦化切 或切化弦 如 asin2x bsinxcosx c cos2x的类型要弦化切 和 积转化法 如利用 sinx cosx 2 1 2sinxcosx的关系变形 转化 巧用 1 的代换 1 sin2x cos2x tan 变式训练 2016 唐山模拟 已知 为钝角 则sin cos 解析 因为 为钝角 所以所以所