高考数学一轮总复习 第14章 不等式选讲课件 理.ppt

知识点一解绝对值不等式 1 ax b c ax b c c 0 型不等式的解法 2 x a x b c c 0 x a x b c c 0 型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解 1 零点分区间法的一般步骤 令每个绝对值符号的代数式为零 并求出相应的根 将这些根按从小到大排列 把实数集分为若干个区间 由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式 解这些不等式 求出解集 取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集 2 利用绝对值的几何意义 由于 x a x b 与 x a x b 分别表示数轴上与x对应的点到a b对应的点的距离之和与距离之差 因此对形如 x a x b 0 或 x a x b c c 0 的不等式 利用绝对值的几何意义求解更直观 3 f x g x f x 0 型不等式的解法 1 f x g x f x g x 或f x g x 2 f x g x g x f x g x 一个关键 解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号 可以用零点分区间法或绝对值的几何意义求解 1 不等式 2x 1 x 2 0的解集为 解析法一原不等式即为 2x 1 x 2 4x2 4x 1 x2 4x 4 3x2 3 1 x 1 答案 x 1 x 1 1 证明不等式的常用结论 1 绝对值的三角不等式定理1 若a b为实数 则 a b a b 当且仅当ab 0 等号成立 定理2 设a b c为实数 则 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 推论1 a b a b 推论2 a b a b 知识点二不等式的证明 2 证明不等式的常用方法 1 比较法 一般步骤 作差 变形 判断 结论 为了判断作差后的符号 有时要把这个差变形为一个常数 或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式 也可变形为几个因式的积的形式 以判断其正负 2 综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质 推导出所要证明的不等式 这种方法叫综合法 即 由因导果 的方法 3 分析法 证明不等式时 有时可以从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题 如果能够肯定这些充分条件都已经具备 那么就可以判定原不等式成立 这种方法叫作分析法 即 执果索因 的方法 4 反证法和放缩法 先假设要证的命题不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明原命题成立 这种方法叫作反证法 证明不等式时 通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小 简化不等式 从而达到证明的目的 这种方法叫作放缩法 一组重要关系 a b 与 a b a b 与 a b a b 之间的关系 2 a b a b 当且仅当a b 0时 等号成立 a b a b a b 当且仅当 a b 且ab 0时 左边等号成立 当且仅当ab 0时 右边等号成立 已知 a b c a b c r 给出下列不等式 a b c a b c a b c a b c a b c 其中一定成立的不等式是 把所有成立的不等式的序号都填上 解析 a b c c a b c b c a b c 故 成立 不成立 a b c a b a b a b c a b c 故 成立 不成立 答案 一个方法 利用柯西不等式求最值 3 注意检验等号成立的条件 特别是多次使用均值不等式时 必须使等号同时成立 若a b c 0 且a b c 1 则 的最大值为 含绝对值不等式的性质与解法突破方略 1 基本性质法 对a r x a xa 2 平方法 两边平方去掉绝对值符号 3 零点分区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式 可用零点分区间法脱去绝对值符号 将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式 组 求解 4 几何法 利用绝对值的几何意义 画出数轴 将绝对值转化为数轴上两点的距离求解 5 数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象 利用函数图象求解 例1 不等式 2x 1 2 x 1 0的解集为 解题指导 点评 解决本题的关键是去绝对值号 转化为一元一次不等式求解 证明不等式的常用方法 1 比较法 2 综合法 3 分析法 4 反证法和放缩法 5 数学归纳法 不等式的证明与应用求解策略 点评 如果已知条件与待证结论直接联系不明显 可考虑用分析法 如果待证命题是否定性命题 唯一性命题或以 至少 至多 等方式给出的 则考虑用反证法 如果待证不等式与自然数有关 则考虑用数学归纳法等 在必要的情况下 可能还需要使用换元法 构造法等技巧简化对问题的表述和证明 与绝对值不等式相关的最值问题求解策略 例3 2016 贵州4月模拟 已知函数f x 2x 1 2x 3 1 求不等式f x 6的解集 2 若关于x的不等式f x a 1 的解集非空 求实数a的取值范围 点评 研究含有绝对值的函数问题时 根据绝对值的定义 分类讨论去掉绝对值符号 转化为分段函数 然后利用数形结合解决 是常用的思想方法 解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀 找零点 分区间 逐个解 并起来 示例 2015 陕西西安二模 已知函数f x x 2 g x x 3 m 1 解关于x的不等式f x a 1 0 a r 2 若函数f x 的图象恒在函数g x 的图象的上方 求m的取值范围 方法总结 x a x