浙江省温州市瑞安市四校联考高三数学上学期第三次月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年浙江省温州市瑞安市四校联考高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=x|x2x20，集合b为整数集，则ab=（）a1，0，1，2b2，1，0，1c0，1d1，02下列命题中真命题是（）a“ab”是“a2b2”的充分条件b“ab”是“a2b2”的必要条件c“ab”是“ac2bc2”的必要条件d“ab”是“|a|b|”的充分条件3在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）abcd4已知m，n为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）a若mn，m，则nb若mn，m，n，则c若，则d若mn，m，n，则5已知，且，则tan（2）的值为（）abcd6已知点a（2，0），抛物线c：x2=4y的焦点为f，射线fa与抛物线c相交于点m，与其准线相交于点n，则|fm|：|mn|=（）a2：b1：2c1：d1：37如图，在omn中，a，b分别是om，on中点，若=x+y（x，yr），且点p落在四边形abnm内（含边界），则x2+y2的取值范围是（）a1，2b1，4cd8若存在实数a，对任意实数x0m，均有（sinxa）（cosxa）0，则实数m的最大值是（）abcd二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分9等差数列an中，a2+a5=19，s5=40，则公差d=a10=10设双曲线c经过点（2，2），且与x2=1具有相同渐近线，则c的方程为；离心率等于11设f（x）=ax2+bx是定义在a1，2a上的偶函数，则a+b的值是；f（a）=12已知点m（1，0），直线l：x2y2=0；则过点m且与直线l平行的直线方程为；以m为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程是13在平面直角坐标系xoy中，点集k=（x，y）|（|x|+2|y|4）（2|x|+|y|4）0所对应的平面区域的面积为14设m、n是直角梯形abcd两腰的中点，deab于e（如图），ae=eb=de=2现将ade沿de折起，使二面角adeb为90，p，q分别是线段ae和线段eb上任意一点，若mqpn时，求pq长度的取值范围15设关于x的方程x2mx1=0和|x1|m2=0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1x3x2x4，则实数m的取值范围为三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在abc中，内角a、b、c所对的边分别是a、b、c，已知abc的面积s=a2（bc）2（）求sina与cosa的值；（）设b=a，若cosc=，求的值17如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，ab=4，bc=3，ad=5，dab=abc=90，e是cd的中点（）证明：cd平面pae；（）若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥pabcd的体积18已知椭圆c：的离心率 e=，且经过点（0，3），左右焦点分别为f1，f2，（1）求椭圆c的方程；（2）过f1作直线l与椭圆c交于a、b两点，求abf2的面积s的最大值，并求出s取最大值时直线l的方程19数列an中，a1=4，前n项和sn满足：sn=an+1+n（）求an；（）令bn=，数列bn2的前n项和为tn求证：nn*，tn20已知函数f（x）=x2+2bx+c，设函数g（x）=|f（x）|在区间1，1上的最大值为m（）若b=2，试求出m；（）若mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值2015-2016学年浙江省温州市瑞安市四校联考高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=x|x2x20，集合b为整数集，则ab=（）a1，0，1，2b2，1，0，1c0，1d1，0【考点】交集及其运算 【专题】计算题【分析】计算集合a中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得【解答】解：a=x|1x2，b=z，ab=1，0，1，2故选：a【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分2下列命题中真命题是（）a“ab”是“a2b2”的充分条件b“ab”是“a2b2”的必要条件c“ab”是“ac2bc2”的必要条件d“ab”是“|a|b|”的充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可的结论【解答】解：a当a=1，b=1，满足ab，但a2b2，不成立，即充分性不成立，b当a=1，b=0，满足a2b2，但ab不成立，即必要性不成立c当c=0时，ac2bc2，不成立，即充分性不成立，若ac2bc2，则必有c0，则ab成立，即“ab”是“ac2bc2”的必要条件，成立，d当a=1，b=1，满足ab，但“|a|b|”不成立，即充分性不成立，故选：c【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用不等式的性质是解决本题的关键3在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）abcd【考点】简单空间图形的三视图 【专题】作图题【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选d【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题4已知m，n为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）a若mn，m，则nb若mn，m，n，则c若，则d若mn，m，n，则【考点】命题的真假判断与应用 【专题】空间位置关系与距离【分析】a，mn，mn或n，可判断a不正确；b，mn，m，n或=l，可判断b不正确；c，举例说明，当、分别为墙角的三个两两垂直的墙面（为底面）时，满足，但与相交，可判断故c错误；d，利用线面垂直的性质可判断d正确【解答】解：对于a，若mn，m，则n，或n，故a不正确；对于b，若mn，m，n，则或=l，故b不正确；对于c，当、分别为墙角的三个两两垂直的墙面（为底面）时，满足，但与相交，故c错误；对于d，若mn，m，n，由线面垂直的性质知，故d正确故选：d【点评】本题考查空间线面平行、面面平行的判定与性质，熟练掌握线面平行、线面垂直与面面平行的判定与性质定理是关键，属于中档题5已知，且，则tan（2）的值为（）abcd【考点】二倍角的正切 【专题】三角函数的求值【分析】先根据诱导公式和对数函数的性质求出sin的值，然后利用同角三角函数的基本关系式求出cos，最后化简所求的式子并将值代入即可【解答】解：，又，得，故选：b【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，三角函数的化简求值，考查计算能力6已知点a（2，0），抛物线c：x2=4y的焦点为f，射线fa与抛物线c相交于点m，与其准线相交于点n，则|fm|：|mn|=（）a2：b1：2c1：d1：3【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出抛物线c的焦点f的坐标，从而得到af的斜率k=过m作mpl于p，根据抛物线物定义得|fm|=|pm|rtmpn中，根据tanmnp=，从而得到|pn|=2|pm|，进而算出|mn|=|pm|，由此即可得到|fm|：|mn|的值【解答】解：抛物线c：x2=4y的焦点为f（0，1），点a坐标为（2，0）抛物线的准线方程为l：y=1，直线af的斜率为k=，过m作mpl于p，根据抛物线物定义得|fm|=|pm|rtmpn中，tanmnp=k=，=，可得|pn|=2|pm|，得|mn|=|pm|因此，可得|fm|：|mn|=|pm|：|mn|=1：故选：c【点评】本题给出抛物线方程和射线fa，求线段的比值着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题7如图，在omn中，a，b分别是om，on中点，若=x+y（x，yr），且点p落在四边形abnm内（含边界），则x2+y2的取值范围是（）a1，2b1，4cd【考点】向量在几何中的应用 【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用【分析】若p在ab上，则x+y=1，若p在mn上，则x+y=2，使用特殊值代入排除法选出答案【解答】解：若p在ab上，则x+y=1，令x=y=，x2+y2=，排除a，b若p与m重合，则x=2，y=0，x2+y2=4，排除c故选：d【点评】本题考查了平面向量在几何中的应用，特殊值法是解选择题常用方法之一8若存在实数a，对任意实数x0m，均有（sinxa）（cosxa）0，则实数m的最大值是（）abcd【考点】三角函数的最值 【专题】计算题【分析】根据已知不等式得到，或，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可【解答】解：（sinx）（cosx）0，或，sinxacosx，或sinxacosx；当x0，时sinxcosx；当x，时cosxsinx，m的最大值是故选：c【点评】本题考查了三角函数的最值三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分9等差数列an中，a2+a5=19，s5=40，则公差d=3a10=29【考点】等差数列的通项公式 【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：等差数列an中，a2+a5=19，s5=40，解得a1=2，d=3，an=2+3（n1）=3n1a10=29故答案分别为：3；29【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10设双曲线c经过点（2，2），且与x2=1具有相同渐近线，则c的方程为=1；离心率等于【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】与x2=1有相同的渐近线的方程可设为x2=0，再把点p的坐标代入求解方程，然后求解离心率【解答】解：依题设所求双曲线方程为x2=0，双曲线过点p（2，2），4=3所求双曲线方程为=1双曲线的离心率为：=故答案为：=1；【点评】本题考查双曲线方程的求法，正确利用：与x2=1有相同的渐近线的方程可设与x2=0，是解题的关键11设f（x）=ax2+bx是定义在a1，2a上的偶函数，则a+b的值是；f（a）=【考点】函数奇偶性的性质 【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（x）=f（x），且定义域关于原点对称，a1=2a，求出a，b，即可得出结论【解答】解：f（x）=ax2+bx是定义在a1，2a上的偶函数，f（x）=f（x），b=0，又 a1=2a，a=，a+b=，f（a）=f（）=故答案为：，【点评】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间2个端点互为相反数12已知点m（1，0），直线l：x2y2=0；则过点m且与直线l平行的直线方程为x2y1=0；以m为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程是【考点】直线与圆的位置关系 【专题】计算题；方程思想；转化思想；直线与圆【分析】根据过（a，b）点且与直线ax+by+c=0的直线方程为a（xa）+b（yb）=0，可得过点m且与直线l平行的直线方程，根据已知求出圆的半径，可得满足条件的圆的方程【解答】解：直线l：x2y2=0，点m（1，0），过点m且与直线l平行的直线方程为（x1）2（y0）=0，即x2y1=0；以m为圆心且被l截得的弦长为的圆的半径为，故m为圆心且被l截得的弦长为（即直径）的圆的方程为：，故答案为：x2y1=0，【点评】本题考查的知识点是直线的方程，直线平行的充要条件，圆的标准方程，是直线与圆的综合应用，难度中档13在平面直角坐标系xoy中，点集k=（x，y）|（|x|+2|y|4）（2|x|+|y|4）0所对应的平面区域的面积为【考点】简单线性规划 【专题】计算题；作图题；转化思想；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】利用不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积，乘以4得答案【解答】解：（|x|+2|y|4）（2|x|+|y|4）0对应的区域关于原点对称，x轴对称，y轴对称，只要作出在第一象限的区域即可当x0，y0时，不等式等价为|（x+2y4）（2x+y4）0，即或，在第一象限内对应的图象为，则a（2，0），b（4，0），由，解得，即c（），则三角形abc的面积s=2=，则在第一象限的面积s=2=，则点集k对应的区域总面积s=4=故答案为：【点评】本题考查简单的线性规划，主要考查区域面积的计算，利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解决本题的关键，是中档题14设m、n是直角梯形abcd两腰的中点，deab于e（如图），ae=eb=de=2现将ade沿de折起，使二面角adeb为90，p，q分别是线段ae和线段eb上任意一点，若mqpn时，求pq长度的取值范围【考点】平面与平面垂直的性质 【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用【分析】先画出折叠后的图形，根据已知条件可分别以eb，ed，ea三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并可求出图形上一些点的坐标，根据p，q分别为线段ae、eb上的点，可设p（0，0，z），q（x，0，0）这时可由mqpn得到，从而可得到z=12x，从而可以得到pq的长度|pq|=，这时候，根据x，z的范围可求出x的范围，由x的范围即可求出|pq|的取值范围【解答】解：如图，由条件知eb，ed，ea三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则：e（0，0，0），b（2，0，0），c（2，2，0），n（2，1，0），d（0，2，0），a（0，0，2），m（0，1，1）；p，q分别是线段ae和线段eb上任意一点；设p（0，0，z），q（x，0，0），x，z0，2；，；mqpn；=0；z=12x；x，z0，2，012x2；解得；=；时，|pq|取最小值，x=0时，|pq|取最大值；pq长度的取值范围为，1故答案为：【点评】考查二面角的大小的定义，弄清图形折叠前后的变化，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直的问题的方法，能够确定空间点的坐标，以及配方求函数最值的方法，注意正确确定变量的范围15设关于x的方程x2mx1=0和|x1|m2=0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1x3x2x4，则实数m的取值范围为（，0）【考点】根的存在性及根的个数判断 【专题】数形结合；转化思想；构造法；转化法；函数的性质及应用【分析】利用参数分离法分别将方程转化为m=x和m=|x1|2，构造函数f（x）=x和g（x）=|x1|2，作出对应的图象，利用f（x），g（x）与y=m的交点横坐标的大小关系进行求解即可【解答】解：当x=0时，方程x2mx1=0不成立，方程x2mx1=0等价为mx=x21，即m=x，设f（x）=x，则函数f（x）为奇函数，且在（，0）和（0，+）上为增函数，且f（1）=f（1）=0，由|x1|m2=0得m=|x1|2，设g（x）=|x1|2，分别作出函数f（x）与g（x）的图象如图，当0x1时，g（x）=|x1|2=1x2=x1，由x1=x得2x+1=0，即2x2+x1=0，得x=1（舍）或x=，此时g（）=|1|2=，即a（，），要使x1x3x2x4，则m0，即实数m的取值范围是（，0），故答案为：（，0）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法结合构造函数法，转化为两个函数的图象相交问题，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，难度较大三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在abc中，内角a、b、c所对的边分别是a、b、c，已知abc的面积s=a2（bc）2（）求sina与cosa的值；（）设b=a，若cosc=，求的值【考点】余弦定理 【专题】三角函数的求值【分析】（）利用三角形得面积公式以及余弦定理结合三角函数得平方关系可得；（）由cosc=，得sinc=，利用两角和与差的三角函数求出sinb，结合正弦定理可求【解答】解：（）由题意得，bcsina=a2b2c2+2bc=2bccosa+2bc，所以sina+4cosa=4，又因为sin2a+cos2a=1，解得sina=，cosa=；（）由cosc=，得sinc=，sinb=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc=+=，=【点评】本题考查了三角形得面积公式、正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，关键是熟练运用各公式解答17如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，ab=4，bc=3，ad=5，dab=abc=90，e是cd的中点（）证明：cd平面pae；（）若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥pabcd的体积【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 【专题】计算题；证明题【分析】解法一：（）先根据条件得到cdae；再结合pa平面abcd即可得到结论的证明；（）先根据直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等得到pa=bf，进而得到四边形bcdg是平行四边形，在下底面内求出bf的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可法二：（）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到=0以及=0即可证明结论；（）先根据直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等得到pa的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可【解答】解法一：（）连接ac，由ab=4，bc=3，abc=90，得ac=5，又ad=5，e是cd得中点，所以cdae，pa平面abcd，cd平面abcd所以pacd，而pa，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae（）过点b作bgcd，分别与ae，ad相交于点f，g，连接pf，由cd平面pae知，bg平面pae，于是bpf为直线pb与平面pae所成的角，且bgae由pa平面abcd知，pba即为直线pb与平面abcd所成的角由题意pba=bpf，因为sinpba=，sinbpf=，所以pa=bf由dab=abc=90知，adbc，又bgcd所以四边形bcdg是平行四边形，故gd=bc=3，于是ag=2在rtbag中，ab=4，ag=2，bgaf，所以bg=2，bf=于是pa=bf=又梯形abcd的面积为s=（5+3）4=16所以四棱锥pabcd的体积为v=spa=16=解法二：以a为坐标原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设pa=h，则a（0，0，0），b（4，0，0），c（4，3，0），d（0，5，0），e（2，4，0），p（0，0，h）（）=（4，2，0），=（2，4，0），=（0，0，h）因为=8+8+0=0，=0所以cdae，cdap，而ap，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae（）由题设和第一问知，分别是平面pae，平面abcd的法向量，而pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，所以：|cos，|=|cos，|，即|=|由第一问知=（4，2，0），=（0，0，h），又=（4，0，h）故|=|解得h=又梯形abcd的面积为s=（5+3）4=16所以四棱锥pabcd的体积为v=spa=16=【点评】本题是中档题，利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型18已知椭圆c：的离心率 e=，且经过点（0，3），左右焦点分别为f1，f2，（1）求椭圆c的方程；（2）过f1作直线l与椭圆c交于a、b两点，求abf2的面积s的最大值，并求出s取最大值时直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质 【专题】计算题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用椭圆c的离心率，且椭圆经过点（0，3）建立方程，求出几何量，即可求椭圆c的标准方程；（2）由椭圆方程可得左、右两个焦点分别为f1（4，0），f2（4，0）设直线l的方程为my=x+4与椭圆方程联立消去x可得根与系数的关系，利用abf2面积s=|f1f2|y1y2|，可得关于m的表达式，再利用基本不等式即可得出【解答】解：（1）椭圆的焦点在x轴上，椭圆过点a（0，3），离心率e=，=1，=，c2=a2b2a2=25，b2=9，椭圆方程为+=1（2）由椭圆方程可得a2=25，b2=9，c=4，左、右两个焦点分别为f1（4，0），f2（4，0）设直线l的方程为my=x+4，代入椭圆方程整理可得：（25+9m2）y272my81=0y1+y2=，y1y2=|y1y2|=90abf2面积s=|f1f2|y1y2|=890=360，令t=1+m2（t1），则s=360=360，由81t+2=288，当且仅当t=取得等号abf2面积s取得最大值360=15即当m=时，abf2面积s取得最大15【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查函数思想在解决问题中的应用，注意运用椭圆的定义和转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19数列an中，a1=4，前n项和sn满足：sn=an+1+n（）求an；（）令bn=，数列bn2的前n项和为tn求证：nn*，tn【考点】数列的求和；数列与不等式的综合 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）根据sn=an+1+n，利用an=snsn1，能求出数列an的通项an（）由已知条件推导出b1=，bn=，（n2），从而得到当k2时，由此能够证明对于任意的nn*，都有tn【解答】（）解：数列an中，a1=4，前n项和sn满足：sn=an+1+n，当n2时，an=snsn1=an+1+nan（n1），an+1=2an1，an+11=2（an1），（n2），又a1=s1=a2+1，a1=4，解得a2=3，an1=（a21）2n2=2n1，an=2n1+1，n2，综上，数列an的