2013年全国高中数学联赛湖北赛区预赛.pdf

中等数学 年全国高中数学联赛湖北赛区预赛 中图分类号 文献标识码 文章编号 一 填空题 每小题分 共分 幺斤财 如夂则点 的轨迹方程为 设集合从集合 丨中取出五个不同 的数 使这五个数构成等差数列则得到不同的等 若 则集合的所 差数列的个数为 有元素之和为 已知四面体 的体积为 尺分 已知数列 丨丨满足 且 别是厶 的重心 过 作直线 分别与 仙 仏交于点则四棱锥体积的 则最大值为 设函数 已知互不相等的三个实数 成等比数 列 且 构成公差为 的等差数 列则 则方程 去的解集为 函数 则的最大值为 二 解答题 每小题分 共分 求函数 的值域 已知数列 丨 满足 设 则 的取值范围是 一 亡法占挪 证明 对 切的 有 设 为楠圆 的右焦点 过摘 圆外 一点 作椭圆的切线 切点为若 事实上 依题意知存在分别由 名 选手所组成的组 所以 总的组数不少于 作丄于点 则 另 一方面 由于 因为 押丄所以 而且已经把每名选手均算了两遍 于是 组数不可 即 为边的中点 能多于 因此 这名选手按上述两种分组 法 于是 供为线段 的垂直平分线恰分成个组 因此 接下来考虑由名选手所组成的组 不妨 五 将这 名选手分别按校籍与参赛学科分 设该组选手的校籍相同 因为所剩的组数 特别 组有的组仅由 一名选手组成 例如 来自某校的 是按学科所分的组数不超过个 所以组 中 只有人 每个人均属于两个组 一个是按校籍 至少有两名选手属于同 一个按学科所分的组 于 分的组 一个是按学科分的组 由题意知这 名 是 这两名选手的校籍和参赛学科均相同 选手按上述两种分法 一共分有 个组 李延林提供 年第期 求数列的通项公式 设 为椭圆 内 一定点 知 不在坐标轴上 过 的两条直线分别与椭圆交设 则 于点 和 且 证明 直线的斜率为定值 力 过点 作仙的平行线 与酬交于 五 两点 证明 点 平分线段 丑厂 结合二次函数的图像知 矣名贫要 彡巧 故 一 易得 故集合 的所有元素之和为设点则椭圆 的切线 的方程为 设知 故竽寻 又点 则 龙 而 于是 谇裔 即 当 时 方程艮 由式 消去后整理得 当时方程即又 从而 因此点 的轨迹方程为 在或 醜 方的解集为 其公差为 按关于模 的余数将集合 易知 题设函数为偶函数卞为其 一个周期 故 分成四类 只需求 时的最小值即可 当呻时 一 丄丄 易知 集合 各有八个元索集合 各 确定五项等差数列的关 键是 确定数列的首项 和末项 即分别从集合 中任取两个元 令 可知 矣及 素的排列 故得到 则 个不同的等差数列 卜 因此 当 子 时 取得最小 值 为 的中点 中等数学 因此 所求公差 不妨设咖否则 将丨 换为 即可则 用 矣 则仏 从仏 互 当且仅当 女 一 丄 舍时 等 号成立 而疏凉 于是 从而 的最大值为 二 易得函数的定义域为 彡 或 矣 易知 函数 是 上的增函数 于是 当 身时各 利用均值不等式得 当 矣 时 又 尺为厶此的重心 则 由 太矣 知 入 三後锥伽 一 因为 成等比数列 所以 于是 综上 由 为等差数列知 故函数 的值域为 用数学归纳法证明 当 而 结论显然成立 联立巧 士 并整理得 假设当时 成立 于是 乂叫 或 或二 则 当 时 舍去 时 此时 所求公 一 科 故 屯仆科 步八 当时 此时 所求 年第期 所以当时结论也成立 由点在椭圆上知 综上 对 一切的 有 知 乂 士 又 则裔減 于是 同理 义 竽 乂 一 士 又 递推可得 斤 得 故 因为 卢 易知 直线 不与坐标轴 设点 仏 平行 所以 二直 线仙的斜率为 欠 欠 从 则 定值 丨 故 代人椭圆方程堇理得 因为点 在椭圆上 所以 将式 代上式并整理得 冷尤 乂 二 丨丨脑 因此 是的中 即点 尸平分线段现 徐胜林提供 中等数学售书目录 代 码书名邮购价代码书名邮 年下半年合订本 全国高中联赛模拟题集萃 年上半年合订本 全国高中联赛模拟题集萃 一 年全年合订本 全国高中联赛模拟题集萃 年上半年合订本 届加拿大数学奥林匹克试题集 年下半年合订本 美国数学邀请赛试题汇编 年全年合订本 年下半年合订本全国数学奥林匹克命题 年全年合订本 比赛获奖题目 国内外数学竞赛题及精苏联中学生数学奥林匹克 国内外数学竞赛题及精解试题汇编 国 内外数学竞赛题及精 历届美国数学奥林匹克 一 国内外数学竞赛题及精解 试题集 多解推广加强 国内外数学竞赛题及精解 世界数学奥林匹