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点击中考压轴题中的运动变化问题张宇石近几年的中考压轴题，涉及运动变化的试题频频出现。运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系。解题的关键是分清几何元素运动的方向和路径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些是不变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、相似三角形、方程、函数等知识解决。本文结合2006年的中考试题，进行分类归纳并对其解法进行研究，以揭示解决此类问题的方法和规律。一、单点运动例1.（2006长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数y=x，的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ/x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与OAB重叠部分的面积为S。（1）求点A的坐标。（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN和OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是_。解：（1）由，可得A（4，4）。（2）点P在y=x上，OP=t，则点P坐标为（）。点Q的纵坐标为，并且点Q在上。点Q的坐标为（）PQ。当当时，当点P到达A点时，当时，（3）有最大值，最大值应在中，当时，S的最大值为12。（4）二、双点运动例2.（2006广安）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B，且。（1）求抛物线的解析式。（2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动。移动开始后第t秒时，设，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由。解：（1）据题意知：A（0，2），B（2，2）A点在抛物线上，由AB=2知抛物线的对称轴为：x=1即：抛物线的解析式为：（2）由图象知：即假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形。这时，BQ=0.8，P（1.6，2），Q（2，1.2）分情况讨论：A）假设R在BQ的右边，这时，则：R的横坐标为2.4，R的纵坐标为1.2，即（2.4，1.2）代入，左右两边相等这时存在R（2.4，1.2）满足题意。B）假设R在BQ的左边，这时，则：R的横坐标为1.6，纵坐标为1.2，即（1.6，1.2）代入，左右两边不相等，R不在抛物线上。C）假设R在PB的下方，这时，则：R（1.6，2.4）代入，左右不相等，R不在抛物线上。综上所述，存在一点R（2.4，1.2）三、直线运动例3.（2006锦州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），AOC=60，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）。（1）求A、B两点的坐标；（2）设OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（），试求S与t的函数表达式；（3）在题（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？解：（1）四边形OBABC为菱形，点C的坐标为（4，0）OA=AB=BC=CO=4。过点A作ADOC于D。AOC=60，OD=2，。A（2，），B（6，）。（2）直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：时，直线l与OA、OC两边相交（如图）。MNOC，ON=t。当时，直线l与AB、OC两边相交（如图）。当时，直线l与AB、BC两边相交（如图）设直线l与x轴交于点H。，。，（3）由（2）知，当时，；当时，；当时，配方得，当t=3时，函数。但t=3不在内，在内，函数的最大值不是。而当t3时，函数随t的增大而减小，当。综上所述，当t=4秒时，。四、三角形运动例4.（2006青岛）如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，C=90，EG=4cm，EGF=90，O是EFG斜边上的中点。如图，若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在EFG平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移。设运动时间为x(s)，FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）。（1）当x为何值时，OP/AC？（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由。（参考数据：）解：（1）RtEFGRtABC，。当P为FG的中点时，OP/EG，EG/AC，OP/AC。当x为1.5s时，OP/AC。（2）在RtEFG中，由勾股定理得：EF=5cm。EG/AH，EFGAFH。过点O作ODFP，垂足为D。点O为EF中点，。，（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与ABC面积的比为13：24。则0x3，当时，四边形OAHP面积与ABC面积的比为13：24。五、矩形运动例5.（2006南安）如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3，AD=5。若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动。同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿ABCD的路线作匀速运动。当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动。（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；（2）设P点运动时间为t（秒）。当t=5时，求出点P的坐标；若OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）。解：（1）P点从A点运动到D点所需的时间=（秒）（2）当t=5时，P点从A点运动到BC上，此时OA=10，ABBP=5，BP=2过点P作PEAD于点E，则PE=AB=3，AE=BP=3点P的坐标为（12，3）。分三种情况：（i）当时，点P在AB上运动，此时OA=2t，AP=t（ii）当时，点P在AB上运动，此时OA=2t（iii）当8t11时，点P在CD上运动，此时OA=2t，综上所述，s与t之间的函数关系式是：当时，；当时，s=3t；当8t11时，六、圆的运动例6.（2006南昌）已知抛物线，经过点A（0，5）和点B（3，2）（1）求抛物线的解析式；（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，问P在运动过程中，是否存在P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若Q的半径为r，点Q在抛物线上、Q与两坐轴都相切时求半径r的值。解：（1）由题意，得解得抛物线的解析式为（2）当P在运动过程中，存在P与坐标轴相切的情况。（如图1）图1设点P坐标为（，）则当P与y轴相切时，有由P1（1，10），由，得P2（1，2）当P与x轴相切时有抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方。y0=1由，得，解得，B（2，1）综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：P1（1，10），P2（1，2），P3（2，1）（3）设点Q坐标为（x，y），则当Q与两条坐标轴都相切时（如图2），有由y=x得，即，解得；