数模-零件的参数设计.doc

零件的参数设计摘要：本题目对零件的参数这一问题，综合考虑重新设计零件的参数（包括标定值和容差），并与原设计进行比较，得出最优化的数学模型，并对模型进行求解，最后用计算机模拟对模型的最优解进行检验。由题意知粒子分离器的参数y由零件参数的参数决定，参数的容差等级决定了产品的成本，偏离的值决定了产品的损失，问题就是寻找零件的最优标定值和最优等级搭配，使得批量生产时的总费用最少。一、 问题的重述： 一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。 试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。 粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1,x2,.,x7）决定，经验公式为：y的目标值（记作）为1.50。当y偏离0.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离0.3时，产品为废品，损失为9,000元。 零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为、三个等级，用与标定值的相对值表示，等为1%，等为5%，等为10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号表示无此等级零件）：标定值容许范围等等等x10.075,0.12525x20.225,0.3752050x30.075,0.1252050200x40.075,0.12550100500x51.125,1.87550x612,201025100x70.5625,0.93525100 现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等级。请你综合考虑y偏离造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？二、问题的假设1、假设在加工零件时，在确定了标定值的情况下，零件的误差服从正太分布且各个零件的误差是相互独立的。2、假设制造零件的总费用只由零件的损失费用和成本组成，不必考虑其他外在因素。3、假设题目所给的经验公式足够反映参数，对参数y的影响，而且经验公式有足够高的精度，即不考虑经验公式的误差。三、符号说明 符号符号说明第i类零件参数的标定值（i=1，27）第i类零件参数的实际值相对目标值的偏差（i=1，27）第i类零件参数的容差（i=1，27）第i类零件参数的方差（i=1，27），标定值的上下限离子分离器该参数的目标值离子分离器某参数的实际值离子分离器某参数的均值离子分离器某参数的实际值y相对平均值的偏差离子分离器某参数的方差一批产品中正品的概率一批产品中次品的概率一批产品中废品的概率一批产品的总费用（包括损失和成本费）第i类零件对应容差等级为j的成本（j=A,B,C）单位：元/个 四、模型的建立由题意可以知道，容差如果变大，则生产产品的的成本会降低，但同时y偏离的程度也增大，从而导致了损失的增加，由此我们要求出一个最优解，使得总费用最低。为了确定原设计中标定值（xi（i=1，2，3，.，7）的期望值）及已给的容差对产品性能参数影响而导致的总损失w，即确定y偏离目标值所造成的损失和零件成本，先列出总费用的数学模型表达如下：为了确定总损失w，必须知道（即正品、次品及废品的概率）。为此，用泰勒公式将经验公式在X=（i=1，2，3，.7）处展开并略去高次项（原因：误差本来就在0.01级别，它的高阶无穷小完全可以忽略），后来研究y的概率分布，设f（x）=y，则 将标定值xi（i=1，2，3，.7）带入经验公式得 得 由于在加工零件时，在标定值知道的情况下，加工误差服从正太分布，即 且xi相互独立，由正态分布性质可知， ，由误差传递公式得由于容差均为方差的3倍，容差与标定值的比值为容差等级，则， y的分布密度函数为产品为正品时y的范围是 产品为次品时y的范围是 和 ，产品为废品时y的范围是 和 y偏离的概率，即次品的概率为y偏离的概率，即废品的概率为由于y偏离越远，损失越大，所以在固定时，调整y使之等于目标值可降低损失。取 即=， 则，为标准正太分布函数。综合考虑y偏离造成的损失和零件成本，设计最优零件参数的模型建立如下目标函数 五、模型的求解初步分析，对于原给定的方案，利用matlab编程计算（见附录），计算结果如下正品率次品率废品率成本费损失费总费用0.12600.62390.25012002874.83074.8由于按原设计方案设计的产品频率过低，损失费过高，显然设计不合理。进一步分析发现，参数均值=1.7256偏离目标值=1.5太远，致使损失过大。尽管原设计方案保证了成本最低，但由于零件参数的精度过低，导致正品率也过低，损失较高。所以我们应综合考虑成本费和损失费。 模型的实现过程：本模型通过matlab进行求解，我们通过理论模型求解和随机模拟的求解过程如下：在给定容差等级的情况下，利用matlab中求解非线性规划的函数fmincon，通过多次迭代求解，最终球的一组最优解。最初，我们设定的fmincon函数目标函数就是总费用，约束条件为各个标定值的容许范围，以及各零件标定值带入产品参数表达式应为，即1.5.然而，在迭代过程中我们发现，求解过程十分慢，因此，我们在仔细对matlab实现代码进行研究发现，求解过程非常慢，为了提高速度，我们首先利用matlab的diff函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导，然后得到多个带参表达式，利用int函数对y的概率密度函数进行积分，分别得到出现次品和废品的概率的表达式，然后将这些表达式写进程序里，这样在求解过程中就不需要在每一次迭代中都要求偏导和积分了，修改后的程序运行时间大大减少。六、模型检验对设计方案进行模型检验模拟，由于每种零件参数均服从正态分布，用正态分布随机发生器在每种零件参数允许的范围内产生1000个随机数参与真实值的计算随机模拟多次后结果如下：正品率次品率废品率成本费损失费总费用0.85700.14300.0000275143418七、误差分析1、在建模过程中，通过泰勒公式将展开并略去高次项使线性化，不可避免地产生可截断误差，所以展开后的式子致使原经验公式的近似关系式。但在一般情况下，线性化和在求和在实用上具有足够的精度，所以由于函数线性化而略去的高次项可以忽略不计。在函数关系式叫复杂的情况下，将其线性化更具有明显的优势。2、本模型忽略了小概率事件的发生的可能，认为零件的参数只可能出现在允许范围内，即，现实中，小概率事件仍有能发生，但是在大批量生产中，小概率事件发生对最终结果没有影响，所以可以忽略。3、该模型对于质量损失的计算，将所有函数都看做连续函数，而这对于每个零件而言是不可能的，所以其中也会产生误差。八、模型优缺点优点：1、 建模过程中，采用泰勒公式将经验公式简化，并假设各零件参数都满足大量数据的正态分布，使得整个模型的建立及求解得到大大简化。2、 本模型运用概率统计与优化知识对零件参数进行优化设计。通过建立一个反应设计要求的数学模型，利用matlab软件，经过编程来实现对设计方案参数的调整，将总费用由3074.8（元/个），结果还是令人十分满意的。缺点：1、 本模型在模型的求解过程中，对一些可接受范围内的误差直接进行了忽略，因而对于结果的精确性还是会有影响。2、 本模型时建立在一些假设中的，所有实用性受到了限制，在实际生产中，如果可以把更多的一些因素考虑进去会更好。在已假设的条件下，本模型的优化结果还是好的。 附录：function f=resultfval=inf; tic B(1)=2;B(5)=3;for b=2:3 B(2)=b; for c=1:3 B(3)=c; for d=1:3 B(4)=d; for f=1:3 B(6)=f; for g=1:2 B(7)=g; fv,x=getcost(B); if fvfval Xmin=x; Bmin=B; fval=fv; end; end; end; end; end;end;f=fval,Xmin,Bmin,p=getP(Xmin,Bmin)tocsimulation(Xmin,Bmin); function f,x=getcost(B) MU=0.1 0.3 0.1 0.1 1.5 16 0.75; options=optimset(largescale,off);x,fval=fmincon(getfcY,MU,mycon,options,B);x,B,f=cost(x,B) function c,ceq=mycon(MU,B)c(1)=MU(1)-0.125;c(2)0.075-MU(1);c(3)=MU(2)-0.375;c(4)=0.225-MU(2);c(5)=MU(3)-0.125;c(6)=0.075-MU(3);c(7)=MU(4)-0.125;c(8)=0.075-MU(4);c(9)=MU(5)-1.875;c(10)=1.125-MU(5);c(11)=MU(6)-20;c(12)=12-MU(6);c(13)=MU(7)-0.935;c(14)=0.5625-MU(7);ceq(1)=Yfun(MU)-1.5; function f=cost(MU,B)f=25;p=getP(MU,B;if (B(2)=2) f=f+50;else f=f+20;end;switch (B(3) case 1 f=f+200; case 2 f=f+50; case 3 f=f+20;end;switch (B(4) case 1 f=f+500; case 2; f=f+100; case 3 f=f+50;end;switch (BC(6) case 1 f=f+100; case 2 f=f+25; case 3 f=f+10;end;if(B(7)=1) f=f+100else f=f+25;end;f=f+p(2)*1000+p(3)*9000;function f=getfcY(MU,B)f=0;B=int32(B);for i=1:7 if B(i)=1 sigma(i)=MU(i)*0.01/3; end; if B(i)=2 sigma(i)=MU(i)*0.01/3; end; if B(i)=3 sigma(i)=MU(i)*0.05/3; end;end; x1=MU(1);x2=MU(2);x3=MU(3);x4=MU(4);x5=MU(5);x6=MU(6);x7=MU(7);f=(pd1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(1)2;f=(pd2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(2)2;f=(pd3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(3)2;f=(pd4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(4)2;f=(pd5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(5)2;f=(pd6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(6)2;f=(pd7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(7)2;f=abs(f0.5); function f=pd1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=8721/50/x(5)*(x(3)/(x(2)-x(1)(17/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2)+148257/1000*x(1)/x(5)/(x(3)/(x(2)-x(1)(3/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2)*x(3)/(x(2)-x(1)2;function f=pd2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=-148257/1000*x(1)/x(5)/(x(3)/(x(2)-x(1). (3/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25). (3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2)*x(3)/(x(2). -x(1)2+8721/100*x(1)/x(5)*(x(3)/(x(2)-x(1)(17/20)/. (1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2). (29/25)/x(6)/x(7)(1/2)*(24759/31250*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(1/2)/(x(4)/x(2). (2/5)*x(4)/x(2)2+3799/1250*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(4/25)*x(4)/x(2)2)/x(6)/x(7);function f=pd3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=148257/1000*x(1)/x(5)/(x(3)/(x(2)-x(1)(3/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2)/(x(2)-x(1);function f=pd4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=8721/100*x(1)/x(5)*(x(3)/(x(2)-x(1)(17/20)/. (1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*. (x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2)*(-24759/31250*. (1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(1/2)/(x(4)/x(2)(2/5)/x(2)-. 3799/1250*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(4/25)/x(2)/x(6)/x(7);function f=pd5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=-8721/50*x(1)/x(5)2*(x(3)/(x(2)-x(1)(17/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2);function f=pd6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=d(6)=-8721/100*x(1)/x(5)*(x(3)/(x(2)-x(1). (17/20)/(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25). (3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2)*. (1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)2/x(7);function f=pd7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=-8721/100*x(1)/x(5)*(x(3)/(x(2)-x(1).(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2). (14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/. x(6)/x(7)(1/2)*(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2). (14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)2;function f=getP(MU,B)yb=Yfun(MU);fc=getfcY(MU,B);f(2)=jf1(yb,fc);f(3)=jf2(yb,fc);f(1)=1-f(2)-f(3);f=double(f);function f=jf1(u,a0) f=-1125899906842624/5644425081792261*. erf(1/10*2(1/2)*(-9+5*u)/a0)*2(1/2)*pi*(1/2). +1125899906842624/5644425081792261*erf(1/10)*2(1/2)*. (-8+5*u)/a0)*2(1/2)*pi(1/2)-1125899906842624/5644425081792261*. erf(1/10*2(1/2)*(-7+5*u)/a0)*2(1/2)*pi*(1/2)+1125899906842624/5644425081792261*. erf(1/10*2(1/2)*(-6+5*u)/a0)*2(1/2)*pi(1/2);function f = jf2(u,a0)f = -1125899906842624/5644425081792261*erf.(1/2*2(1/2)*(-10+u)/a0)*2(1/