高中数学 探究导学课型 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例课件 新人教版必修4.ppt

2 5平面向量应用举例 自主预习 主题1 平面几何中的向量方法1 要判断ab cd 从向量的角度如何证明 提示 证明即 0即可 2 你能总结出教材中例1解决问题的步骤吗 提示 分三步 第一步 用向量的模表示平行四边形对角线的长与两条邻边的长度 第二步 利用向量的模与数量积的关系 寻找平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系 第三步 根据向量模的关系 得到平行四边形的对角线的长度和两条邻边长度的关系 总结以上探究过程 试着写出用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 1 2 3 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉 及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 把运算结果 翻译 成几何关系 主题2 向量在物理中的应用 自主认知 1 物理中力的合成与分解体现了向量的哪种运算 提示 物理中的力可以看成向量 力的合成与分解体现了向量的加法运算与减法运算 2 向量方法解决物理问题的步骤是什么 提示 1 把物理问题转化为数学问题 2 建立以向量为主的数学模型 3 求出数学模型的解 4 根据数学模型中的解 解释相关的物理现象 总结以上探究过程 试写出向量在物理学中的应用 1 由于物理学中的力 速度 位移都是矢量 它们的分解与合成与向量的减法和加法相似 可以用向量的知识来解决 2 物理学中的功是一个标量 即为力f与位移s的数量积 即w f s 为f与s的夹角 f s cos 深度思考 结合教材p110例2你认为用向量方法解决平面几何问题应分哪几步 第一步 第二步 第三步 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题 中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 把运算结果 翻译 成几何关系 预习小测 1 在 abc中 已知a 4 1 b 7 5 c 4 7 则bc边的中线ad的长是 解析 选b bc中点为所以所以 2 已知a b c d四点的坐标分别为 1 0 4 3 2 4 0 2 则此四边形为 a 梯形b 菱形c 矩形d 正方形 解析 选a 所以共线 但故此四边形为梯形 3 已知a 1 2 b 2 3 c 2 5 则 abc的形状为 解析 因为 2 1 3 2 1 1 2 1 5 2 3 3 所以 1 3 1 3 0 所以且所以 abc是直角三角形 答案 直角三角形 4 若向量分别表示两个力f1 f2 则 解析 因为所以f1 f2 0 5 所以 5 答案 5 5 一物体受到相互垂直的两个力f1 f2的作用 两力大小都为5n 则两个力的合力的大小为 解析 根据向量加法的平行四边形法则 合力f的大小为答案 n 备选训练 如图 平行四边形abcd中 已知ad 1 ab 2 对角线bd 2 则对角线ac的长为多少 仿照教材p109例1的解析过程 解析 设而所以5 2a b 4 所以a b 又 2 a b 2 a2 2a b b2 1 4 2a b 6 所以即ac 互动探究 1 若向量则一定有ab cd吗 提示 不一定 若向量则ab与cd共线或ab cd 2 求夹角问题常用向量的夹角公式 向量的夹角与直线ab cd的夹角相等吗 提示 不一定 直线ab cd的夹角范围是当的夹角是锐角或直角时 即为直线ab与cd的夹角 否则是直线ab与cd的夹角的补角 3 向量数量积运算的物理背景是什么 提示 向量数量积运算的物理背景是力做功的计算 4 用平面向量可解决物理中的哪些问题 试举例说明 提示 1 与力有关的问题 2 与速度有关的问题 探究总结 知识归纳 方法总结 向量法解决几何问题的两个方向 1 几何法 选取适当的基底 基底中的向量尽量已知模或夹角 将题中涉及的向量用基底表示 利用向量的运算法则 运算律或性质计算 2 坐标法 建立平面直角坐标系 实现向量的坐标化 将几何问题中的长度 垂直 平行等问题转化为代数运算 题型探究 类型一 向量在几何中的应用 典例1 1 已知 abc中 a 60 bc a ac b ab c ap是bc边上的中线 则ap的长为 2 如图 已知rt oab中 aob 90 oa 3 ob 2 m在ob上 且om 1 n在oa上 且on 1 p为am与bn的交点 求ap 解题指南 1 的夹角是60 根据平行四边形法则和两个向量共线的条件 可以用表示向量 2 设出的关系 把分别用和表示出来 求出参数 然后表示出 再求 即可 解析 1 选b 因为ap是bc边上的中线 所以向量所以即ap的长为 2 设则设因为 所以所以所以 延伸探究 1 本题例 2 条件不变 求 mpn 解析 设的夹角为 则又因为所以所以cos 又因为 0 所以 因为 mpn即为向量的夹角 所以 mpn 2 本题例 2 条件变为 等腰rt oab中 oa ob 2 d是bo的中点 e是ab上的点 且ae 2be 求证ad oe 证明 如图 以o为坐标原点 以oa ob所在的直线为x轴 y轴建立坐标系 则a 2 0 因为ao bo 所以b 0 2 因为d是bo的中点 所以d 0 1 所以 0 2 2 0 2 2 规律总结 1 利用向量解决几何问题的常用思路及平行四边形的证明方法 1 常用思路 把已知问题转化为向量的形式 再通过相应的向量运算去完成 同时 引入平面向量的坐标可以使向量的运算代数化 让平面向量的坐标成为数与形的载体 2 向量法证明四边形是平行四边形的方法 一般是先选取一组基底 用基底表示出该四边形的一组对边 再证明该组对边所对应的向量相等或相反即可 2 利用向量解决几何问题的步骤及常见问题 1 向量法的步骤 转化 运算 翻译 2 向量法的思想 以 算 代 证 3 常见问题 线段或直线的平行问题 线段或直线的垂直问题 线段的长度及夹角问题 拓展延伸 几个常用结论 1 四边形abcd中 若则四边形abcd为平行四边形 2 平行四边形abcd中 若则四边形abcd为菱形 3 平行四边形abcd中 若 0 则四边形abcd为菱形 4 平行四边形abcd中 若则四边形abcd为矩形 5 平行四边形abcd中 若则四边形abcd为正方形 补偿训练 1 已知 a 2 b 2 向量a b的夹角为30 则以向量a b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为 a 10b c 2d 22 解析 选c 以向量a b为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为 a b 和 a b 因为 a 2 b 2且a b夹角为30 所以a b a b cos30 2 2 6 所以 a b 2 a 2 2a b b 2 2 2 2 6 22 4 故 a b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 2 2 2 6 22 28 所以 a b 2 2 已知o为 abc所在平面内一点 且满足求证 证明 设则由题设 化简得 a2 c b 2 b2 a c 2 得 c b a c 从而 b a c b c a c 0 所以 类型二 向量在物理中的应用 典例2 已知两恒力f1 3 4 f2 6 5 作用于同一质点 使之由点a 20 15 移动到点b 7 0 1 求f1 f2分别对质点所做的功 2 求f1 f2的合力f对质点所做的功 解题指南 物体在力f作用下的位移为s 则w f s f s cos 其中 为f与s的夹角 解析 1 7 0 20 15 13 15 w1 f1 3 4 13 15 3 13 4 15 99 j w2 f2 6 5 13 15 6 13 5 15 3 j 所以力f1 f2对质点所做的功分别为 99j和 3j 2 w f f1 f2 3 4 6 5 13 15 9 1 13 15 9 13 1 15 117 15 102 j 所以合力f对质点所做的功为 102j 规律总结 利用向量解决物理问题的思路及注意问题 1 向量在物理中的应用 实际上是把物理问题转化为向量问题 然后通过向量运算解决向量问题 最后用所获得的结果解释物理现象 2 在用向量法解决物理问题时 应作出相应图形 以帮助建立数学模型 分析解题思路 3 注意问题 如何把物理问题转化为数学问题 也就是将物理之间的关系抽象成数学模型 如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象 巩固训练 一质点受到平面上的三个力f1 f2 f3 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知f1 f2成120 角 且f1 f2的大小分别为1和2 求f1与f3所成的角 解题指南 先根据三个力的合力f1 f2 f3 0 然后计算f3的大小 最后求角 解析 由题意知f1 f2 f3 0 所以f3 f1 f2 如图 在平行四边形oacb中 1 2 oac 60 所以 12 2 1 2 cos60 22 3 所以 因为oa2 oc2 ac2 所以 aoc 90 即所以f1 f3 即f1与f3所成的角为90 拓展类型 向量在解析几何中的应用 典例 1 在直角坐标系xoy中 设 t 2 3 t 则线段bc中点m x y 的轨迹方程是 2 过点p 6 的直线l与x轴 y轴分别交于a b两点 若求直线l的方程 解析 1 由题意知 t 2 3 t 则b t 2 c 3 t 由中点