111正弦定理教学案例.doc

必修五第一章1.1.1正弦定理教学案例华宁一中 王光照说明：2010-2011学年我上高三的课，2011-2012学年学校安排我上高二数学课，第一次上新教材就从必修五开始，这是我上新教材的第一节课，我做了很多准备工作，查阅了很多资料，请教了同组教师，按照“课例问题分析”写了这个教学案例。一、教学内容分析：普通高中课程标准数学教科书数学(必修5)(人教A版)第一章解三角形：“正弦定理和余弦定理”的第1课。“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。解三角形作为几何度量问题，应突出几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解决简单的三角形度量问题。教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力。二、学生学习情况分析：由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关，教学中若能注意课程与生活实际的联系，注重知识的发生过程，定能激起学生的学习兴趣。当然本课涉及代数推理，定理证明中可能涉及多方面的知识方法，综合性强，学生学习方面有一定困难。三、设计思想：传统教学中，定理教学中有一种简单的处理方式：简单直接的定理呈现、照本宣科的定理证明，然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课从实际问题出发，引入数学课题，最后把所学知识应用于实际问题。本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下： 四、教学目标：知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。五、教学重点与难点分析：重点：是正弦定理的探索、证明及其基本应用。难点：是正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。六、教学过程设计：（一）创设情境: 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=. 求A、B两点的距离(精确到0.1m). 引出：解三角形已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。设计意图：从实际问题出发，引入数学课题。师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少？生：，“大角对大边，大边对大角” 师：“abc ABC”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？引出课题：“正弦定理设计意图：从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。（二）猜想、实验：1、发散思维，提出猜想：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可能存在哪些关系？（学情预设：此处，学生根据已有知识“abc ABC”，可能出现以下答案情形。如这种错误。） 设计意图：培养学生的发散思维，猜想也是一种数学能力2、研究特例，提炼猜想：考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，提炼出 3、实验验证，完善猜想：这一关系式在一般的三角形中是否成立呢？教师用几何画板演示，师生一起得出猜想，即在任意三角形中，有。设计意图：着重培养学生对问题的探究意识和动手实践能力（三）证明探究：对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维。如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢？1、 特殊入手，探究证明 ： 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,， 根据锐角的正弦函数的定义，有，又, 则 ，从而在直角三角形ABC中，。2、推广拓展，探究证明 ： 问题2：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示 “a与、 b与sinB”的关系呢？ 探究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？ 学情预设：此处，学生可能出现以下答案情形。学生对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新，可能通过以下三种方法构造直角三角形。生1：如图1，过 C作BC边上的线CD，交BA的延长线于D，得到直角三角形DBC。生2：如图2，过A作BC边上的高线AD，化归为两个直角三角形问题。经过师生讨论指出：方法2，简单明了，容易得到“c与、 b与sinB”的关系式。知识链接：根据化归这一解决数学问题的重要思想方法，把锐角三角形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题是自然不过的。 图1 图2问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业）（四）理解定理、基本应用：1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即问题4、定理结构上有什么特征，有哪些变形式？ （1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。 （2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。 从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。 2、例题分析例1在中，已知，cm，解三角形。评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2在中，已知，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课后思考：已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？为什么？3、课堂练习：（1）、引例（2）、教材P4练习1、2设计意图：设计二个课堂练习，练习（1）目的是首尾呼应、学以致用；练习（2）巩固正弦定理的简单应用（选用正弦定理的两种情况）（五）课堂小结：问题5：请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。生1：原来我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了师：通过本课学习，你发现自己更强大了。生2：公式很美。师：美在哪里？生2：体现了公式的对称美，和谐美在同学们的热烈讨论的基础上，用课件展示小结：1、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律,据此，可以用角的正弦替代对边，具有美学价值.2、利用正弦定理解决三类三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。（3）实现边与角的正弦的互化。设计意图：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。（六）作业布置：1、书面作业：P10习题1.1 1、22、研究类作业：1）在ABC中，研究k的几何意义2）已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？设计意图：分散难点，循序渐进，在课后让学生先行思考，后面可适当探究。七、教学反思：1、个人情况分析：自2002年工作以来，个人比较刻苦，学校安排我连续6年的高三教学，对复习课较为熟练，但是对新授课显得很生疏，办法不多。今年我第一次教新教材就从必修5开始，对新教材的理念没有深入领会，提前参加了新课程的培训，感觉自己在新授课上应该摸索，大胆创新，不能把新课上成复习课，所以我努力学习新的理念，乘着改革的东风，提高自己的专业技能。2、今年我带的理科2班是我校的两个理科优班之一，基础相对其他平行班稍好一点，我在本节课就新课程理念下定理教学课的课堂模式，做了一些探索。以问题解决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用实验探究、自主学习的研究性学习方式，重点放在定理的形成与证明的探究上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值，培养学生的思辨能力。改变了定理教学中简陋的处理方式（简单直接呈现、照本宣科证明，大剂量的“复制例题”式的应用练习）。3、“用教材教，而不是教教材”，尽管教材中对本课知识方法的要求并不高，只介绍了通过作高将一般三角形变换为直角三角形，再将三角比变换得到等式的化归方法，但教学不仅是忠实执行课程标准，而且是师生共同开发课程，将教材有机裁剪，并融入个性见解的过程。如在正弦定理的证明探究中，学生完全可能围绕“如何构造直角三角形？”，本课设计充分预设各种课堂生成，尽量满足不同思维层次学生的需求。4、突出数学的本质。正弦定理的本质是“定量地描写三角形边角之间的关系”，是“大角对大边，小角对小边”的定量化。但量、算、猜不能代替数学思考与逻辑证明，而定理的证明实质是：用垂直做媒介，将一般三角形化为直角三角形处理。本课设计既讲类比联想，又讲逻辑推理，让学生知其然，知其所以然。5、来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点：首先，从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此，本教案紧紧地抓住高二学生的这一特征，利用“正弦定理的发现和证实”这一富有挑战性和探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。 其次，以问题为导向设计教学情境。“问题是数学的心脏”，本节课数学情境的设计处处以问题为导向：“怎样调整发射角度呢？”、“我们的工作该怎样进行呢？”、“我们的根