函数模型及其应用.doc

选择题某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为（）A、 B、C、 D、D设两年的平均增长率为,则有，解得,故选D.本题考查：本题主要考查学生阅读理解能力选择题在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( )A预报变量在轴上，解释变量在轴上B解释变量在轴上，预报变量在轴上C可以选择两个变量中任意一个变量在轴上D可以选择两个变量中任意一个变量在轴上B通常把自变量称为解释变量,因变量称为预报变量.选择题已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是( ).A.x=60tB.x=60t +50tC.x= D.x= D到达B地需要小时，所以当0t2.5时，x60t； 当2.5t3.5时，x150； 当3.5t6.5时，x15050(t3.5)选择题根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟) 为f(x) =(A. c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c 和A的值分别是( ).A.75，25 B.75，16 C. 60，25 D. 60，16D由条件可知,xA时所用的时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即f(4) =30c =60，f(A) =15A=16，选D.选择题假设从城市甲到城市乙通话x min的电话费(单位：元)由f(x) = 1.06 (0.50 x +1) 确定，其中x0，x是大于或等于x 的最小整数,如2 =2，2.8 =3，3.1 =4，则从城市甲到城市乙通话时间为5.5 min的话费为( ). A.3.71 元B.3.97 元C.4.24 元D.4.77 元Cf(x)1.06(0.50 x 1)，x5.5，5.56，f(x)1.06(0.5061)4.24选择题三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：x0.61.01.41.82.22.63.03.4y11.5122.643.484.66.06810.6y20.3611.963.244.486.67811.6y3-0.700.490.851.141.381.591.77关于x呈指数函数变化的变量有( ).A. y1 B. y2 C. y3 D. y1,y2，y3A由表格数据可知对于y1中的每一个值均大于1，从而底数al，而y2中有小于1的数，y3中有小于零的数，均不能作为指数函数选择题将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，该商品若每个涨(降)1元，其销售量就减少(增加)20个，为获得最大利润，售价应定为( ).A. 92 元 B. 94 元C. 95 元 D. 88 元C设涨(降)x元，则利润y(10x)(40020x)20(x5)24 500(xZ且l0x20)当x5时，y最大，此时售价为90595(元)选择题某种商品的销售价格与销售量成反比，若其销售价格增加了a，则其销售量减少了( ).A. B. C. D. D令，销售价格没有增加以前，销售价格增加a%后，价格为x1x1a%，此时的销售量为，故销售量减少的百分比选择题按复利计算利率的储蓄，存入银行5万元，年利率为6，利息税为20，4年后支取，可得利息税为人民币( ).A. 5(1+0. 06)4 万元B. (5 +0. 06)4 万元C.(1 +0. 06)4-1万元D.(1+0.06)3-1万元C利息为 5(16%)45万元，利息税为5(16%)4520%(10. 06)41万元选择题某企业的产品成本前两年平均每年递增20%，经过改进技术，后两年产品成本平均每年递减20，那么该企业的产品成本现在与原来相比( ).A. 不增不减 B.约增8C.约减8 D.约减5C设原成本为a0，现成本为a，依题意得aa0 (1 20%)2(120%)2，故现成 本与原来相比，变化选择题某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长10.4，若经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y=f(x)的大致图象是下图中的( ).D设某林区的森林蓄积量原有1个单位，则经过1年森林的蓄积量为110. 4%； 经过2年森林的蓄积量为(110.4%)2；经过x年的森林蓄积量为(110.4%)x(x0)， 即y1.104x(x0)因为底数1.104大于1，根据指数函数的图象，故应选D选择题以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，则水深h与时间t的函数关系是( ). B水深h增长的速度越来越快选择题某工厂在2002年底制订生产计划，要使2012年底的总产值在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率应为( ).A. -1 B.-1 C.-1 D.-1 B2012年底的总产值在2002年底总产值基础上翻两番，设2002年底总产值为a， 4aa(1x)10，选择题某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆.若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( ).A. y =0. 2x(0x4 000)B. y =0. 5x(0x4 000)C. y=-0. 1x + 1 200(0x4 000)D. y=0. 1x + 1 200(0x4 000) C由题意得y0.3(4 000x)0.2x0.lx1 200选择题某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗 A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）.A.1800元 B.2400元 C.2800元 D.3100元C设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元/天，则由已知，得z=300x+400y，且画可行域如图阴影部分所示.目标函数z=300x+400y可变形为，这是随z变化的一族平行直线.解方程组得即A（4,4）.填空题已知函数f(x)=若函数g(x) =f(x)-m有3个零点，则实数m的取值范围是 .(0，1)在坐标系内作出函数f(x)= 的图像，如图所示：发现当0m0，且b1)，且又知1994年大气中的CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？二次函数作为模拟函数较好现以1989年为参照年份若以f(x)px2qxr(p0)作为模拟函数，则依题意可列方程组解得，若以g(x)abxc(a，b，c为常数，b0且b1)作为模拟函数，则依题意可列方程组解得c3分别利用f(x)，g(x)对1994年CO2体积分数增加量作估算，则有：(可比单位)(可比单位)| f(5)16 | g(5)16 |，f(5)比g(5)更接近16，故选f(x)，即二次函数作为模拟函数较好解答题电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付电话费y(元)与通话时间x(min)之间的关系如图所示(实线部分). (1)若通话时间为2 h，按方案A、B各应付话费多少元？ (2)方案B从500min以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范内，方案B才会比方案A优惠？（1）A、B应各付话费116元和168元；（2）0.3元；（3）当x(,+)时，方案B才会比方案A优惠由图形提供的信息可知M、N、C、D四点的坐标，进而可以求分段函数表达式.由图可知 M(60，98)、 ( 500，230)、C( 500， 168 )、D(，230).由待定系数法，可得fA(x) = fB(x) = (1) fA (120) =116(元), fB(120) =168(元).通话时间为2 h时，方案A、B应各付话费116元和168 元.(2)当x500 时,f(x+ 1) -f(x) =0.3(元)，故方案B从500 min以后，每分钟收费0.3元.(3)由解得x = (min)，当x(,+)时，方案B才会比方案A优惠.解答题若函数f(x) =mx 2-x-2只有一个零点，试求实数m的取值范围.m=0或m = -所给的函数含有参数m，因此f(x)不一定是二次函数，应该对二次项系数是否为零进行讨论.若m=0，则f(x) = -x-2，显然f(x)只有一个零点-2.若m0，则f(x)=mx2-x -2是二次函数，若它只有一个零点，即方程mx2 -x-2 =0有两个相等的实数根，所以= 1 + 8m = 0.解得m = -.综上，可知当m=0或m = -时，函数f(x)只有一个零点.【点评】涉及函数y = ax2+bx + c的问题，因为没有指明这是二次函数，所以应该按照a = 0和a0进行分类讨论.解答题若函数f(x) = ax3+2(a0)在-6，6上满足f( -6) 1，f(6) 1，f(6) 1，f(6) 1，得f( -6) -1 f(6) -1 0,即g(6) g( -6) 0 时，g( x)是增函数；当a 0时，由二次函数图象知：a必须满足：(如图1)图1 图2此不等式组无解，即 当a 0时，由图2知：a必须满足：a0.【点评】本例的解答过程中有两个重要的转换，一是将四次方程转换成我们熟悉的二次方程，二是将二次方程的根转化为二次函数的零点.从而利用二次函数的图象和性质来确定零点所在区间应满足的条件，因此这里既有转换的思想方法，又有函数的思想方法的综合运用.解答题设x1、x2分别是关于x的二次方程ax2 + bx+ c= 0 和-ax2 + bx+ c=0的一个非零实根，且x1x2.求证：方程x2 + bx+ c= 0必有一根在x1与x2之间.见解析若设f(x)= x2+ bx + c.当f(x1) f(x2)0时，由函数零点意义知：方程x2+ bx + c= 0在区间(x1，x2)内至少有一根.因为x1、x2分别为方程似ax2 +bx + c =0和- ax2+ bx + c = 0 的一个非零实根.所以有设f(x)= x2+ bx + c，则f(x1) f(x2)= (+ bx1+ c)(+ bx2+ c)= (-a)(+ a)=-a20，所以方程x2+bx +c = 0必有一根在x1与x2之间.【点评】本题利用了函数零点的存在条件，结合方程去构造一个函数，再由已知条件来确定f(x1)f(x2) 的符号，这种利用函数思想去研究一元二次方程的问题会经常遇到，要认真体会.解答题某企业接到生产3 000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1 (单位：件). 已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数). (1)设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B,C三种部件生产需要的时间；(2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.见解析(1)设完成A，B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为T1(x)，T2(x)，T3(x)，由题设有T1(x) =，T2(x) =，T3(x) = ，其中x，kx，200-(1 +k) x均为1到200之间的正整数. (2)完成订单任务的时间为f(x) =max T1 (x)，T2(x)，T3(x) ，其定义域为 x | 0 x, x N*.易知，T1 (x)，T2(x)为减函数，T3(x)为增函数.注意到T2(x) = T1 (x),于是 当k=2 时，T1 (x)=T2(x)，此时f(x) =max T1 (x)，T3(x) = max,， 由函数T1 (x)，T3(x)的单调性知，当=时f(x)取得最小值，解得x=.由于4445，而f(44) =T1(44) =，f(45) =T3(45)= ，f(44) 2时，T1 (x)T2(x) ，由于k为正整数，故k3， 此时 T(x) =，(x) =max T1(x)，T(x)易知T(x)为增函数，则f(x) = max T1 (x)，T3(x)max T1 (x)，T(x) =(x)= max ，. 由函数T1 (x)，T(x)的单调性知，当=时(x)取得最小值，解得x=.由于36,(37)= T(37)= , 此时完成订单任务的最短时间大于. 当k2时, T1 (x)0)表本的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3. 2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.见解析(1)在y= kx-(1 +k2)x2(k0)中，令 y=0，得 kx -(1 +k2)x2=0.由实际意义和题设条件知x0，k 0.x= 10，当且仅当k = 1时取等号.(2k=2)炮的最大射程是10千米. (2) a0，炮弹可以击中目标等价于存在k 0，使kx-(1 +k2)a2=3.2 成立，即关于k的方程a2k2 -20ak + a2+64=0有正根.由 = ( -20a)2-4a2 (a2 + 64)0 得a6.此时，(不考虑另一根).当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标.解答题海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图.现假设：失事船的移动路径可视为抛物线y = x2;定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t. (1)当t= 0. 5时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？见解析(1)t=0.5时，P的横坐标xp=7t =，代入抛物线方程y =x2，得P的纵坐标yp= 3.由|AP| =，得救援船速度的大小为海里/时.由tanOAP =，得OAP = arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度. (2)设救援船的时速为海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t，12t 2).由t=，整理得2 =144(t2+ )+337.因为t2+= (t-)2+2，所以t2+2，当且仅当t = 1时等号成立，所以2144 2+337 =252，即25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.解答题提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20x200时，车流速度是车流密度x的一次函数.(1)当0x200时，求函数(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)= x(x) 可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)（1） (x) = ；（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时(1)由题意：当0x20时，(x) =60;当20x 200 时，设 (x) =ax + b，显然(x)= ax + b在20，200 是减函数，由已知得解得故函数(x) 的表达式为 (x) = (2)依题意并由(1)可得f(x) = f(x)在20，200上是连续函数，当0x20时，f(x)为增函数，故当x=20时，其最大值为6020 =1 200； 当20x200 时，f(x)= x(200 -x) =-( x-100)2+.当且仅当x=100时，等号成立. 所以，当x = 100时，f(x)在区间20，200上取得最大值.综上，当x = 100时，f(x)在区间0，200上取得最大值3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时.解答题如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动，速度 (0)，雨速沿E移动方向的分速度为c( c R). E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1) P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|-c|S成正比，比例系数为; (2)其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d = 100，面积S =时， (1)写出y的表达式；设010，0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量y最少. （1） y=（|-c |+）=(3 |-c|+ 10)；（2）见解析(1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为|-c |+，故y=（|-c |+）= (3 |-c|+ 10).(2)由(1)知：当 0c时，y = (3c- 3 + 10)= -15;当 c10 时，y =(3-3c+ 10) =+15.故y = 当0c时，y是关于的减函数，故当 = 10时，ymin=20-.当c5时，在(0，c上，y是关于的减函数;在(c，10上，y是关于的增函数，故当 = c时，ymin=.解答题某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当宾馆的床价(即每天的租金)不超过10元时可以全部租出，当床价超过10元时，每提高 1元，将有3张床位空闲.为了获得较好的利润，该宾馆要给床位定一个合理的价格，条件是： 要方便结账，床价应是1元的正整数倍;该宾馆每日的费用支出为575元，床位的收入必须高于支出.若用x表示床价，y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入).(1 )把y表示成x的函数，并求出定义域.(2)该宾馆的床价定为多少元时，既符合上面两个条件，又能获得最大的净收入？（1） ；（2）当床价定为22元时，净收入最大，最大为833元解：(1)当x10，xN时，yl00x575又y0，得x6当x1，xN时，y1003 (x10)x5753x2 130x575又y0，得x38 (2) 当6x10，xN时，当x10时，ymax425 当11x38，xN时，当x22时，yma833故当床价定为22元时，净收入最大，最大为833元解答题我国某种南方植物生长时间(单位：年)与高度(单位：米)如下表所示：生长时间24589高度2.013.013.54.995.47(1)试猜测生长时间与高度之间的函数关系，并近似地写出一个函数关系式.(2)利用关系式估计该植物长成高50米的参天大树需要多少年？（1） y0. 492 5x1.037 5(xN*)；（2）100年解：(1)设生长时间为x年，高度为y米，根据表格中的数据，在直角坐标系中进行描点，如答图15，从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择一次函数建立数学模型 故所求的函数关系式可设为ykxb(其中k，b待定，xN*) 把直线通过的两点(5，3. 50)和(9，5.47)代入上式，得方程 解得 因此，所求的函数关系式为y0. 492 5x1.037 5(xN*)分别将x2，x4，x8代入上式，得y的相应值分别为2. 022 5，3.007 5，4.977 5，与实际值相比，误差不超过0.02米，因此建立的函数模型能反映该植物生长时间与高度之间的函数关系(2)令0.492 5x1.037 5 50，解得x100，即该植物大约要过100年才能长成高50米的参天大树解答题甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算,对于函数f(x)= + 11，g(x) =+ 21(x0)，f(0)表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司 至少要投入f(0)万元的宣传费才能回避失败的风险 ，g(x)表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司至少要投入g(0)万元才能回避失败的风险.当甲公司投入x万元的宣传费时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败风险;当乙公司投入x万元的宣传费时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司有失败的风险.甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问：此时甲、乙两公司各应投入多少宣传费？甲公司至少投入25万元，乙公司至少投入16万元解：用x表示甲公司投入的宣传费，用y表示乙公司投入的宣传费，根据题意，当 时，乙公司无失败的风险；当时，甲公司无失 败的风险 在同一直角坐标系中作出曲线，则双方均无风险的区域如图所示 解方程组 由得xy222y121，代入得 令，得t422 t2t1000， 故(t422 t296)(t4)(t216)(t26)(t4)(t4)(t4)(t26)10 ，(t4)(t26)10， t40t4，y16，代入得x25故要使双方均无失败风险，则甲公司至少投入25万元，乙公司至少投入16万元解答题一根弹簧原长15 cm，已知在20 kg内弹簧的长度与所挂物体的质量呈一次函数关系.现测得所挂物体质量为4 kg时，弹簧长度为17 cm，问：当弹簧长度为22 cm时，所挂物体的质量是多少千克？14kg解：设所挂物体的质量为x kg(0x20)，弹簧长度为y cm， 依题意可设ykxb(k0) 当x0时，y15，当x4时，y17， 解得 当y22时，x14答：当弹簧长度为22 cm时，所挂物体的质量是14 kg解答题某人定制了一批地砖.每块地砖(如左图所示)是边长为0. 4 m的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE，ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE，ABE和四边形的AEFD三种材料每平方米价格之比依次为3： 2：1.若将此种地砖按如右图所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH. (1)求证：四边形EFGH是正方形； (2)E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？（1） 见解析；（2）当CE= CF=0.1时，总费用最省(1)证明：右图是由四块图3 -2-4所示的地砖绕点C连续三次按顺时针旋转90后得到的，CFE为等腰直角三角形，四边形EFGH是正方形. (2)解：设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，制成CFE，ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a. 2a. a(单位：元)，则 W = x2 3a + 0. 4(0. 4-x) 2a + 0.16 - x2-0.4 (0. 4 -x) a =a(x2-0.2x+0.24) =a(x-0. 1)2 +0. 23，0x0得，当x=0. 1时，W有最小值，即总费用最省.当CE= CF=0.1时，总费用最省.【点评】本题考查平面几何的知识以及二次函数在有限区间上的最值问题，考查对实际问题的理解以及解决应用问题的能力.解答题某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.39 1.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0 250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算.请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字).见解析设投资额为x万元时，获得的纯利润为y万元在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示. 观察散点图可知图象接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资 B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系设二次函数的解析式为 = - a(x-4)2+2( a 0);次函数的解析式为y = bx. 把x = 1，y = 0. 65 代入y=-a(x -4)2+ 2(a 0)，得0.65= -a(1 -4)2+2，解得a=0. 15. 故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y=-0. 15(x -4)2+2表示. 把x=4 ,y= 1 代入 y =bx, 得 b=0. 25， 故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y=0. 25x表示. 令下月投入A,B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元时，总利润为W万元，得W= yA+yB = -0. 15(xA-4)2 +2+0.25xB，其中xA+xB=12. 则W=-0.15(xA-)2+0.15 +2.6(0xA12). 则当xA=3.2(万元)时，W取得最大值，0.15()2 + 2. 6 4. 1 (万元)，此时，xB = 12 -8. 8(万元). 即投资A种